浙教版数学九下1.1锐角三角函数课件（32张ppt）

(共32张PPT)
问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.
思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？
情
境
探
究
根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.
可得 AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管.
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 .
A
B
C
50m
30m
B '
C '

即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .
A
B
C
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究
A
B
C
A'
B'
C'
由于∠C＝∠C′＝90°， ∠A＝∠A′＝ α
所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′

这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
探究
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA， 即
例如，当∠A＝30°时，我们有
当∠A＝45°时，我们有
c
a
b
对边
斜边
正 弦
注意
sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”；
sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；
sinA不表示“sin”乘以“A”.
1、 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
A
B
C
3
4
(1)
(2)
试着完成图（2）
练习
2、在平面直角平面坐标系中，已知点A(3，0)
和B(0，-4)，则sin∠OAB等于____.
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边
上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=___.
1、如图，求sinA和sinB的值．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
余弦（cosine），记作cosA， 即
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的
正切（tangent），记作tanA， 即
注意
cosA，tanA是一个完整的符号，它表示∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；
cosA，tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比；
cosA不表示“cos”乘以“A”， tanA不表示“tan”乘以“A”
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
∴sinA= cosA=
tanA=
例1 如图1-6，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5，BC=3．求∠A的正弦、余弦和正切．
解 如图1-6，在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，
∴AC=
2、 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．
延伸：由上面的计算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值有什么规律吗？
结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦.
请同学们拿出自己的学习工具——一副三角尺，思考并回答下列问题：
1、这两块三角尺各有几个锐角？它们分别等于多少度？
2、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系？如果设每块三角尺较短的边长为1，请你说出未知边的长度.
30°
60°
45°
1
2
1
1
45°
新知探索:30°角的三角函数值
sin30°=
cos30°=
tan30°=
cos45°=
tan45°=
sin45°=
新知探索:45°角的三角函数值
sin60°=
cos60°=
tan60°=
新知探索:60°角的三角函数值
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a

三角函数 30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
例2 求下列各式的值：
（1）2sin30°-3cos60°.
（2）cos245°+tan60°·sin60°.
（3） cos30°- sin45°+tan45°·cos60°.
解
解 如图1-8，作AD⊥BC.
例3 如图1-8，在△ABC中，AB=AC=8cm，∠BAC=120°．求BC的长和△ABC的面积．
∴S△ABC= =
∴AD=ABcos∠BAD=8cos60°=8× =4（cm）.
而cos∠BAD=
∴BC=2BD=
∴BD=ABsin∠BAD=8sin60°
=
∵sin∠BAD=
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=60°.
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
本节知识结构梳理
2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值.
回味无穷
由锐角的三角函数值反求锐角
填表：
已知一个角的三角函数值，求这个角的度数(逆向思维).
∠A= ∠A= ∠A=
∠A= ∠A= ∠A=
∠A= ∠A= ∠A=