浙教版八年级数学下册第五章 特殊平行四边形综合提高讲义含答案

特殊四边形综合提高讲义



(2020﹒龙岗区校级模拟）如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A,B,E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG,PC．
（1）探究PG与PC的位置关系及的值（写出结论，不需要证明）；
（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG,且∠ABC＝∠BEF＝60度．探究PG与PC的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．









【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质．
【分析】（1）可通过构建全等三角形求解．延长GP交DC于H，可证三角形DHP和PGF全等，已知的有DC∥GF，根据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对应的角相等，又有DP=PF，因此构成了全等三角形判定条件中的（AAS），于是两三角形全等，那么HP=PG，DH=GF=BG，那么可得出CH=CG，于是三角形CHG就是等腰三角形且CP是底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特点，即可得出CP=PG=PH，CP⊥PG；
（2）方法同（1），只不过三角形CHG是个等腰三角形，且顶角为120°，可根据三角函数来得出PG、CP的比例关系；
（3）经过（1）（2）的解题过程，我们要构建出以CP为底边中线的等腰三角形，那么可延长GP到H，使PH=PG，连接CH、DH，那么根据前两问的解题过程，我们要求的是三角形CHG是个等腰三角形，关键是证三角形CDH和CBG全等，已知的只有CD=CB，我们可通过其他的全等三角形来得出三角形CDH和CBG全等的条件．三角形DHP和FGP中，有一组对顶角，DP=PF，HP=PG，那么这两个三角形就全等，可得出DH=GF=BG，∠HDP=∠GFP，根据平行线间的内错角相等可得出∠CDP=∠EFD，那么∠CDH=∠EFG=∠CBG，由此可得出三角形CDH和CBG全等，然后证法同（2）．
【解答】解：（1）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；
=1

（2）猜想：线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；=
证明：如图2，延长GP交DC于点H，
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP=∠HDP，
∵∠GPF＝∠HPD,
∴△GFP≌△HDP,
∴GP＝HP,GF＝HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，
∴CG＝CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC,(三线合一）
又∵∠ABC＝∠BEF＝60°,
∴∠GCP＝60°,
∴＝

（3）在（2）中得到的两个结论仍成立．
证明：如图3，延长GP到H，使PH＝PG，
连接CH,CG,DH,
∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
∵∠GPF＝∠HPD,
∴△GFP≌△HDP,
∴GF＝HD,∠GFP＝∠HDP,
∵∠GFP＋∠PFE＝120°,∠PFE＝∠PDC,
∴∠CDH＝∠HDP＋∠PDC＝120°,
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB,∠ADC＝∠ABC＝60°,点A、B、G又在一条直线上，
∴∠GBC＝120°,
∵四边形BEFG是菱形，
∴GF＝GB，
∴HD＝GB，
∴△HDC≌△GBC,
∴CH＝CG,∠DCH＝∠BCG,
∴∠DCH＋∠HCB＝∠BCG＋∠HCB＝120°,
即∠HCG＝120°
∵CH＝CG,PH＝PG，
∴PG⊥PC,∠GCP＝∠HCP＝60°,
∴＝．即PG＝．
【点评】本题主要考查了正方形，菱形的性质，以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键．




如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．求证：．
?
? ?
?

连接DG，在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
在中，，
∴也是的外角，
∴D、G、M三点共线，
∵（已证），
∴，
∵，
∴．



如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，交边CD于点P，连接NM，NP．
（1）若，这时点P与点C重合，则_______度；
（2）求证：；
（3）当为等腰三角形时，求的度数．
?
? ?
?
备用图

（1）∵交边CD于点P，，点P与点C重合，
∴，，
∵N是BC的中点，∴，
∴；
（2）如图1，延长MN交DC的延长线于点E，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，
∴，
∵点N是线段BC的中点，∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即点N是线段ME的中点，
∵交边CD于点P，
∴，
∴，
∴；
（3）如图2
∵四边形ABCD是菱形，∴，
又M，N分别是边AB，BC的中点，
∴，
∴，



