第2章 一元二次方程单元能力测试卷（解析版+学生卷）

【单元双测卷——能力测】
第2章 一元二次方程
说明：全卷满分120分，有三大题，共24小题.
班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________
一、填空题（本题有10小题，每题3分，共30分. 请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．用配方法解方程2x2+3x﹣1＝0，则方程可变形为（ ）
A．（x+3）2＝ B．（x+）2＝
C．（3x+1）2＝1 D．（x+）2＝
3．下列关于x的方程中一定没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
4．某种品牌手机经过二、三月份再次降价，每部售价由1000元降到810元，则平均每月降价的百分率为（ ）
A．20% B．11% C．10% D．9.5%
5．关于x的方程(k﹣1)x2﹣x+＝0有两个实根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥2 B．k≤2且k≠1 C．k＞2 D．k＜2且k≠1
6．以和为根的一元二次方程是（ ）
A．-10x-1=0 B．+10x-1=0 C．+10x+1=0 D．-10x+1=0
7．根据下列表格中的对应值判断方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的取值范围是（ ）
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
?0.06
?0.02
0.03
0.09
A．?0.02C．3.248．若α，β是一元二次方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
9．如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为120m2．设小路的宽度为xm，则下列方程：
①（16﹣2x）（9﹣x）＝120；②16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120；③16×9﹣9×2x﹣16x+x2＝120，
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
10．已知，是方程的两根，且，则的值是（ ）
A． B．5 C． D．9
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．方程是一元二次方程，则m=_____．
12．关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是__（填序号）．
13．已知：(x2+y2)(x2+y2-4)-12=0,则x2+y2的值为_____________.
14．设、是方程的两个不相等的实数根，则的值为______.
15．若方程x2﹣kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k的值是______．
16．若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为_____．
三、解答题（本题有8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）用指定的方法解方程：
(1) (因式分解法)
(2) (公式法)
18．（6分）化简并求值： ，其中m满足m2-m-2=0.
19．（6分）现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm2的无盖长方体盒子，求出剪去的小正方形的边长？
20．（8分）为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到袋.
（1）求八、九这两个月销售量的月平均增长率；
（2）该网店十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利元？（若农产品每袋进价元，原售价为每袋元）
21．（10分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝7cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为4cm2？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
22．（10分）11月份脐橙和柚子进入销售旺季，某大型水果超市的脐橙和柚子这两种水果很受欢迎，脐橙售价12元/千克，柚子售价9元/千克.
（1）若第一周脐橙的销量比柚子的销量多200千克，要使这两种水果的销售总额达到6600元，则第一周应该销售脐橙多少千克?
（2）若该水果超市第一周按照(1)中脐橙和柚子的销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果.第二周脐橙售价降低了元，销量比第一周增加了.柚子的售价保持不变，销量比第一周增加了，结果这两种水果第二周的销售总额比第一周增加了.求a的值.
23．（10分）已知关于ｘ的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，满足，求的值．
24．（10分）阅读理解：小明同学进入初二以后，读书越发认真．
在学习“用因式分解法解方程”时，课后习题中有这样一个问题：
下列方程的解法对不对？为什么？
解：或．
解得或．
所以，．
同学们都认为不对，原因：有的说该题的因式分解是错误的；有的说将答案代入方程，方程左右两边不成立，等等．
小明同学除了认为该解法不正确，还给出了一种因式分解的做法，小明同学的做法如下：
取与的平均值，即将与相加再除以2．
那么原方程可化为．
左边用平方差公式可化为．
再移项，开平方可得
请你认真阅读小明同学的方法，并用这个方法推导：
关于的方程的求根公式（此时）．
答案及解析
1．C
【解析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程有三个特点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程．
解：A、是一元一次方程，故A不符合题意；
B、时是一元一次方程，故B不符合题意；
C、是一元二次方程，故C符合题意；
D、是二元二次方程，故D不符合题意；
故选：C．
2．D
【解析】方程变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
解：方程2x2+3x-1=0，变形得：x2+x=，配方得：x2+x+=，即（x+）2=，故选D．
3．B
【解析】根据根的判别式的概念,求出△的正负即可解题.
