5.3.1 正方形的判定同步测试题（含解析）

5.3.1 正方形的判定测试卷
（时间45分钟 满分100分）
一．选择题（每小题7分，共42分）
1．（2019秋?大田县期中）下列说法中，正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一组邻边相等的矩形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
2．（2019秋?凤翔县期中）已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，则下列说法准确的是（　　）
A．当OA＝OC时，平行四边形ABCD为矩形
B．当AB＝AD时，平行四边形ABCD为正方形
C．当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD为菱形
D．当AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形
3．（2019春?鼓楼区校级期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当∠ABC＝90°时，它是矩形
B．当AB＝BC时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是菱形
D．当AC＝BD时，它是正方形
4．（2019春?铜山区期中）下列说法正确的是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是菱形
D．有一组邻边相等并且有一个角是直角的四边形是正方形
5．（2019秋?吉安期中）如图，?ABCD的对角线交于点F，CD的中点是E，下列说法不正确的是（　　）
A．当EF⊥CD时，?ABCD是矩形
B．当EF＝DE时，?ABCD是菱形
C．当?ABCD是矩形时，FE平分∠DFC
D．当∠EFC＝45°时，?ABCD是正方形
6．（2018春?沧州期中）甲、乙、丙、丁四位同学到工厂实习，工人师傅拿一把尺子要他们帮助检测一个四边形构件是否为正方形，他们各自做了如下检测，其中正确的是（　　）
A．甲量得构件四边都相等
B．乙量得构件的两条对角线相等
C．丙量得构件的一组邻边相等
D．丁量得构件四边相等且两条对角线也相等
二．填空题（每小题7分，共28分）
7．（2019?杜尔伯特县二模）平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：　 　，使得平行四边形ABCD为正方形．
8．（2019?石景山区二模）请添加一个条件，使得菱形ABCD为正方形，则此条件可以为　 　．
9．（2016春?盂县期中）李燕在商场里看到一条很漂亮的丝巾，非常想买．但她拿起来看时感觉丝巾不太方．商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角，让李燕看另一组对角是否对齐（如图所示）．李燕还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让李燕检验．李燕终于买下这块纱巾．你认为李燕买的这块纱巾是正方形的吗？　 　（填是或否）．
10．（2019春?寿县期末）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD＝　 　时，四边形MENF是正方形．
三．解答题（共30分）
11．（6分）（2019秋?高州市期中）如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AEB＝∠CEB，求证：四边形ABCD是正方形．
12．（12分）（2019春?天河区校级期中）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD
（1）判断四边形OCED是什么特殊四边形？并证明你的结论
（2）当AB、AD满足什么条件时，四边形OCED是正方形？请说明理由．
13．（12分）（2019春?花都区期中）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？并说明理由．

5.3.1 正方形的判定测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2019秋?大田县期中）下列说法中，正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一组邻边相等的矩形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
【分析】分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A、∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可能是平行四边形或梯形；
∴选项A不正确；
B、∵有一组邻边相等的矩形是正方形，
∴选项B正确；
C、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项C不正确；
D、∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴选项D不正确；
故选：B．
2．（2019秋?凤翔县期中）已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，则下列说法准确的是（　　）
A．当OA＝OC时，平行四边形ABCD为矩形
B．当AB＝AD时，平行四边形ABCD为正方形
C．当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD为菱形
D．当AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形
【分析】利用矩形的判定、正方形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A．当OA＝OC时，不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
B．根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，则平行四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，故此选项不符合题意；
C．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
D．当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确．
故选：D．
3．（2019春?鼓楼区校级期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当∠ABC＝90°时，它是矩形
B．当AB＝BC时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是菱形
D．当AC＝BD时，它是正方形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（2019春?铜山区期中）下列说法正确的是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是菱形
D．有一组邻边相等并且有一个角是直角的四边形是正方形
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故正确；
B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故错误；
D、有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，故错误；
故选：A．
5．（2019秋?吉安期中）如图，?ABCD的对角线交于点F，CD的中点是E，下列说法不正确的是（　　）
A．当EF⊥CD时，?ABCD是矩形
B．当EF＝DE时，?ABCD是菱形
C．当?ABCD是矩形时，FE平分∠DFC
D．当∠EFC＝45°时，?ABCD是正方形
【分析】根据平行四边形的性质、进行的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识一一判断即可．
