5．1常量与变量 导学案
一、课前热身
1．在一个过程中，固定不变的量称为 ，可以取不同数值的量称为 ．
2．某市居民用电的单价是0.53元/度．居民生活用电x (度)应付电费y(元)．则常量是 ，变量是 .
3．某种报纸每份0.5元，购买n份此种报纸共需b元，则常量是 ，变量是 ．
4．在男子l000m赛跑中，运动员的平均速度v=，则其中变量是 ，常量是 ；
5．在圆的面积和半径之间的关系式S=πr2中， 是常量，
是变量．
二、课堂讲练
典型例题1 阅读下面这段话，指出其中的常量和变量．为了响应学校举办的“学勤俭，献爱心”主题活动，小明同学将2000元压岁钱存人邮政局，已知某种储蓄的月利率为0.3％，存了x月后所得利息为y元．
巩固练习2 在球的体积公式V=πR3，下列说法正确的是 ( )
A．V，π，R3是变量，要为常量 B．V，R为变量，，π为常量
C．R为变量，，π，V为常量 D．V为变量，，π，R为常量
典型例题2 给定了火车的速度v=60km/h，要研究火车运行的路程S(m)与时间t(h)之间的关系，在这个问题中，常量是 ，变量是 ；若给定路程S=1OOkm，要研究速度v(km/h)与时间t(h)之间的关系，在这个问题中，常量是 ，变量是 ；由这两个问题可知，常量与变量是 的．
巩固练习2 (1)环卫工作人员在清扫长1Okm街道时，路程、效率、时间中，哪些是变量?哪些是常量?
(2)环卫工作人员以2km／小时的速度清扫街道时，路程、速度、时间中，哪些是变量?哪些是常量?
三、跟踪演练
一、选择题
1．半径是R的圆的周长C=2πR，下列说法正确的是 ( )
A．C，π，R是变量 B．C是变量，2，π，R是常量
C．R是变量，2，π，C是常量 D．C，R是变量，2，π是常量
2．在△ABC中，它的底边为a，底边上的高为h，则三角形的面积S=ah，若h为定值，则式子中的变量为 ( )
A．S，a，h B．a，h C．S，a D．以上答案均不对
八（上）数学导学案 主备人：杨伯才 使用时间：2014年12月1日
3．市场上出售一种水果，水果的总售价与所售水果数量之间的关系如下表：
所售水果数量(kg)
O
1
1.5
2
2.5
3
总售价(元)
O
3
4.5
6
7.5
9
上表中的变量情况是 ( )
A．仅有一个变量，是所售水果数量 B．仅有一个变量，是总售价
C．有两个变量，一个是所售水果数量，另一个是总售价 D．均为常量，无变量
4．上衣每件a元，买12件上衣共支出y元，在这个问题中
(1)a是常量时，y是变量； (2)a是变量时，y是常量； (3)a是变量时，y也是变量；(4)a，y可以都是常量或都是变量．上述判断，正确的个数是 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
5．长方形的长和宽分别是a与b，周长C=2(a+b)，其中常量是 ，变量是 ．
6．正多边形的内角和公式a=(n-1)×180°(a是多边形的内角和，n是正多边形的边数)，则其中的变量是 ，常量是 ．
7．圆锥体积V与圆锥底面半径r、圆锥高h之间存在关系式V=πr2h，当底面半径r一定时，变量为 ．
三、解答题
8．指出下列问题中，哪些量是变量，哪些是量是常量．
(1)小明到商店买练习簿，每本单价2元，购买的总数x(本)与总金额y(元)的关系式．
(2)假设钟点工的工作标准为6元／时，工作时间为t (时)，应得工资为m(元)．
(3)某运动员在400m跑道上训练，他跑一圈所用的时间为t(s)，速度为v(m/s)．
(4)圆形花坛的半径为r，花坛面积为S．
9．写出下列各问题的关系式中的常量与变量．
(1)时针旋转一周内，旋转的角度(度)与旋转所需要的时间(t)之间的关系式：n=6t．
(2)等腰三角形的顶角y与底角x之间的关系式：y=180°－2x．
(3)某地温度T(℃)与海拔高度h(m)之间的关系式，可用T=10-来近似估计．
10．拖拉机开始工作时，油箱中有40L油，每小时用油4L工作时间为t(h)时油箱中剩余油量y(L)的情况如下表所示．
工作时间t(h)
0
1
2
3
4
5
剩余油量y(L)
40
36
32
28
24
20
在这个变化过程中，哪些是变量?哪些是常量?