解： A. x2-x-1=0,△=1+4=50,∴原方程有两个不相等的实数根,
B. , △=36-144=-1080,∴原方程没有实数根,
C. , , △=10,∴原方程有两个不相等的实数根,
D. , △=m2+80,∴原方程有两个不相等的实数根,
故选B.
4．C
【解析】设二，三月份平均每月降价的百分率为，则二月份为，三月份为，然后再依据第三个月售价为810，列出方程求解即可.
解：设二，三月份平均每月降价的百分率为．
根据题意，得=810．
解得，（不合题意，舍去）．
答：二，三月份平均每月降价的百分率为10%
5．B
【解析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣x+＝0有两个实根，
∴ ,
解得：k≤2且k≠1．
故选：B．
6．D
【解析】先计算和的和与积，然后根据根与系数的关系求解．
解：∵+=10，
（）（）=25-24=1，
∴以和为根的一元二次方程可为x2-10x+1=0．
故选D.
7．C
【解析】根据表格观察当x变化时，ax2+bx+c的值符号变化即可判断方程的解.
解：由表格可知，当3.24故选C.
8．B
【解析】根据方程的解的定义及韦达定理得出α+β=1、α2-α=2018，据此代入原式=α2-α-2（α+β）+3计算可得．
解：∵α，β是一元二次方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根，
∴α+β＝1、α2﹣α＝2018，
则原式＝α2﹣α﹣2（α+β）+3
＝2018﹣2+3
＝2019，
故选：B．
9．C
【解析】如果设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；根据题意即可得出方程．
解：设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；
根据题意得：（16﹣2x）（9﹣x）=120，或16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x=120．
故选C．
10．A
【解析】由一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，结合，可求出的值，此题得解．
解：∵，是方程的两根，
．
，
即，
．
故选：A．
11．-2
【解析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，未知数的次数为2，可得，可求得m=-2.
故答案为：-2
12．①③
【解析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1=0根的情况，进而填空．
解：当m=0时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程，△=1﹣4m（1﹣m）=1﹣4m+4m2=（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；
把mx2+x﹣m+1=0分解为（x+1）（mx﹣m+1）=0，所以x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根，③正确；
故答案为①③．
13．6
【解析】设x2+y2=t，且t≥0，然后代入方程，求出t的值即可.
解：设x2+y2=t，代入方程得：
t(t-4)-12=0
t2-4t-12=0
（t-6）（t+2）=0
t=6或t=-2（舍去）
故答案为6
14．2018
【解析】根据根与系数的关系和一元二次方程的解得出a+b=?1，a2+a?2019=0，变形后代入，即可求出答案．
解：∵设a，b是方程x2+x?2019=0的两个实数根，
∴a+b=?1，a2+a?2019=0，
∴a2+a=2019，
∴a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=2019+(?1)=2018，
故答案为：2018．
15．5
【解析】设方程x2+kx+6=0的两根分别为a、b，则由方程x2﹣kx+6=0的两根分别为a+5，b+5，根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1?x2=，得a+b=﹣k，a+5+b+5=k，所以10﹣k=k，解得k=5．
故答案为5．
16．
【解析】运用根与系数关系、根的判别式，根据勾股定理列方程解答即可．
解：设某直角三角形的三边长分别为a、b、c，
依题意可得
x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，
∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，
设x2﹣6x+m＝0的两根为a、b，
∴（﹣6）2﹣4m＞0，m＜9，
根据根与系数关系，得a+b＝6，ab＝m，则c＝4，
①c为斜边时，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2
∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合题意，舍去）；
②a为斜边时，c2+b2＝a2，
42+（6﹣a）2＝a2，
a＝ ，b＝6﹣a＝ ，
∴m＝ab＝ =
故答案为．
17．（1）y＝2或y＝1；（2）x＝．
【解析】（1）将y﹣3看做整体，利用因式分解法求解可得；
（2）先整理为一般式，再利用公式法求解可得．
解：（1）∵(y﹣3)2+3(y﹣3)+2＝0，
∴(y﹣3+1)(y﹣3+2)＝0，
即(y﹣2)(y﹣1)＝0，
则y﹣2＝0或y﹣1＝0，
解得：y＝2或y＝1；
（2）方程整理为一般式得x2﹣3x﹣8＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣8，
∴△＝(﹣3)2﹣4×1×(﹣8)＝41＞0，
则x＝．
18．，原式=
【解析】根据分式的运算进行化简，再求出一元二次方程m2-m-2=0的解，并代入使分式有意义的值求解.
