5.2.2 菱形的判定同步测试题（含解析）

5.2.2 菱形的判定测试卷
（时间45分钟 满分100分）
一．选择题（每小题7分，共42分）
1．（2019?浦东新区二模）已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，AO＝CO，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是（　　）
A．BO＝DO B．AB＝BC C．AB＝CD D．AB∥CD
2．（2019?铅山县一模）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为菱形的是（　　）
A．AC⊥BD B．∠ABD＝∠ADB C．AB＝CD D．AB＝BC
3．（2019秋?历下区期中）下列条件中，能判断四边形是菱形的是（　　）
A．对角线互相平分且垂直的四边形
B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线互相垂直且相等的四边形
D．对角线相等的平行四边形
4．（2018秋?太原期中）如图，△ABC中，点P是AB边上的一点，过点P作PD∥BC，PE∥AC，分别交AC，BC于点D，E，连按CP．若四边形CDPE是菱形，则线段CP应满足的条件是（　　）
A．CP平分∠ACB B．CP⊥AB
C．CP是AB边上的中线 D．CP＝AP
5．（2018春?西城区校级期中）在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（　　）
A．∠ABC＝90° B．AC⊥BD C．AB＝CD D．∠A＝∠C
6．（2018春?南昌期中）四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2＝ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
二．填空题（每小题7分，共28分）
7．（2019春?思明区校级期中）平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，m）、B（﹣4，0）、C（1，0）、D（a，m），且m＞0，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为　 　．
8．（2019春?北流市期中）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝　 　时，平行四边形CDEB为菱形．
9．（2019秋?榕城区期中）如图，小华剪了两条宽为3的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为　 　．
10．（2019春?仓山区期中）如图，已知∠A，以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，继续分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，连接BC，CD，则所四得边形ABCD为菱形，判定依据是：　 　．
三．解答题（共30分）
11．（10分）（2019秋?景泰县校级期中）已知：如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1，求证：?ABCD是菱形．
12．（10分）（2019春?广安区校级期中）如图，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交
AD于点F，AE与BF交于点O，连接EF．
求证：四边形ABEF是菱形．
13．（10分）（2019春?丹江口市期中）如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．
（1）试判断四边形AEDF的形状．
（2）当△ABC满足　 　条件时，EF∥BC；当△ABC满足　 　条件时，EF＝AD．

5.2.2 菱形的判定测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2019?浦东新区二模）已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，AO＝CO，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是（　　）
A．BO＝DO B．AB＝BC C．AB＝CD D．AB∥CD
【分析】根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，根据全等三角形的性质得到AD＝BC，于是得到四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△ADO与△CBO中，，
∴△ADO≌△CBO（AAS），
∴AD＝CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC
∴四边形ABCD是菱形；故B正确；
故选：B．
2．（2019?铅山县一模）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为菱形的是（　　）
A．AC⊥BD B．∠ABD＝∠ADB C．AB＝CD D．AB＝BC
【分析】①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．
【解答】解：A、由对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故A选项正确；
B、由一条对角线平分一角，可得出一组邻边相等，也能判定为菱形，故B选项正确；
C、由平行四边形的性质可得AB＝CD，即不能判定平行四边形ABCD是菱形，故C选项不正确
D、由一组邻边相等平行四边形是菱形，故D选项正确．
故选：C．
3．（2019秋?历下区期中）下列条件中，能判断四边形是菱形的是（　　）
A．对角线互相平分且垂直的四边形
B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线互相垂直且相等的四边形
D．对角线相等的平行四边形
【分析】利用菱形的判定方法对各个选项一一进行判断即可．
【解答】解：A、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，符合题意；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，不符合题意；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形．不符合题意；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，对角线相等的平行四边形不是菱形，不符合题意；
故选：A．
4．（2018秋?太原期中）如图，△ABC中，点P是AB边上的一点，过点P作PD∥BC，PE∥AC，分别交AC，BC于点D，E，连按CP．若四边形CDPE是菱形，则线段CP应满足的条件是（　　）
A．CP平分∠ACB B．CP⊥AB
C．CP是AB边上的中线 D．CP＝AP
【分析】根据菱形的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形CDPE是菱形，
∴∠DCP＝∠ECP，
∴CP平分∠ACB，
故选：A．
5．（2018春?西城区校级期中）在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（　　）
A．∠ABC＝90° B．AC⊥BD C．AB＝CD D．∠A＝∠C
【分析】由在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，又由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求得答案．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．
故选：B．
6．（2018春?南昌期中）四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2＝ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】本题可通过整理配方式子a2+b2+c2+d2＝ab+bc+cd+ad得到（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2＝0，从而得出a＝b＝c＝d，∴四边形一定是菱形．
