第2章 一元二次方程单元基础测试卷（解析版+学生卷）

【单元双测卷——基础测】
第2章 一元二次方程
说明：全卷满分120分，有三大题，共24小题.
班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________
一、填空题（本题有10小题，每题3分，共30分. 请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．方程5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．5、6、﹣8 B．5，﹣6，﹣8 C．5，﹣6，8 D．6，5，﹣8
2．1.下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．ax2+bx+c=0 B．x2-x（x+7）=0 C．2x2-y-1=0 D．x2-2x-3=0
3．若是关于的一元二次方程的一根，则值为（　　）
A．1 B．0 C．1或2 D．2
4．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
5．已知实数满足，则的值是（　　）
A． B． C．或2 D．或2
6．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下面所列方程中正确的是（　　）
A．168(1＋a%)2＝128 B．168(1－a%)2＝128
C．168(1－2a%)＝128 D．168(1－a2%)＝128
7．如图是一个长20cm，宽15cm的矩形图案，其中有两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条所占面积是图案面积的，设彩条的宽度为xcm，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A．5x2﹣4x＝﹣2 B．（x﹣1）（5x﹣1）＝5x2
C．4x2﹣5x+1＝0 D．（x﹣4）2＝0
9．以2和﹣3为两根的一元二次方程为（　　）
A．（x+2）（x﹣3）=0 B．x2﹣x+6=0
C．x2﹣5x﹣1=0 D．x2+x﹣6=0
10．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．则该矩形草坪BC边的长是（　　）
A．12 B．18 C．20 D．12或20
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．若关于x的方程（a+3）x|a|-1﹣3x+2=0是一元二次方程，则a的值为____________．
12．关于x的二次方程的一个根是-2，则k等于___________．
13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________．
14．某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______________．
15．若关于y的一元二次方程y2+my+n＝0的两个根分别是关于x的一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的2倍，则m+n的值为_____________．
16．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 ________ 米．
三、解答题（本题有8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）用适当的方法解下列一元二次方程：
，
．
18．（6分）先化简，再求值： ，其中a是方程x2－x=2019的解．
19．（6分）如图，是小明的作用，请你认真阅读，解答下列问题：
（1）小明的作业从第 步开始出现错误；
（2）请给出正确的解答过程.
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0．
（1）求证：不论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若m＝1，用配方法解这个一元二次方程．
21．（8分）已知关于的一元二次方程：.
(1)求证：对于任意实数，方程都有实数根；
(2)当为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由.
22．（8分）李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
23．（10分）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克，在销售中发现，当这种水果的价格定为7元/千克时，每天可以卖出160千克，在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克，设这种水果的单价为元（），
（1）请用含的代数式表示：每千克水果的利润 元及每天的销售量 千克．
（2）若该水果店一天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，单价应定为多少元？
24．（10分）某商业街有店面房共100间，2015年平均每间店面房的年租金为1万元，由于物价上涨，到2017年平均每间店面房的年租金上涨到了1.21万元，据预测，当每间的年租金定为12100元时，可全部租出；若每间的年租金每增加0.1万元，就要少租出10间，该商业街管委会要为租出的商铺每间每年交各种费用0.1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用0.05万元．
（1）求2015年至2017年平均每间店面房年租金的平均增长率；
（2）当每间店面房的年租金上涨多少万元时，该商业街的年收益（收益＝租金﹣各种费用）为103.8万元？
答案及解析
1．C
【解析】根据一元二次方程的一般形式进行解答即可.
解：5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式是5x2﹣6x+8=0，
它的二次项系数是5，一次项系数是﹣6，常数项是8，
故选C．
2．D
【解析】根据一元二次方程的定义即可得出答案.
解：A：当a=0时，方程不是一元二次方程，故选项A错误；
B：x2-x（x+7）=7x，故方程不是一元二次方程，故选项B错误；
C：含有两个未知数，故不是一元二次方程，故选项C错误；
D：满足一元二次方程的定义，故选项D正确；
故答案选择D.
3．D
【解析】把方程的解代入方程可以求出字母系数m的值，因为是一元二次方程，所以m≠1，由此即可得答案.
解：把0代入方程有：
m2-3m+2=0
（m-1）（m-2）=0，
∴m1=1，m2=2，
∵m-1≠0，
∴m=1（舍去），
∴m=2，
故选D.
