2.1一元二次方程
班级＿＿＿ 姓名＿＿＿＿ 第＿＿小组
【课前尝试预学，课中尝试交流】
1、列出下列问题中关于未知数x的方程:? (1)把面积为4m2的一张纸分割成如 图2-1?所示的正方形和长方形两个部分,? 求正方形的边长.? 设正方形的边长为x(m),可列出方程: 。
(2)某放射性元素经2天后,质量衰变为原来的.?问平均每天减 少率为多少?? 设平均每天减少率为x,可列出方程: 。
2、解决节前问题：
将一个容积为750平方厘米的包装盒剪开、铺平，纸样如图所示。图中X应满足怎样的方程？
3．观察上面所列三个方程，说出这些方程与一元一次方程的相同和不同之处。
4．一元二次方程的定义：
5.判断下列方程是否为一元二次方程:? (1)10x2＝9.?(2)2(x-1)＝3x.?(3)2x2-3x-1＝0.(4)?-＝0.
6．判断未知数的值x＝-1,x＝0,x＝2?是不是方程x2-2＝x的根.
【课中尝试提高题】
7．请将第2题（节前问题）的方程化简成一元二次方程的一般形式。
填表：
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
3x2=2x
(x+1)(x-1)=2x2-4x-6
3
-1
8．已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根为x1=，x2=3.求这个方程。
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2.2一元二次方程的解法
班级＿＿＿ 姓名＿＿＿＿ 第＿＿小组
【课前尝试预学，课中尝试交流】
1．回顾：在七年级下册“因式分解”一章中，我们学习了因式分解的两种主要方法：① 法；②公式法（包括 法和 法）. 一个多项式因式分解时，应先考虑 法，再考虑 法，最后必须考虑分解到不能分解为止.
2．.因式分解下列各式：(1) 2x2-3x= ；(2) (x+2)2-25= ；
(3) 4x2-12x+9= .
3、思考：
?若A×B＝0,下面两个结论正确吗?? (1)A?和B?都为0,即A＝0,且B＝0.? (2)A?和B?中至少有一个为0,即A＝0,或B＝0.?
4．你能用上面的结论解方程(2x-3)(x+2)=0吗？试一试。
5．尝试解例1：解下列方程：
（1）x2-4x=0； （2）16x2=9
6．像上面这种利用 解一元二次方程的方法叫做因式分解法。这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个 方程，体现了数学中的 思想。
【课中尝试提高题】
7.若一个数的平方等于这个数本身,你能求出这个数吗(要求列出一 元二次方程求解)?
8．解下列一元二次方程：
(1) (2x-5)(x-2)=10； (2) (3x-1)2=(2x+3)2.
(3) x(3x+2)=6(3x+2)； (4) x2 +8=4x .
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2.2一元二次方程的解法2
班级＿＿＿ 姓名＿＿＿＿ 第＿＿小组
【课前尝试预学，课中尝试交流】
1. 开平方法的概念
形如x2=a (a≥0)的方程，根据 的定义，解得x1= ，x2= ，这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
2.填空:(1)方程x2＝0.25的根是.(2)方程2x2＝18的根是.
3．用开平方法解下列方程。
(1) 3x2-12=0； (2) (2x-1)2-7=0.
4．完成课前导入题：
如图，工人师傅为修屋顶，将一架梯子架在墙上，已知梯子长AB=5米，墙高AC是梯子底端点离墙的距离BC的2倍，求墙高AC。
5．回忆完全平方公式，并完成以下配方。
(1)x2+8x+＝(x+4)2.?(2)x2-3x+＝(x-)2.? (3)x2-12x+＝(x-)2.?
4)x2+14x+＝(x+7)2.(5)x2-9x+＝(x-)2.
【课中尝试提高题】
6．合作学习：探讨怎样解方程x2-10x＝-16.? 你能将方程x2-10x＝-16转化成(x+a)2＝b的形式吗?请尝试解这个方程.?
7．例题：用配方法解下列一元二次方程：
(1)x2-6x＝-1.? (2)x2-5x-36＝0. （3） x2＝4x-11.
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2.2一元二次方程的解法3
班级＿＿＿ 姓名＿＿＿＿ 第＿＿小组
【课前尝试预学，课中尝试交流】
1. 用配方法解一元二次方程x2+px=-q时，应在方程两边同时加上一次项系数 的平方，即同时加上 .
2. 填空：3x2-9x+ =3(x- )2.
3. 用配方法将方程x2+8x-1=0配方成a(x+m)2=k的形式为 .
4．用配方法解关于x的方程x2＋mx＋n＝0，此方程可变形为………………（ ）
A. B.
C. D.
5．用配方法解方程：x2+2x-2=0.
6．用配方法解下列方程。
（1）2x2-x-1=0 （2）3x2+8x-3=0
7．配方法的基本步骤
(1) 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，在方程两边同时除以 ，就化归为二次项系数为1的一元二次方程；
(2) 将 移项至方程右边；
(3) 方程的两边同加上 的平方；
(4) 当方程右边为非负数时，可用因式分解法或 法解出方程的根.
【课中尝试提高题】
8．用配方法解方程2x2-x-1＝0时,配方结果正确的是(?)
(A)(x-)2＝. ?(B)(x-)2＝.
(C)(x-)2＝. ?(D)(x-)2＝.
9．已知9x2+18(n-1)x+18n?是完全平方式,求常数n?的值.