由（2）知：，
∴，
又∵，
∴，
设，
则，，
①若，则，
在中，，
解得：，
∴，
②若，则，
在中，，
解得：，
∴．

【教师备课提示】针对变式题的例题，每一种的变式所对应的解题方法都是类似的，只要能够掌握其中的一种变式的解决思路，其他的变式的解题思路也就类似了．

如图3-1，将菱形ABCD和菱形BEFG拼接在一起，使得点A，B，E在同一条直线上，点G在BC边上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若.
（1）求出线段PG与PC的位置关系及的大小；
（2）将图3-1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使点E恰好落在CB的延长线上，原问题中的其他条件不变（如图3-2）．你在（1）中得到的两个结论是否仍成立？
写出你的猜想并加以证明．
?
? ?
?
图3-1 图3-2

（1），；
如图①，延长GP交DC于点H，
∵在菱形ABCD和菱形BEFG中，AE//DC，AE//GF，
∴DC//GF，∴，



在△PDH和△PFG中，，
∴，
∴，，
∵，∴，∵，
∴，∴是等腰三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）（1）中两个结论仍成立；证明：如图②，延长GP交AD于点H，连接CG，
∵四边形ABCD和BEFG是菱形，
∴AD//BC，BE//FG，
∵E在CB的延长线上
∴AD//FG，∴，
在和中，，
∴，，，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【教师备课笔记】当菱形BEFG绕B点旋转的角度为任意角时，和也成立.（延长GP到H点使得，连接DH，CH和CG）





（西川期末）在平行四边形ABCD中，的角平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图4-1中证明；
（2）若，G是EF的中点（如图4-2），求的度数；
（3）若，FG//CE，，分别连接BD、DG（如图4-3），直接写出的度数．
?
?
图4-1 图4-2 图4-3
（1）证明：如图1，
∵AF平分，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴，，
∴.
∴.
（2）连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AF平分，
∴，
∵，DF//AB，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，
∴，，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵，∴
在与中，∵



∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴.
（3）证法同2，如图3．
【教师备课笔记】本题就是考查利用已知条件通过辅助线构造全等三角形的知识．

在菱形ABCD中，，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且，连接BE、EF．
（1）若E是线段AC的中点，如图5-1，证明：；
（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图5-2、图5-3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．
?
? ?
? ?
?
图5-1 图5-2 图5-5

（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴，又∵，
∴是等边三角形，
∵E是线段AC的中点，
∴，，
∵，∴，
∴，
∵，
∴，∴，
∴；
（2）图2：．
图3：．
图2证明如下：过点E作EG//BC，交AB于点G，
∵四边形ABCD为菱形，



∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵EG//BC，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，∴，
又∵，∴，
又∵，
∴，
∴；
图3证明如下：过点E作EG//BC交AB延长线于点G，
∵四边形ABCD为菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵EG//BC，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，∴，
又∵，∴，
又∵，
∴，∴．
【教师备课笔记】本题就是考查辅助线构造全等三角形的知识．







在菱形ABCD中，，点E平分DC，点P在BD上，且，那么边AB长的最大值是________．

如图，连接AP，AE，AC
根据四边形ABCD是菱形，∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，，
∴，所以
即AB长的最大值是．

如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若，，则下列结论：
①，；
②；
③四边形EBFD是菱形；
④．
其中正确结论为_____________．

①③④；连接OD即可．



已知：矩形ABCD中，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图3-1）．
（1）求证：；
（2）如图3-2，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形；
（3）在（2）的条件下，若的面积与的面积比为，求的值．
?
? ?
?
图3-1 图3-2

（1）连接BD，则BD过点O，
∵AD//BC，
∴，
又，，
∴，
∴；
（2）∵矩形ABCD，
∴AD//BC，，
又，
∴，
∴四边形AMCN是平行四边形，
由翻折得，，
∴四边形AMCN是菱形；
（3）∵，，
又，
∴，
设，则，
过N作于点G，
则，，

∴
∴．





已知：在中，，，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图4-1，当点D在线段BC上时，求证：①．②．
（2）如图4-2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图4-3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究的形状，并说明理由．
?
? ?
? ?
?
图4-1 图4-2 图4-3

（1）证明：①∵，，
∴，
∵四边形ADEF是正方形，
∴，，
∵，
，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②由①可得，
∵，
∴；
（2）与（1）同理可得，
所以，；



（3）①与（1）同理可得，，
所以，；
②∵，，
∴，
则，
∵四边形ADEF是正方形，
∴，，
∵，
，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
则为直角三角形，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴，
∵在正方形ADEF中，，，
∴，
∴是等腰三角形．









例1


例2







例3


例4


例5








演练1

演练2



演练3




演练4