4．C
【解析】根据一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，知△=b2-4ac＞0，然后据此列出关于k的方程，解方程即可．
解：∵kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=1-4k＞0，且k≠0，
解得，k＜且k≠0；
故答案是：k＜且k≠0．
5．D
【解析】分及两种情况考虑：当时，可求出；当时，利用根与系数的关系可得出，，将其代入中即可求出结论．综上，此题得解．
解：当时，；
当时，实数、满足，
，，
．
故选：．
6．B
【解析】解：第一次降价a%后的售价是168（1-a%)元，
第二次降价a%后的售价是168（1-a%)(1-a%)=168(1-a%)2；
故选B.
7．C
【解析】设彩条的宽度为xcm，表示出两条彩条的面积，根据彩条所占面积是图案面积的，列出方程即可．
解：设彩条的宽度为xcm，根据题意列方程得：
20x+15x﹣x215×20．
故选C．
8．C
【解析】A、将方程变形为一般式，由根的判别式△＝﹣24＜0，可得出方程5x2﹣4x＝﹣2无实数根；
B、将方程变形为一般式，由一元一次方程只有一个实数根，可得出方程（x﹣1）（5x﹣1）＝5x2只有一个实数根；
C、根据根的判别式△＝9＞0，可得出方程4x2﹣5x+1＝0有两个不相等的实数根；
D、通过解方程可得出x1＝x2＝4，即方程（x﹣4）2＝0有两个相等的实数根．
综上即可得出结论．
解：A、原方程可变形为5x2﹣4x+2＝0，
∵△＝（﹣4）2﹣4×5×2＝﹣24＜0，
∴方程5x2﹣4x＝﹣2无实数根；
B、原方程可变形为6x﹣1＝0，
∴方程（x﹣1）（5x﹣1）＝5x2只有一个实数根；
C、∵△＝（﹣5）2﹣4×4×1＝9＞0，
∴方程4x2﹣5x+1＝0有两个不相等的实数根；
D、∵（x﹣4）2＝0，
∴x1＝x2＝4，
∴方程（x﹣4）2＝0有两个相等的实数根．
故选：C．
9．D
【解析】本题我们可以将一元二次标准方程两边都除以a, 令二次项x2项的系数为1.则一次项系数和常数项系数分别和,即为-（）和，可得出原方程.
解：设符合条件的方程为: x2+ax+b=0.
=2,=-3,
a=-()=1,b==-6,
符合条件的方程可以是: x2+x﹣6=0.
因此, 本题正确答案是: x2+x﹣6=0.
10．A
【解析】设草坪BC的长为x米，则宽为，根据面积为120平方米，列方程求解．
解：设草坪BC的长为x米,则宽为，
由题意得, ，
解得：，
∵墙为16米，
∴x=20不合题意
故x=12.
故选A.
11．3
【解析】由题意得：|a|﹣1=2，且a+3≠0，
解得：a=3，
故答案为3．
12．3或5 ;
【解析】根据一元二次方程的解的定义把x＝1代入方程得到关于k的一次方程，然后解关于k的方程即可．
解：把x＝-2代入方程得
解得k＝3或k=5．
故填：3或5.
13．
【解析】根据根的判别式即可求出答案．
解：由题意可知：△＝4m2?2（1?4m）＝4m2＋8m?2＝0，
∴m2＋2m＝，
∴（m?2）2?2m（m?1）＝?m2?2m＋4＝?＋=，
故答案为.
14．20%
【解析】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得25×（1-x）（1-x）=16，
整理得，
解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去）；
即该药品平均每次降价的百分率是20%．
15．-2
【解析】设方程y2+my+n＝0的两个根分别为y1，y2，根据题意列方程即可得到结论．
解：设方程y2+my+n＝0的两个根分别为y1，y2，
∴y1+y2＝﹣m，y1?y2＝n，
∵关于y的一元二次方程y2+my+n＝0的两个根分别是关于x的一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的2倍，
∴y1+y2＝2×（﹣1）＝﹣m，y1?y2＝4×（﹣1）＝n，
∴m＝2，n＝﹣4，
∴m+n＝﹣2，
故答案为﹣2．
16．1．
【解析】设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30-2x）（20-x）=532，
整理，得x2-35x+34=0．
解得，x1=1，x2=34．
∵34＞30（不合题意，舍去），
∴x=1．
答：小道进出口的宽度应为1米．
17．（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）利用直接开平方法求解；
（2）利用配方法求解；
（3）利用因式分解法求解；
（4）先化为一般式，再利用公式法求解．
解：（1）方程整理得：，
开方得：或，
解得：；
（2）方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：或，
解得：；
（3）方程整理得：，
分解因式得：，
解得：；
（4）方程整理得：，
这里，
，
，
解得：．
18．，.