5.2(1) 函 数
班级 组名 姓名
1.【课前预习】
1）小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为时，应得报酬为元，填写下表：
工作时间（时）
1
5
10
15
20
…
…
报酬（元）
然后回答下列问题：（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？
（2）你能用的代数式来表示的值吗？
2）跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离(米)与助跑的速度(米／秒)有关．根据经验，跳远的距离(0<<10.5) ．然后回答下列问题：
（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？
(2)计算当分别为6, 10时，相应的跳远距离是多少?并说明它们的实际意义.
(3)给定一个的值，你能求出相应的的值吗?
2.【探究新知】
（1）函数的概念：一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值，那么就说是的函数，叫做自变量．例如，上面的问题1中，是的函数，是自变量；问题2中，是对的的函数，是自变量．
（2）函数的表示法：①( ) ②( ) ③( )
（3）函数值概念：与自变量对应的值叫做函数值，它与自变量的取值有关，通常函数值随着自变量的变化而变化．
3．【巩固练习】
（1）1、某市民用电费的价格是0.53元/千瓦时。设用电量为x千瓦时，应付电费为y元，则y关于x的函数解析式为_____________，当x=40时，函数值为________，它的实际意义是________________________________。
（2）2）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示:
月用水量x(度)
012x>18
收费标准y （元/度）
2.00
2.50
3.00
（1）y是x的函数吗？为什么？
（2）分别求当x=10,16,20时的函数值，并说明它的实际意义．
4.【应用新知】
1）下图是小明放学回家的折线图，其中t表示时间，s表示离开学校的路程．
请根据图象回答下面的问题：
(1)这个折线图反映了哪两个变量之间的关系？路程s可以看成t的函数吗？
(2)求当t=5分时的函数值？
(3)当 10≤t≤15时，对应的函数值是多少？并说明它的实际意义？
(4)学校离家有多远？小明放学骑自行车回家共用了几分钟？
2）当 x=2 时,函数 y=kx-2 和 y=2x+k 的值互为相反数,求k
3)下列图象关系中，x 是 y 的函数吗?
4)下列四个图象中，不表示某一函数图象的是( )．
5.2 认识函数(2)
班级 组名 姓名
一、【课前预习】
1)已知一个梯形的下底边长是上底边长的2倍，高线长为10cm，求梯形的面积S（cm2)关于上底边长x(cm)的函数关系式．
2) 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．
二、【探究归纳】
思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围．
1）
2）
(2)上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如：s＝60t， S＝πR2．在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，必须使实际问题有意义．例如，函数解析式S＝πR2中自变量R的取值范围是全体实数，但如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系，那么自变量R的取值范围就应该是R＞0．
三、【实践应用】
1.求下列函数中自变量x的取值范围：
(1) y＝3x－1； (2) y＝2x2＋7；
(3)； (4)．
例1 求下列函数中自
分析 用解析法表示的函数，一般来说，自变量只能取使解析式有意义的值．
归纳 四个小题代表三类题型：(1)，(2)题给出的是整式；(3)题给出的是分式；
(4)题给出的是二次根式．
2.等腰三角形ABC的周长为12,底边长为y,腰AB长为x.求:
y关于x的函数解析式；
自变量x的取值范围；
腰长AB =3时,底边的长.
分析 (1)问题中的x与y之间存在怎样的数量关系?这种数量关系可以什么形式给出?
(2)这个等式算不算y关于x的函数解析式?如果不算,应该对等式进行怎样的变形?
(3)结合实际,x与y应满足怎样的不等关系?
归纳 (1)在求函数解析式时,可以先得到函数与自变量之间的等式,然后写出函数关于自变量的函数解析式；
(2)在求自变量的取值范围时,要从两个方面来考虑:
①解析式要有意义；②要符合实际.