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2.2一元二次方程的解法4
班级＿＿＿ 姓名＿＿＿＿ 第＿＿小组
【课前尝试预学，课中尝试交流】
1．用配方法解方程：2x2+5x-3=0.
2．用配方法解方程：ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0).
解：方程两边同除以 ，得x2x=0.
移项，得x2x= .
方程的两边同加上 ，得x2x+ =+ ，
即.
∵b2-4ac≥0，∴，
即x1= ，x2= .
3．公式法的概念
当b2-4ac 时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是： ，这种一元二次方程的解法叫做公式法.
4．尝试用公式法解下列一元二次方程。
（1）4x2+3x-2=0. (2) 4x2x=-2. （3）x2-x-＝0.
【课中尝试提高题】
5．判别式
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式，当b2-4ac 时方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac 时方程没有实数根；当b2-4ac 时方程没有实数根.
6．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的系数满足ac＜0,判别方程根的情况,并说明理由.?
7．若关于的一元二次方程x2+2x-k=0没有实数根，求k的取值范围.
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2.3一元二次方程的应用1
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【课前尝试预学，课中尝试交流】
1. 列方程解应用题的基本步骤
(1) .
① 审题；
② 找出题中的量，分清哪些已知量、哪些未知量，哪些量是要求的未知量；
③ 找出所涉及的基本数量关系.
(2) .
④ 找出本题作为列方程直接依据的相等关系；
⑤ 设元，包括设直接未知数或设间接未知数；
⑥ 用所设的未知数字母的代数式表示其他相关量.
(3) .
⑦ 列方程；
⑧ 解方程.
(4) .
⑨ 检验.
2．三个连续自然数的平方和为50，求这三个数. 在这个问题中，设中间的自然数为x，则其余两个自然数为 、 ，根据题意，可列出方程： .
3．如果一个不为零的数的平方等于这个数的两倍, 那么这个数是………………………（ ）
A. 偶数 B. 奇数 C. 偶数或奇数 D. 不是整数
4．为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是…（ ）
A. B.
C. D.
5．请你完成第4题目的详细解答。
6．增长率问题的模式为：原来数量为A，后来数量为B，经过某两个时间单位，设增长率(降低率)为x. 则有关系式： 或. 。
【课中尝试提高题】
7．某人把2?万元存入银行,定期一年（无利息税）,到期时他支取了1?万元,然后把其余的钱仍存入银行,定期一年(利率不变),再到期时他取得本利合计为1.1232万元.?求这种定期储蓄的年利率.
8．某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
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2.3一元二次方程的应用2
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【课前尝试预学，课中尝试交流】
1. 某中学准备建一个面积为375cm2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m．设游泳池的长为xm，则可列方程……………………………………………………………………（ ）
A. x(x-10)=375 B. x(x+10)=375 C. 2x(2x-10)=375 D. 2x(2x+10)=375
2．. 直角三角形的斜边长为8, 周长为18, 若设一条直角边长为x, 则可得方程 .
3．已知一长方形公园的面积为4800m2,围绕这个公园的栅栏长为280m.
求这个公园的长与宽.?
4．如图,斜靠在墙上的一根竹竿,AB＝10m,BC＝6m.若A端沿垂直于地面的方向AC下移1m,问B端将沿CB方向移动多少米??
5．取一张长与宽之比为5:2?的长方形纸板,剪去四个边长为5?cm的小正方形(如图),
并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒.要使包装盒的容积为200?cm3(纸板的厚
度略去不计),问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米??
【课中尝试提高题】
6．一轮船(C)以30?km/h的速度由西向东航行(图2-5),在途中接到台风警报,台风中心(B)正以20?km/h的速度由南向北移动.已知距台风中心200?km的区域(包括边界)都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时,测得BC＝500km,BA＝300?km. (1)如果轮船不改变航向,轮船会不会进入台风影响区?你采用什么方法来判断?? (2)如果你认为轮船会进入台风影响区,那么从接到警报开始,经多少时间就进入台风影响区?? 建议:? ①假设经t小时后,轮船和台风中心分别在C1,B1的位置;? ②运用数形结合的方法寻找相等关系,并列出方程;? ③通过相互交流,检查列方程、计算等过程是否正确;? ④讨论:如果把航速改为10?km/h,结果将怎样?? ?
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2.4一元二次方程根与系数的关系
班级＿＿＿ 姓名＿＿＿＿ 第＿＿小组
【课前尝试预学，课中尝试交流】
1．解下列方程。然后计算这些方程的两根之和与两根这积。
（1）x2-3x-4=0
（2）3x2+10=0
（3）2x2+x-3=0
2．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0，且a，b，c为常数)的两个实数根，那么x1+x2，x1x2与系数a，b，c的关系是：x1+x2= ，x1x2= ；
3．请试着证明上述定理。
4．设x1,x2分别是一元二次方程的根,不解方程，完成下列填空:? (1)x2+3x+1＝0.? x1+x2＝,x1·x2＝.? (2)2x2-3x-5＝0.? x1+x2＝,x1·x2＝.? (3)x2+px+q＝0.??x1+x2＝,x1·x2＝?
【课中尝试提高题】
5．例1：如果是方程5x2+6x-3=0的两个根，求：
（1）x12+x22的值；（2）的值；（3）的值。
6．已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是和-1，请写出这个方程。
7．已知:x1,x2是方程ax2+bx+c＝0(a＞0,b2-4ac≥0)的两个根.
求证ax2+bx+c＝a?(?x－x1?)(?x－x2?）
【尝试梳理】梳理一下这节课你学到的知识，并说说你的困惑.
