5.3.2 正方形的性质同步测试题（含解析）

5.3.2 正方形的性质测试卷
（时间45分钟 满分100分）
一．选择题（每小题7分，共42分）
1．（2019秋?昌平区校级期中）如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，面积为1的是（　　）
A．②③ B．①③ C．①②③ D．④
2．（2019秋?巴州区校级期中）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，给出下列四个结论，其中正确结论的序号是（　　）
①AP＝EF
②∠PFE＝∠BAP
③△APD一定是等腰三角形
④PD＝EC
A．①②④ B．②④ C．①②③ D．①③④
3．（2019秋?长兴县期中）如图，对角线AC将正方形ABCD分成两个等腰三角形，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝15，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝5的点P的个数是（　　）
A．0 B．4 C．8 D．16
4．（2019秋?高州市期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（﹣1，1），AB平行于x轴，则点C的坐标为（　　）
A．（2，4） B．（2，5） C．（3，4） D．（3，5）
5．（2019秋?东海县期中）下列说法正确的是（　　）
A．形状相同的两个三角形一定全等
B．面积相等两个三角形一定全等
C．所有的正方形都全等
D．一个图形经过平移后，前后两个图形一定全等
6．（2019秋?西城区校级期中）如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），则C点的坐标是（　　）
A．（1，3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，1）
二．填空题（每小题7分，共28分）
7．（2019秋?中原区校级期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E、F分别在CD、AD上，CE＝DF，BE，CF相交于G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　 　．
8．（2019秋?新北区期中）如图所示，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形，再加上中间的那个小正方形EFGH组成的．若小正方形的边长是17，每个直角三角形的短的直角边长是7，则大正方形ABCD的面积是　 　．
9．（2019秋?防城区期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为　 　．
10．（2019秋?新吴区期中）如图，点P在正方形ABCD边AD上，连接PB．过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得∠QBE＝∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ．若PQ2＝PB2+PD2+2，则△PAB的面积为　 　．
三．解答题（共30分）
11．（10分）（2019秋?襄州区期中）如图正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．
（1）若∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF；
（2）若该正方形ABCD的边长为1，如果△CEF的周长为2．求∠EAF的度数．
12．（10分）（2019秋?南昌期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，正方形EFGH的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点E的坐标为（3，0），AB与EF均在x轴上．
（1）C，G两点的坐标分别为　 　，　 　．
（2）将正方形ABCD绕点E顺时针旋转90°得到正方形A'B'C'D'，求点C'的坐标和FC'的长．
13．（10分）（2019春?保山期中）四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（1）求证：AM＝AD+MC．
（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM＝AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

5.3.2 正方形的性质测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2019秋?昌平区校级期中）如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，面积为1的是（　　）
A．②③ B．①③ C．①②③ D．④
【分析】分别求出四个阴影三角形的面积，即可得出答案．
【解答】解：①阴影三角形＝×1×1＝；
②阴影三角形＝×2×1＝1；
③阴影三角形＝×1×2＝1；
④阴影三角形＝×2×2＝2；
则四个阴影三角形中，面积为1的是②③；
故选：A．
2．（2019秋?巴州区校级期中）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，给出下列四个结论，其中正确结论的序号是（　　）
①AP＝EF
②∠PFE＝∠BAP
③△APD一定是等腰三角形
④PD＝EC
A．①②④ B．②④ C．①②③ D．①③④
【分析】连接PC，由正方形的性质得出∠ABP＝∠CBP＝45°，然后由SAS证明△ABP≌△CBP，得出AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，由矩形的性质得出EF＝PC，PF＝EC，再判断出△PDF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质解答即可，△APD只有点P为BD的中点或PD＝AD时是等腰三角形，即可得出结果．
【解答】解：连接PC，如图所示：
在正方形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝45°，AB＝CB，
∵在△ABP和△CBP中，，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC＝EF，∠BCP＝∠PFE，
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①②正确；
∵PF⊥CD，∠BDC＝45°，
∴△PDF是等腰直角三角形，
∴PD＝PF，
∵矩形的对边PF＝EC，
∴PD＝EC，故④正确；
只有点P为BD的中点或PD＝AD时，△APD是等腰三角形，故③错误；
综上所述，正确的结论有①②④，
故选：A．
3．（2019秋?长兴县期中）如图，对角线AC将正方形ABCD分成两个等腰三角形，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝15，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝5的点P的个数是（　　）