3.如图，正方形EFGH内接于边长为1的正方形ABCD．设AE= x，试求正方形EFGH的面积y与x的关系，写出自变量x的取值范围，并求当x= 时，正方形EFGH的面积．
4． 求下列函数当x = 2时的函数值：
(1)y = 2x-5 ； (2)y =－3x2 (3)； (4)．
5 .用总长为60cm的铁丝围成长方形，如果长方形的一边长为 a（cm），面积为 S （cm2）。
（1）写出反映 S与a 之间的关系式。
（2）利用所写的关系式计算当a=12，20，25时，S的值是多少？
四、【拓展提高】
1）如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式．并写出自变量取值范围。
如图5-4,每个图形都是由若干个棋子围成的正方形图案,图案的每条边(包括两个顶点)上都有
n(n≥2)个棋子,设每个图案的棋子总数为S.图5-4中，棋子的排列有什么规律？S与n之间能用函数式表示吗?自变量n的取值范围是什么？
5．3（1）一次函数
班级 组名 姓名
【课前尝试预习】
1．比较下列各个函数，它们有哪些共同特征？
（1）m=6t；（2）y=-2x；（3）y=2x+3；（4）Q=-312t+936。
2．一次函数的概念：
。
正比例函数的概念：
。
想一想：一次函数与正比例函数的关系是什么？
3．下列函数中,哪些是一次函数?哪些是正比例函数?系数k和常数项b的值各是多少?
C＝2πr, y＝,
t＝, y＝2(3-x), s＝x(50-x).
4．例1尝试。求下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数。
（1）某农场种植玉米，每平方米种玉米5株，玉米株数y与种植面积x（m2）之间的关系；
（2）等腰直角三角形的面积y与斜边x之间的关系；
（3）等腰三角形ABC的周长为12（cm），底边BC长为x（cm），腰AB长为y（cm），则y与x之间的关系。
5．课内练习。
（1）已知正比例函数y＝kx,当x＝-2时,y＝6.求比例系数k的值及y与x的函数关系式。
并求当x=3时的函数值。
（2）写出下列一次函数的一次项系数k和常数项b的值.
(1)y ＝3x+7. (2)s ＝-t+4.
(3)m ＝0.4n. (4)y ＝-2(x-1)+x.
朝晖初中八年级上数学导学案 主备人：杨伯才 使用时间：2014.12.4 星期四
【课中尝试提高】
6．按国家2011年9月1日起实施的有关个人所得税的规定，个人月工资中，扣除国家规定的免税部分3500元后的剩余部分为应纳税所得额。全月应纳税所得额不超过1500元的税率为3%，超过1500元至4500元部分的税率为10%。
（1）设全月应纳税所得额为x元，且1500（2）小明爸爸的工资为每月7000元，问他每月应缴纳个人所得税多少元？
7．如图，矩形ABCD中，当点P在边AD上从A向D移动时，有些线段的长度保持不变，有些则发生了变化；有些三角形的面积始终保持不变，另一些则发生了变化。
(1) 请分别找出变化与不变的线段和三角形（各两个）；
(2) 若矩形的长AD=10cm，宽AB=4cm，线段AP长为xcm，请分别写出变化的线段PD的长度y、变化的△PCD的面积S与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
【能力提升】
8.已知一次函数y =x-3，若当x=a时，y=5；当x=b时，y=3．则a和b的大小关系是（ ）
A．a＞b B． C．a＜b D．不能确定
9. 已知函数y=(k-1)x|k|+3是一次函数,则k=…………………………………………（ ）
A.1 B.-1 C.0 D.
10.一次函数y =2(x+1)-3x的常数项b = .
5．3（2）一次函数
班级 组名 姓名
【课前尝试预习】
1．练习：
（1）已知下列函数：①y=2x-1；②y =-x；③y =4x；④. 其中属于正比例函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）一次函数y =kx+b中，k为……………………………………………………………（ ）
A．非零实数 B．正实数 C．非负实数 D．任意实数
（3）已知y与x成正比例，当x =-2时，y =6，那么比例系数k =_______.
（4）铜的质量M与体积V成正比例关系.已知当V ＝5cm3时,M ＝44.5g.求:
(1)铜的质量M(g)关于体积V(cm3)的函数表达式,以及铜的密度ρ.
(2)体积为0.3dm3的铜棒的质量.
2．尝试完成例题：
已知y是关于x的一次函数,且当x =3时，y =-2；当x =2时，y =-3．
(1)求这个一次函数的表达式； (2)求当x=-3时, 函数y的值；
(3)求当y=2时, 自变量x的值； (4)当y>1时, 自变量x的取值范围.