【解答】解：整理配方式子a2+b2+c2+d2＝ab+bc+cd+ad，
2（a2+b2+c2+d2）＝2（ab+bc+cd+ad），
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2＝0，
由非负数的性质可知：（a﹣b）＝0，（b﹣c）＝0，（c﹣d）＝0，（a﹣d）＝0，
∴a＝b＝c＝d，
∴四边形一定是菱形，
故选：C．
二．填空题
7．（2019春?思明区校级期中）平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，m）、B（﹣4，0）、C（1，0）、D（a，m），且m＞0，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为　（4，4）或（﹣5，）　．
【分析】作AM⊥BC于M，由题意得出AD∥BC，OB＝4，OC＝1，OM＝1得出AD＝BC＝5，BM＝3，CM＝2，①当点D在y轴的右侧时，由菱形的性质得出AB＝BC＝5，由勾股定理得出AM＝＝4，得出点D的坐标为（4，4）；
②当点D在y轴的左侧时，由菱形的性质得出AB＝BC＝5，由勾股定理得出AM＝＝，得出点D的坐标为（﹣6，）．
【解答】解：作AM⊥BC于M，
∵A（﹣1，m）、B（﹣4，0）、C（1，0）、D（a，m），且m＞0，
∴AD∥BC，OB＝4，OC＝1，OM＝1，
∴AD＝BC＝5，BM＝3，CM＝2，
分两种情况：
①当点D在y轴的右侧时，如图1所示：
∵以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，
∴AB＝BC＝5，
∴AM＝＝＝4，
∴点D的坐标为（4，4）；
②当点D在y轴的左侧时，如图2所示：
∵以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，
∴AB＝BC＝5，
∴AM＝＝＝，
∴点D的坐标为（﹣6，）；
综上所述，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为（4，4）或（﹣6，）；
故答案为：（4，4）或（﹣6，）．
8．（2019春?北流市期中）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝　　时，平行四边形CDEB为菱形．
【分析】首先根据勾股定理求得AB＝10，由菱形的性质可得OD＝OB，CD＝CB，根据勾股定理可得OB的值，由AD＝AB﹣2OB可求AD的长．
【解答】解：如图，连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB．
∵AB?OC＝AC?BC，
∴OC＝．
∴OB＝＝
∴AD＝AB﹣2OB＝
故答案为：
9．（2019秋?榕城区期中）如图，小华剪了两条宽为3的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为　6　．
【分析】首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得AB＝BC的长，判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案．
【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝3，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAD＝∠BCD＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF＝30°，
∴AB＝2AE，BC＝2CF，
∵AB2＝AE2+BE2，
∴AB＝，
同理：BC＝2，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD＝2，
∴S菱形ABCD＝AD?BE＝6．
故答案为：6．
10．（2019春?仓山区期中）如图，已知∠A，以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，继续分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，连接BC，CD，则所四得边形ABCD为菱形，判定依据是：　四条边相等的四边形是菱形　．
【分析】根据四条边相等的四边形是菱形即可求解．
【解答】解：∵已知∠A，以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，
∴AB＝AD，
∵分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，
∴BC＝CD＝AB，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∴所得四边形ABCD为菱形，判定依据是：四条边相等的四边形是菱形．
故答案为：四条边相等的四边形是菱形．
三．解答题
11．（2019秋?景泰县校级期中）已知：如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1，求证：?ABCD是菱形．
【分析】根据利用勾股定理的逆定理可证明∠AOB＝90°，得出AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得解．
【解答】证明：在△AOB中，AB＝，OA＝2，OB＝1，
∴AO2+OB2＝22+1＝5，
又∵AB2＝（）2＝5，
∴AO2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴?ABCD是菱形．
12．（2019春?广安区校级期中）如图，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交
AD于点F，AE与BF交于点O，连接EF．
求证：四边形ABEF是菱形．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，从而得到∠AFB＝∠FBE，再由∠ABF＝∠FBE，推出∠ABF＝∠AFB，于是得到AB＝AF，同理得出AB＝BE，证出四边形ABEF是平行四边形，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBE，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBE，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
同理AB＝BE，
∴AF＝BE，
∵AB＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形．
13．（2019春?丹江口市期中）如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．
（1）试判断四边形AEDF的形状．
（2）当△ABC满足　AB＝AC　条件时，EF∥BC；当△ABC满足　∠BAC＝90°　条件时，EF＝AD．
【分析】（1）根据DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立；
（2）由菱形的性质、等腰三角形的性质以及正方形的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）四边形AEDF是菱形；理由如下：
∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠ADF＝∠FAD，
∴FA＝FD，
∴四边形AEDF是菱形；
（2）当△ABC满足AB＝AC条件时，EF∥BC；当△ABC满足∠BAC＝90°条件时，EF＝AD．理由如下：
由（1）得：四边形AEDF是菱形，
∴AD⊥EF，
∵AB＝AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，
∴EF∥BC；
当∠ABC＝90°时，四边形AEDF是正方形，
∴EF＝AD；
故答案为：AB＝AC，∠BAC＝90°．