解：==，
由m2-m-2=0
解得，m1=2,m2=-1,
因为m=-1分式无意义，
所以m=2时，代入原式==.
19．3cm．
【解析】设剪去的小正方形的边长为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
解:设剪去的小正方形的边长为xcm，
根据题意得：（20-2x）（10-2x）=56，
整理得：（x-3）（x-12）=0，
解得：x=3或x=12，
经检验x=12不合题意，舍去，
∴x=3，
则剪去小正方形的边长为3cm．
20．（1）八、九这两个月的月平均增长率为25%；（2）当农产品每袋降价元时，该淘宝网店月份获利元.
【解析】（1）设八、九这两个月的月平均增长率为，根据增长率公式得到方程求解即可；
（2）设农产品每袋降价元，根据题意列得方程，解方程即可得到答案.
解：（1）设八、九这两个月的月平均增长率为.
由题意得：256（1+x）2=400，
（不合题意，舍去）
答：八、九这两个月的月平均增长率为25%.
（2）设当农产品每袋降价元时，该淘宝网店月份获利元.
根据题意可得：
解得：（不合题意，舍去）.
答：当农产品每袋降价元时，该淘宝网店月份获利元.
21．（1）1s后；（2）不存在，理由见解析
【解析】（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，PC＝（5﹣x）cm，CQ＝2xcm，此时△PCQ的面积为：×2x（5﹣x），令该式＝4，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；
（2）求出△ABC的面积进而利用b2﹣4ac的符号得出即可．
解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为4cm2．
由题意得，AP＝xcm，PC＝（5﹣x）cm，CQ＝2xcm，
则（5﹣x）2x＝4，
整理，得x2﹣5x+4＝0，
解得x1＝1，x2＝4（舍去）．
所以P、Q同时出发，1s后可使△PCQ的面积为4cm2；
（2）∵S△ABC＝×5×7＝，
∴当△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，即S△PCQ＝，
故（5﹣x）?2x＝，
整理得：4x2﹣20x+35＝0，
b2﹣4ac＝400﹣4×4×35＝﹣160＜0，
故此方程无解，则△PCQ的面积不可能等于△ABC的面积的一半．
22．（1）400千克；（2）30.
【解析】（1）由题意设第一周柚子的销售量为x千克．则脐橙的销售量为（x+200）千克，根据总价=单价×数量结合销售总额达到6600元，即可得出关于x的方程，通过解方程求得答案；
（2）由题意根据总价=单价×数量，结合两种水果第二周的总销售额比第一周增加了，即可得出关于a的一元二次方程，进行求解取其正值即可得出结论．
解：（1）设第一周柚子的销售量为x千克，则脐橙的销售量为（x+200）千克，
由题意，得9x+12（x+200）=6600．
解得x=200．
则x+200=400．
答：第一周应该销售脐橙400千克；
（2）
令，
，
，
（舍去），，
.
答：的值为30.
23．（1）；（2）的值为或
【解析】（1）直接利用根的判别式计算求解即可；
（2）根据根与系数的关系得出，，分和两种情况计算求解即可．
解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根，
△，即
解得．
答：的求值范围为．
（2）根据根与系数的关系：
，，
，满足，
①当时，
把代入，得
解得，
，
．
②当时，
解得，，
．
答：的值为或
24．
【解析】根据小明同学的做法，将方程的常数项移至右边，二次项系数化为1，提取公因式x，再将方程进行变形，利用平方差公式进行解答即可．
解：∵
∴
∴
取与的平均值，即将与相加再除以2，即
那么原方程可化为：
左边用平方差公式可化为：
再移项可得：
开平方可得：