【解析】原式括号中先进行分式的减法运算，再把除法转化为乘法，然后进行约分即可得到最简结果，根据题意可得a2－a=2019，再整体代入化简后的式子即得答案.
解：÷=====，
∵a是方程x2－x=2019的解，∴?a2－a=2019，∴原式=.
19．（1）①；（2）正确解答过程见解析.
【解析】（1）化为一般形式后确定各项的系数；
（2）利用公式法求解即可．
解：（1）第①步，常数项弄错，先化为一般形式：
∴，，；
故答案为：①
（2）解方程：.
原方程变为一般形式：.
，，.
，
20．（1）见解析，（2）x1＝2，x2＝﹣3．
【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=m2+24＞0，进而即可证出：不论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）代入m=1，根据配方法解一元二次方程的步骤求解，即可得出结论．
解：（1）证明：△＝m2﹣4×1×（﹣6）＝m2+24．
∵m2≥0，
∴m2+24＞0，即△＞0，
∴不论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当m＝1时，原方程为x2+x﹣6＝0，
移项，得：x2+x＝6，
配方，得：x2+2×x+（）2＝6+（）2，即（x+）2＝（）2，
开方，得：x+＝±，
∴x1＝2，x2＝﹣3．
21．（1）见解析；（2）1，理由见解析.
【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=（t﹣3）2≥0，由此可证出：对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）设方程的两根分别为m、n，由方程的两根为相反数结合根与系数的关系，即可得出m+n=t﹣1=0，解之即可得出结论．
解：（1）证明：在方程x2﹣（t﹣1）x+t﹣2=0中，△=[﹣（t﹣1）]2﹣4×1×（t﹣2）=t2﹣6t+9=（t﹣3）2≥0，∴对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）解：设方程的两根分别为m、n，
∵方程的两个根互为相反数，∴m+n=t﹣1=0，解得：t=1．
∴当t=1时，方程的两个根互为相反数．
考点：根与系数的关系；根的判别式.
22． (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析.
【解析】（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；
（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．
解：设其中一段的长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm和28cm的两段；
（2）两正方形面积之和为48时，，，∵， ∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确．
23．（1）（x-5），（300-20x）；（2）单价应为8元．
【解析】（1）根据利润=售价-进价和“水果的单价每提高1元/千克．该水果店每天就会少卖出20千克”即可得出结论；（2）根据利润=售价-进价列出方程并解答．
解：（1）每千克水果的利润（x-5）元
每天的销售量160-20（x-7）=300-20x（千克）．故答案是：（x-5）；（300-20x）；（2）由题意知，（x-5）[160-20（x-7）]=420．化简得：x2-20x+96=0．解得x1=8，x2=12．因为让利于顾客，所以x=8符合题意．答：单价应定为8元．
24．（1）10%；（2）当上涨0.2万元．
【解析】（1）设2015年至2017年平均每间店面房年租金的平均增长率为x，根据2015年及2017年平均每间店面房年租金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每间店面房的年租金上涨y万元，则可租出（100﹣100y）间店面房，根据收益＝租金﹣各种费用，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：（1）设2015年至2017年平均每间店面房年租金的平均增长率为x，
根据题意得：1（1+x）2＝1.21，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．
答：2015年至2017年平均每间店面房年租金的平均增长率为10%．
（2）设每间店面房的年租金上涨y万元，则可租出（100﹣100y）间店面房，
根据题意得：（1.21+y）（100﹣100y）﹣0.1（100﹣100y）﹣0.05×100y＝103.8，
化简得：500y2+80y﹣36＝0，
解得：y1＝0.2，y2＝﹣0.36（舍去）．
答：当每间店面房的年租金上涨0.2万元时，该商业街的年收益为103.8万元．