3．求一次函数的一般步骤：
（1）
（2）
（3）
（4）
这种求函数表达式的方法叫做 。
朝晖初中八年级上数学导学案 主备人：杨伯才 使用时间：2014.12.5 星期五
【课中尝试提高题】
4．已知y是x的一次函数,且当x＝-4时,y＝9;当x＝6时,y＝-1.求:
(1)这个一次函数的表达式和自变量x的取值范围.
(2)当x＝-时,函数y的值.
(3)当y＝7时,自变量x的值.
(4)当y<1时,自变量x的取值范围。
5．从1995年底开始，某地区的沙漠面积几乎每年以相同的速度增长。据有关报道，到2001年底，该地区的沙漠面积已从1998年底的100。6万公顷扩展到101。3万公顷。
（1）可用什么数学方法来描述该地区的沙漠面积的变化？
（2）如果该地区的沙漠化得不到治理，按相同的增长速度，那么到2020年底，该地区的沙漠面积将增加到多少万公顷？
6．已知y+m与x-n成正比例(其中m,n是常数).
(1)y是关于x的一次函数吗?
(2)如果当y＝-15时,x＝-1;当x＝7时,y＝1.求y关于x的函数表达式.
5．4（1）一次函数的图像
【课前尝试预习题】
1．对一次函数y＝2x与y＝2x+1作如下研究:
（1）分别选择若干对自变量与函数的对应值,列成下表(请在空格内填入合适的数,完成表5-5).
?
（2）分别以表中x的值作点的横坐标,对应的y值作纵坐标,得到两组点,写出用坐标表示的这两组点.
（3）在以下直角坐标系中画出这两组点.
（4）观察所画的两组点,你发现了什么?把你的发现与同伴交流.
2．由上可见，一次函数y=kx+b可以用直角坐标系中的一条 来表示，这条 也叫做一次函数y=kx+b的 。
3．画正比例函数y=kx的图像时，只要在直角坐标系中描出点（0， ）与（1， ）两点，并经过这两点画一条直线即可得到它的图像了。
朝晖初中八年级上数学导学案 主备人：杨伯才 使用时间：2014.12.8 星期一
4．练一练：
1）正比例函数y=3x是过点(0, )与(1, )的一条直线.
2）如果点P(-1，3)在正比例函数y=kx的图象上，那么k= .
3）直线y=-x+2与轴的交点坐标是 ,与轴的交点坐标是 .
4）若点(m,2)在直线y=-2x+4上, 则m= .
【课中尝试提高题】
5．在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并求出它们与坐标轴的交点坐标。
y=3x，y=-2x+3
6．一次函数y=kx+b的图像经过点（1，3）和点（4，6）.
(1) 求和； (2) 画出这个一次函数的图象；
(3) 若图象上有一点P到轴的距离为4,求点P的坐标.。
7．在同一条道路上,甲行走的速度为3km/h,出发0.15h后,乙以4.5km/h的速度追甲.设乙行走的时间为t(h).
(1)?写出甲、乙两人所走的路程s与时间?t?的函数表达式.
(2)?在同一直角坐标系中画出它们的图象.
(3)?求出两条直线的交点坐标,并说明它的实际意义.
5．4（2）一次函数的图像
【课前尝试预习题】
1．在同一直角坐标系内画出一次函数y=2x+3，y=x-1，y=-2x+4，y=-3x-2的图像。
2．观察你画的图像，对一次函数y=2x+3，y=x-1，当自变量x的值增大时，函数y的值有什么变化？对于 一次函数y=-2x+4，y=-3x-2呢？
3．一次函数的性质：对于一次函数y=kx+b(k, b为常数, 且k≠0). 当k>0时, y随x的增大而 ；当 时, y随x的增大而减小.
4．练一练：
（1）设下列两个函数当x＝x1时,y＝y1;当x＝x2时,y＝y2.用">"或"<"填空.
对于函数y＝x,若x2>x1,则y2___y1;
对于函数y＝-x+3,若x2___x1,则y2（2）对于函数y＝-2x＋5,当-1（3）已知y＝2x+7.当x1≤x≤x2时,_____≤y≤_____.
（4）已知y＝-0.5x+2.当-35．尝试解一解。
为了清洗水箱,需放掉水箱内原有的200升水.若8:00打开放水龙头,放水的速度为2升/分.