A．0 B．4 C．8 D．16
【分析】作点F关于BC的对称点M，连接CM，连接EM交BC于点P，可得点P到点E和点F的距离之和最小＝EM，由勾股定理求出EM＝5，即可得解．
【解答】解：作点F关于BC的对称点M，连接CM，连接EM交BC于点P，如图所示：
则PE+PF的值最小＝EM；
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝15，
∴EC＝10，FC＝5＝AE，
∵点M与点F关于BC对称，
∴CF＝CM＝5，∠ACB＝∠BCM＝45°，
∴∠ACM＝90°，
∴EM＝＝＝5，
同理：在线段AB，AD，CD上都存在1个点P，使PE+PF＝5；
∴满足PE+PF＝5的点P的个数是4个；
故选：B．
4．（2019秋?高州市期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（﹣1，1），AB平行于x轴，则点C的坐标为（　　）
A．（2，4） B．（2，5） C．（3，4） D．（3，5）
【分析】根据正方形的边长加上点A的横坐标得到点C的横坐标，加上点A的纵坐标得到点C的纵坐标，从而得解．
【解答】解：如图，∵正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（﹣1，1），
∴点C的横坐标为4﹣1＝3，
点C的纵坐标为4+1＝5，
∴点C的坐标为（3，5）．
故选：D．
5．（2019秋?东海县期中）下列说法正确的是（　　）
A．形状相同的两个三角形一定全等
B．面积相等两个三角形一定全等
C．所有的正方形都全等
D．一个图形经过平移后，前后两个图形一定全等
【分析】根据平移的性质及全等图形的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误；
B、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C、两个边长不相等的正方形不全等，故本选项错误；
D、一个图形经过平移后，前后两个图形一定全等，故本选项正确．
故选：D．
6．（2019秋?西城区校级期中）如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），则C点的坐标是（　　）
A．（1，3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，1）
【分析】作CD⊥x轴于D，作AE⊥x轴于E，由AAS证明△AOE≌△OCD，得出AE＝OD，OE＝CD，由点A的坐标是（﹣3，1），得出OE＝3，AE＝1，则OD＝1，CD＝3，得出C（1，3）．
【解答】解：如图所示：作CD⊥x轴于D，作AE⊥x轴于E，
则∠AEO＝∠ODC＝90°，
∴∠OAE+∠AOE＝90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝CO＝BA，∠AOC＝90°，
∴∠AOE+∠COD＝90°，
∴∠OAE＝∠COD，
在△AOE和△OCD中，
，
∴△AOE≌△OCD（AAS），
∴AE＝OD，OE＝CD，
∵点A的坐标是（﹣3，1），
∴OE＝3，AE＝1，
∴OD＝1，CD＝3，
∴C（1，3），
故选：A．
二．填空题
7．（2019秋?中原区校级期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E、F分别在CD、AD上，CE＝DF，BE，CF相交于G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　6+2　．
【分析】根据阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为24，空白部分的面积为12，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCE＝∠D＝90°，BC＝CD，
∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，正方形ABCD的面积＝62＝36，
∴阴影部分的面积为×36＝24，
∴空白部分的面积为36﹣24＝12，
在△BCE和△CDF中，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE＝∠DCF，△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×12＝6，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
设BG＝a，CG＝b，则ab＝6，
又∵a2+b2＝62，
∴a2+2ab+b2＝36+24＝60，
即（a+b）2＝60，
∴a+b＝2，即BG+CG＝2，
∴△BCG的周长＝6+2，
故答案为：6+2．
8．（2019秋?新北区期中）如图所示，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形，再加上中间的那个小正方形EFGH组成的．若小正方形的边长是17，每个直角三角形的短的直角边长是7，则大正方形ABCD的面积是　625　．
【分析】依据勾股定理即可得到Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2＝242+72＝625，进而得到大正方形ABCD的面积是625．
【解答】解：∵小正方形的边长是17，每个直角三角形的短的直角边长是7，
∴AE＝AH+HE＝7+17＝24，BE＝7，
∵∠AEB＝90°，
∴Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2＝242+72＝625，
即大正方形ABCD的面积是625，
故答案为：625．
9．（2019秋?防城区期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为　　．
【分析】首先延长FD到G，使DG＝BE，利用正方形的性质得∠B＝∠CDF＝∠CDG＝90°，CB＝CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性质易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE＝1，设AF＝x，利用GF＝EF，解得x，利用勾股定理可得CF．
【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；
连接CG、EF；
∵四边形ABCD为正方形，
在△BCE与△DCG中，，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，
∴∠GCF＝45°，
在△GCF与△ECF中，，
∴△GCF≌△ECF（SAS），
∴GF＝EF，
∵CE＝5，CB＝4，
∴BE＝3，
∴AE＝1，
设AF＝x，则DF＝4﹣x，GF＝3+（4﹣x）＝7﹣x，
∴EF＝＝，
∴（7﹣x）2＝1+x2，
∴x＝，
即AF＝，
∴DF＝4﹣＝，
∴CF＝＝＝，
故答案为：．
