平行四边形的性质
【知识整理】
知识点1 平行四边形的定义
两组对边分别 的四边形叫做平行四边形．
知识点2 平行四边形的边、角性质
平行四边形对边 ；平行四边形对边 ．
平行四边形对角 ；平行四边形邻角 ．
知识点3 两条平行线之间的距离
两条 线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．
如果两条直线平行，那么一条直线上的所有点到另一条直线的距离 ，即：平行线间的距离处处 ．
【当堂检测】(总分30分)
1．(知识点1)(3分)如图，在?ABCD中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是( )
A．13 B．14
C．15 D．18
2．(知识点2)(3分)如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4cm，AB＝2cm，则平行四边形ABCD的周长等于( )
A．12cm B．8cm
C．6cm D．4cm
3．(知识点2)(3分)如图，在?ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是( )
A．45° B．55°
C．65° D．75°
4．(知识点3)(3分)如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E，G为垂足，则下列说法不正确的是( )
A．AB＝CD
B．EC＝FG
C．A，B两点间的距离就是线段AB的长度
D．a与b之间的距离就是线段CD的长度
5．(知识点3)(3分)如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，若四边形ABDC的面积记作S1，四边形ECDF的面积记作S2，则S1与S2大小关系是 ．
6．(知识点3)(7分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，求证：S△AOB＝S△COD.
7．(综合题)(8分)如图，在?ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数．
平行四边形的对角线特征
【知识整理】
知识点1 平行四边形对角线的性质
平行四边形的对角线互相 ．
知识点2 平行四边形性质的综合运用
平行四边形性质的应用非常广泛．可以利用它证明线段相等、证明线段平行、求角的度数、求线段的长度、求图形的周长、求图形的面积等．
平行四边形的面积＝ × (底为平行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)．
等底等高的平行四边形的面积 ．
【当堂检测】(总分30分)
1．(知识点1)(3分)如图所示，如果?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，那么图中全等三角形有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
2．(知识点1)(3分)如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( )
A．13 B．17
C．20 D．26
3．(知识点2)(3分)如图，P是?ABCD的边AD上一点．已知S△ABP＝3，S△PDC＝2，那么平行四边形ABCD的面积是( )
A．6 B．8
C．10 D．无法确定
4．(知识点2)(3分)如图，EF过?ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若?ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )
A．14 B．13
C．12 D．10
5．(知识点2)(3分)如图，在? ABCD中，连接BD，AD⊥BD，AB＝5，BD＝4，则?ABCD的面积是 ．
6．(知识点1)(7分)如图，在?ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上，求证：AE＝CF.
7．(知识点1)(8分)如图，在?ABCD中，AB＝2cm，AD＝4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长多少？
平行四边形的判定
【知识整理】
知识点1 利用边或角判定四边形是平行四边形
两组对边分别 的四边形叫做平行四边形．
两组对边分别 的四边形是平行四边形．
两组对角分别 的四边形是平行四边形．
一组对边 的四边形是平行四边形．
知识点2 利用对角线判定四边形是平行四边形
对角线 的四边形是平行四边形．
【当堂检测】(总分30分)
1．(知识点1)(3分)下面给出的是四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数比，其中能判断出四边形是平行四边形的是( )
A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2
C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1
2．(知识点1、2)(3分)下列说法错误的是( )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
3．(知识点1)(3分)下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A．AB＝CD，AD＝BC
B．AB＝CD，AB∥CD
C．AB＝CD，AD∥BC
D．AD＝BC，AD∥BC
4．(知识点1、2)(3分)如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形( )
A．∠ADE＝∠CBF B．∠ABE＝∠CDF
C．DE＝BF D．OE＝OF
5．(知识点1、2)(3分)如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若OA＝OC，请添加一个条件 (写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
6．(知识点1)(7分)如图，∠DBC＝90°，四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？
7．(综合题)(8分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F，试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．
平行四边形的性质
【知识整理】
知识点1 平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
知识点2 平行四边形的边、角性质
平行四边形对边平行；平行四边形对边相等．
平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补．
知识点3 两条平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．
如果两条直线平行，那么一条直线上的所有点到另一条直线的距离相等，即：平行线间的距离处处相等．
【当堂检测】(总分30分)
1．(知识点1)(3分)如图，在?ABCD中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是( D )
A．13 B．14
C．15 D．18
2．(知识点2)(3分)如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4cm，AB＝2cm，则平行四边形ABCD的周长等于( A )
A．12cm B．8cm
C．6cm D．4cm
3．(知识点2)(3分)如图，在?ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是( A )
A．45° B．55°
C．65° D．75°
4．(知识点3)(3分)如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E，G为垂足，则下列说法不正确的是( D )
A．AB＝CD
B．EC＝FG
C．A，B两点间的距离就是线段AB的长度
D．a与b之间的距离就是线段CD的长度
5．(知识点3)(3分)如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，若四边形ABDC的面积记作S1，四边形ECDF的面积记作S2，则S1与S2大小关系是S1＝S2．
6．(知识点3)(7分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，求证：S△AOB＝S△COD.