【解答】解：A、正确．当EF⊥CD时，可以推出∠DEF＝∠DCB＝90°，故?ABCD是矩形．
B、正确．当EF＝DE时，∵BC＝2EF，CD＝2DE，∴BC＝CD，故?ABCD是菱形．
C、正确．当?ABCD是矩形时，∵FD＝FC，DE＝EC，∴FE平分∠DFC．
D、错误．当∠EFC＝45°时，无法判断?ABCD是正方形．
故选：D．
6．（2018春?沧州期中）甲、乙、丙、丁四位同学到工厂实习，工人师傅拿一把尺子要他们帮助检测一个四边形构件是否为正方形，他们各自做了如下检测，其中正确的是（　　）
A．甲量得构件四边都相等
B．乙量得构件的两条对角线相等
C．丙量得构件的一组邻边相等
D．丁量得构件四边相等且两条对角线也相等
【分析】根据正方形的判定定理即可证得四边相等且两条对角线也相等的四边形是正方形，继而求得答案．
【解答】解：甲：∵构件四边都相等，
∴此四边形是菱形；
乙：∵两条对角线相等，
∴没法判定是什么四边形；
丙：∵一组邻边相等，
∴没法判定是什么四边形；
丁：∵四边相等，
∴此四边形是菱形，
∵两条对角线也相等，
∴此四边形是正方形．
故选：D．
二．填空题
7．（2019?杜尔伯特县二模）平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：　∠BAD＝90°或AC＝BD　，使得平行四边形ABCD为正方形．
【分析】先判定平行四边形ABCD是菱形，再根据有一个角是直角的菱形时正方形；对角线相等的菱形是正方形；即可得出结论．
【解答】解：∵?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，
∴?ABCD是菱形，
当∠BAD＝90°时，?ABCD为正方形；
当AC＝BD时，?ABCD为正方形；
故答案为：∠BAD＝90°或AC＝BD．
8．（2019?石景山区二模）请添加一个条件，使得菱形ABCD为正方形，则此条件可以为　AC＝BD或∠ABC＝90°　．
【分析】根据对角线相等的菱形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；即可得出结论．
【解答】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；
根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：∠ABC＝90°；
故添加的条件为：AC＝BD或∠ABC＝90°．
故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°．
9．（2016春?盂县期中）李燕在商场里看到一条很漂亮的丝巾，非常想买．但她拿起来看时感觉丝巾不太方．商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角，让李燕看另一组对角是否对齐（如图所示）．李燕还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让李燕检验．李燕终于买下这块纱巾．你认为李燕买的这块纱巾是正方形的吗？　否　（填是或否）．
【分析】根据正方形的性质知，正方形的对称轴共有四条，除了两条对角线外，还有两条是对边中点的连线．
【解答】解：根据老板的方法，只能说明这块纱巾的两组对角分别相等，四条边都相等，也就是说纱巾的两条对角线是对称轴，这只能保证纱巾是菱形，并不能保证它是正方形．因为正方形的对称轴共有四条，除了两条对角线外，还有两条是对边中点的连线．所以只要拉起一组对边的中点将纱巾对折，看另一组对边是否重合（图②）．若另一组对边不能重合，那么此纱布不是正方形；若另一组对边能重合，那么此纱布一定是正方形．
故答案为：否．
10．（2019春?寿县期末）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD＝　1：2　时，四边形MENF是正方形．
【分析】首先得出四边形MENF是平行四边形，再求出∠BMC＝90°和ME＝MF，根据正方形的判定推出即可．
【解答】解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD＝1：2，AM＝DM，AB＝CD，
∴AB＝AM＝DM＝DC，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠MBC＝∠MCB＝45°，
∴BM＝CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE＝CF，ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME＝MF，∠BMC＝90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．
三．解答题
11．（2019秋?高州市期中）如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AEB＝∠CEB，求证：四边形ABCD是正方形．
【分析】法一：连结AC交BD于O点，根据AAS证明△AEO≌△CEO，根据全等三角形的性质可得AE＝CE，根据矩形的性质得OA＝OC，由∠AEO＝∠CEO，则可判断△AEC为等腰三角形，所以OE⊥AC，然后根据对角线互相垂直的矩形为正方形得到结论．
法二：易证△ABE≌△CBE（AAS），由此可得AB＝CB，再根据邻边相等的矩形是正方形即可得证．
【解答】法一：
证明：连结AC交BD于O点，如图，
在△AEO与△CEO中，
，
∴△AEO≌△CEO（AAS），
∴AE＝CE，
∴△AEC为等腰三角形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，
∴OE⊥AC，
即AC⊥BD，
∴AC和BD互相垂直平分，
∴四边形ABCD为菱形，
而∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
法二：
在△ABE和△CBE中
，
∴△ABE≌△CBE（AAS），
∴BA＝BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形．
12．（2019春?天河区校级期中）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD
（1）判断四边形OCED是什么特殊四边形？并证明你的结论
（2）当AB、AD满足什么条件时，四边形OCED是正方形？请说明理由．
【分析】（1）由条件可先证得四边形OCED为平行四边形，结合矩形的性质可得OC＝OD，可证得结论；
（2）由正方形的性质和判定可求解．
【解答】解：（1）四边形OCED是菱形，理由如下：
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵在矩形ABCD中，OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形；
（2）当AB＝AD时，四边形OCED是正方形，
理由如下：
∵AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴菱形OCED是正方形．
13．（2019春?花都区期中）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？并说明理由．
【分析】（1）根据DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立；
（2）根据有一个角是直角的菱形是正方形可以解答本题．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠ADF＝∠FAD，
∴FA＝FD，
∴四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（2）解：当△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，时，四边形AEDF是正方形，
理由：∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
由（1）知四边形AEDF是菱形，
∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．