10．（2019秋?新吴区期中）如图，点P在正方形ABCD边AD上，连接PB．过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得∠QBE＝∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ．若PQ2＝PB2+PD2+2，则△PAB的面积为　　．
【分析】先倒角求得∠PBA＝∠QBC，再利用ASA判定△PAB≌△QCB，设正方形ABCD的边长AB＝a，PA＝x，在Rt△PAB中，由勾股定理得PB2＝PA2+AB2＝x2+a2，结合PQ2＝PB2+PD2+2可得（a﹣x）2+（a+x）2＝x2+a2+（a﹣x）2+2，求得ax的值，再由三角形的面积公式可得结论．
【解答】解：∵∠QBE＝∠PBC，∠QBE+∠QBC＝90°
∴∠PBQ＝∠PBC+∠QBC＝90°
∵∠PBC+∠PBA＝90°
∴∠PBA＝∠QBC
∴在△PAB和△QCB中
∴△PAB≌△QCB（ASA）
∴PB＝QB
设正方形ABCD的边长AB＝a，PA＝x
∵△PAB≌△QCB
∴QC＝PA＝x
∴DQ＝DC+QC＝a+x，PD＝AD﹣PA＝a﹣x
在Rt△PAB中，
PB2＝PA2+AB2＝x2+a2
∵PQ2＝PB2+PD2+2
∴（a﹣x）2+（a+x）2＝x2+a2+（a﹣x）2+2
化简得：2ax＝2
∴ax＝1
∴△PAB的面积
S＝PA?AB＝ax＝
故答案为：．
三．解答题
11．（2019秋?襄州区期中）如图正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．
（1）若∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF；
（2）若该正方形ABCD的边长为1，如果△CEF的周长为2．求∠EAF的度数．
【分析】（1）先构造出△ADE'≌△ABE（SAS），得出∠E′AF＝∠EAF，再由SAS证明△E′AF≌△EAF，得出E′F＝EF，即可得出结论；
（2）先判断出AE'＝AE，∠DAE'＝BAE，再判断出EF＝E'F，进而判断出△E'AF≌△EAF（SSS），得出∠E'AF＝∠EAF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图，
延长CD至E'，使DE'＝BE，连接AE'，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠B＝90°，
∴∠ADE'＝90°＝∠ABE，
在△ADE'和△ABE中，，
∴△ADE'≌△ABE（SAS），
∴AE'＝AE，∠DAE'＝∠BAE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠DAF+∠DAE'＝∠E'AF＝45°＝∠EAF，
在△E′AF和△EAF中，，
∴△E′AF≌△EAF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵E′F＝DE′+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
（2）延长CD至E'使DE'＝BE，连接AE'，
由（1）知，△ADE'≌△ABE（SAS），
∴AE'＝AE，∠DAE'＝BAE，
设BE＝x，DF＝y，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴CE＝1﹣x，CF＝1﹣y，
∵△CEF的周长为2，
∴CE+CF+EF＝2，
∴1﹣x+1﹣y+EF＝2，
∴EF＝x+y＝BE+DF＝DE'+DF＝E'F，
在△E'AF和△EAF中，，
∴△E'AF≌△EAF（SSS），
∴∠E'AF＝∠EAF，
∴∠DAE'+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠EAF，
∵∠DAF+∠EAF+∠BAE＝90°，
∴∠EAF＝45°．
12．（2019秋?南昌期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，正方形EFGH的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点E的坐标为（3，0），AB与EF均在x轴上．
（1）C，G两点的坐标分别为　（﹣2，2）　，　（8，5）　．
（2）将正方形ABCD绕点E顺时针旋转90°得到正方形A'B'C'D'，求点C'的坐标和FC'的长．
【分析】（1）由正方形的性质可得点B（﹣2，0），BC＝AB＝2，点F（8，0），EF＝GF＝5，即可求解；
（2）画出旋转后的图形，可得C'的坐标，由勾股定理可求FC'的长．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为2，正方形EFGH的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点E的坐标为（3，0），
∴点B（﹣2，0），BC＝AB＝2，点F（8，0），EF＝GF＝5，
∴点C坐标（﹣2，2），点G（8，5）
故答案为：（﹣2，2），（8，5）；
（2）如图，将正方形ABCD绕点E顺时针旋转90°得到正方形A'B'C'D'，此时点H与点B'重合，
∴点C'（5，5），
∵C'G＝B'G﹣B'C'＝3，GF＝5，
∴C'F＝＝＝．
13．（2019春?保山期中）四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（1）求证：AM＝AD+MC．
（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM＝AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
【分析】（1）可以过点E作EF⊥AM于点F，连接EM，根据四边形ABCD是正方形，证明△ADE≌△AFE，可得AD＝AF，DE＝FE，再证明Rt△EFM≌Rt△ECM，即可得结论；
（2）证明方法同（1）．
【解答】解：（1）如图1，过点E作EF⊥AM于点F，连接EM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠D＝∠AFE，
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE＝∠FAE，
AE＝AE，
∴△ADE≌△AFE（AAS），
∴AD＝AF，DE＝FE，
∵E是CD边的中点，
∴DE＝EC，
∴FE＝EC，
EM＝EM，
∴Rt△EFM≌Rt△ECM（HL），
∴FM＝MC．
∴AM＝AF+FM＝AD+MC．
（2）AM＝AD+MC成立，理由如下：
如图2，过点E作EF⊥AM于点F，连接EM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠D＝∠AFE，
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE＝∠FAE，
AE＝AE，
∴△ADE≌△AFE（AAS），
∴AD＝AF，DE＝FE，
∵E是CD边的中点，
∴DE＝EC，
∴FE＝EC，
EM＝EM，
∴Rt△EFM≌Rt△ECM（HL），
∴FM＝MC．
∴AM＝AF+FM＝AD+MC．
所以AM＝AD+MC成立．