证明：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F.∵平行线间的距离相等，∴AE＝DF.又∵S△ABC＝BC·AE，S△BDC＝BC·DF，∴S△ABC＝S△BDC，∴S△ABC－S△BOC＝S△BDC－S△BOC，∴S△AOB＝S△COD.
7．(综合题)(8分)如图，在?ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠F.∵∠DEA＝∠CEF，DE＝CE.∴△ADE≌△FCE. (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.∵△ADE≌△FCE，∴AD＝CF.∴CB＝CF.∴BF＝2BC.∵AB＝2BC，∴BF＝AB.∵∠F＝36°，∴∠FAB＝∠F＝36°.∴∠B＝180°－2×36°＝108°.
平行四边形的对角线特征
【知识整理】
知识点1 平行四边形对角线的性质
平行四边形的对角线互相平分．
知识点2 平行四边形性质的综合运用
平行四边形性质的应用非常广泛．可以利用它证明线段相等、证明线段平行、求角的度数、求线段的长度、求图形的周长、求图形的面积等．
平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)．
等底等高的平行四边形的面积相等．
【当堂检测】(总分30分)
1．(知识点1)(3分)如图所示，如果?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，那么图中全等三角形有( D )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
2．(知识点1)(3分)如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( B )
A．13 B．17
C．20 D．26
3．(知识点2)(3分)如图，P是?ABCD的边AD上一点．已知S△ABP＝3，S△PDC＝2，那么平行四边形ABCD的面积是( C )
A．6 B．8
C．10 D．无法确定
4．(知识点2)(3分)如图，EF过?ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若?ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( C )
A．14 B．13
C．12 D．10
5．(知识点2)(3分)如图，在? ABCD中，连接BD，AD⊥BD，AB＝5，BD＝4，则?ABCD的面积是12．
6．(知识点1)(7分)如图，在?ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上，求证：AE＝CF.
证明：连接BD，交EF于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠E＝∠F＝90°.又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF(AAS)．∴OE＝OF.∴OE－OA＝OF－OC，即AE＝CF.
7．(知识点1)(8分)如图，在?ABCD中，AB＝2cm，AD＝4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长多少？
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝2cm，BC＝AD＝4cm，AO＝CO，BO＝DO.∵AC⊥BC，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝6cm.∴OC＝AC＝3cm，在Rt△BOC中，由勾股定理得BO＝＝＝5cm，∴BD＝2BO＝10cm，∴△DBC的周长－△ABC的周长＝BC＋CD＋BD－(AB＋BC＋AC)＝BD－AC＝10－6＝4(cm)．即△DBC比△ABC的周长长4cm.
平行四边形的判定
【知识整理】
知识点1 利用边或角判定四边形是平行四边形
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
知识点2 利用对角线判定四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【当堂检测】(总分30分)
1．(知识点1)(3分)下面给出的是四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数比，其中能判断出四边形是平行四边形的是( B )
A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2
C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1
2．(知识点1、2)(3分)下列说法错误的是( D )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
3．(知识点1)(3分)下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( C )
A．AB＝CD，AD＝BC
B．AB＝CD，AB∥CD
C．AB＝CD，AD∥BC
D．AD＝BC，AD∥BC
4．(知识点1、2)(3分)如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形( C )
A．∠ADE＝∠CBF B．∠ABE＝∠CDF
C．DE＝BF D．OE＝OF
5．(知识点1、2)(3分)如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若OA＝OC，请添加一个条件OB＝OD(答案不唯一)(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
6．(知识点1)(7分)如图，∠DBC＝90°，四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？
解：四边形ABCD是平行四边形 理由如下：∵∠DBC＝90°，∴在Rt△DBC中，由勾股定理得DC2＝DB2＋BC2，即(x－3)2＝42＋(x－5)2，解得x＝8，∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，∴四边形ABCD是平行四边形．
7．(综合题)(8分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F，试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．
解：四边形是ABFC是平行四边形 理由如下：∵AB∥CD.∴∠BAE＝∠CFE.∵E是BC的中点，∴BE＝CE.
在△ABE和△FCE中，
∴AE＝EF.又∵BE＝CE，∴四边形ABFC是平行四边形．