运用函数式和图象解答下列问题:
(1)?估计8:55～9:05(包括8:55和9:05)水箱内剩多少升水.
(2)?当水箱中存水少于10升时,放水时间已经超过多少分钟?
?朝晖初中八年级上数学导学案 主备人：杨伯才 使用时间：2014.12.9 星期二
【课中尝试提高题】
分析：此题数量关系较复杂，如果你能填好下表，那么这题就不难解决了。
运量（吨）
运费（元）
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
A组
x
B组
5．5（1）一次函数的简单应用
【课前尝试预习题】
1. 直线y=2x-1经过的点是……………………………………………………………（ ）
A. (2,1) B. (0,1) C. (2,0) D. (1,1)
2. 给出下列函数：① ② ③；④.其中随着的增大而增大的是………………………………………………………………………………（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
3. 已知关于x的一次函数y=mx+1,如果y随x的增大而减小, 则m的取值范围是…（ ）
A. m>0 B. m<0 C.m≥0 D.m≤0
4. 正比例函数的图象经过第一、三象限，则k的取值范围为 .
5．星期天，小周去朋友家借书，下图是他离家的距离(千米)与时间(分钟)的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是…………………………………（ ）
A．小周去时的速度大于回家的速度
B．小周在朋友家停留了10分钟
C．小周去时所花的时间少于回家所花的时间
D．小周去时走上坡路，回家时走下坡路
6．初三体能素质测试中的一项是考查同学们的握力．2007年3月初，小朱和小李在摸底检测时，握力分别为30千克和34千克，他们不太满意，决定加强训练，争取在5月中旬测试时有较好成绩．小朱计划每周提高握力1.5千克，小李计划每周提高握力1千克．
(1) 分别写出两同学的握力(千克)与时间(周)之间的函数关系式；
(2) 请在下面的平面直角坐标系中，分别作出两个函数所在点的直线，并根据图象回答：第几周时，两人计划达到的握力一样？如果握力达到或超过45千克获得满分，那么按计划，谁先达到满分水平？
?
朝晖初中八年级上数学导学案 主备人：杨伯才 使用时间：2014.12.12 星期五
【课中尝试提高题】
7．对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏温度表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系，从温度计的刻度上可以看出，摄氏（℃）温度与华氏（°F）温度有如下对应关系：
x℃
…
-10
0
10
20
30
…
y°F
…
14
32
50
68
86
…
(1) 通过①描点连线；②猜测与之间的函数关系；③求解；④验证等几个步骤，试确定与之间的函数关系；
(2) 某天，杭州的最高气温是8℃，澳大利亚悉尼的最高气温是91°F,问这一天悉尼的最高气温比杭州的最高气温高多少摄氏度（结果保留整数）.
8．为了鼓励小高做家务，小高每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小高每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图所示．
(1) 根据图像，请你写出小高每月的基本生活费；父母是如何奖励小高家务劳动的？
(2) 若小高5月份希望有250元费用，则小高4月份需做家务多少时间？
5.5（2）一次函数的简单应用
【课前尝试预习】
1、在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=－x+5和y=2x－1的图像，这两个图像有交点吗？如果有写出交点的坐标？
2、解方程组，交点的坐标与方程组的解有什么关系？你能说明理由吗？
本题感悟：
原来我们解二元一次方程组除了 法和 法外还可以用图象法，那么用图象法来解方程组的步骤如下：
把二元一次方程化成 的形式
在直角坐标系中画出 的图象，并标出交点。
交点坐标就是方程组的解（近似解）。
总结：
1、二元一次方程组的解实际上就是两个一次函数的图像 。
2、用图像法可以解二元一次方程组，用 的图像来解 问题。
体现了数学中 的思想方法。
3.请完成课本166页作业题1、2（请做在课本上）。
4.利用一次函数的图象求二元一次方程组的解
朝晖初中八年级上数学导学案 主备人：杨伯才 使用时间：2014.12.15 星期一
【课中尝试提高】
5.小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面.上午7:00，小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞瀑”，车速为30km/h。小慧也于上午7:00从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑” ，车速为20km/h.
(1)?当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸“？
（2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多少km？
6. 学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费．现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费．两复印社每月收费情况如图所示．
根据图象回答：
（1）乙复印社的每月承包费是多少？
（2）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？
（3）如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择哪个复印社？
