2020年浙教版八下数学《第2章 一元二次方程》
单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x+＝2 C．2（x﹣1）2＝4 D．x3+x＝1
2．（3分）方程x2+x﹣1＝0的根是（ ）
A．1﹣ B． C．﹣1+ D．
3．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m＝0的常数项是4，则m等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（3分）若关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣ B．m≤，且m≠0 C．m＜，且m≠0 D．m＞
5．（3分）将方程x2+2x＝0配方成（x+a）2＝b的形式，则a，b分别为（ ）
A．a＝1，b＝1 B．a＝﹣1，b＝1 C．a＝2，b＝0 D．a＝﹣2，b＝0
6．（3分）如图，某中学计划靠墙围建一个面积为80m2的矩形花圃（墙长为12m），围栏总长度为28m，则与墙垂直的边x为（ ）
A．4m或10m B．4m C．10m D．8m
7．（3分）若x1x2＝2，+＝，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）
A．x2+3x﹣2＝0 B．x2﹣3x+2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0
8．（3分）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（ ）
A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2 B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2
C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2 D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）2
9．（3分）已知M＝m﹣4，N＝m2﹣3m，则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞N B．M＝N C．M≤N D．M＜N
10．（3分）某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目小分支，主干、枝干和小分支总数共57根，则主干长出枝干的根数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）一元二次方程x2+x﹣12＝0的根为 ．
12．（4分）关于x的方程（m+1）x2﹣（m﹣1）x+1＝0是一元二次方程，那么m ．
13．（4分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则4m2﹣6m+2020的值为 ．
14．（4分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至1万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得 ．
15．（4分）已知方程（x2+y2）2﹣2（x2+y2）﹣3＝0，则x2+y2的值为 ．
16．（4分）2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军，为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜 场．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）解下列方程
（1）x2﹣2x﹣2＝0
（2）（x﹣2）2﹣x+2＝0
18．（6分）已知3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根，求a的值和方程的另一根．
19．（8分）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2016年盈利1500万元，到2018年盈利2160万元，且从2016年到2018年，每年盈利的年增长率相同．
（1）求每年盈利的年增长率；
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，那么2019年该公司盈利能否达到2500万元？
20．（8分）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个相等的实数根．
（1）求m的值；
（2）求此时方程的根．
21．（8分）如图，有一块矩形硬纸板，长50cm，宽30cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为600cm2？
22．（10分）已知方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根之和等于两根之积，求m的值．
23．（10分）某服装店出售某品牌的棉衣，进价为100元/件，当售价为150元/件时，平均每天可卖30件；为了增加利润和减少库存，商店决定降价销售．经调査，每件每降价1元，则每天可多卖2件．
（1）若每件降价20元，则平均每天可卖 件．
（2）现要想平均每天获利2000元，且让顾客得到实惠，求每件棉衣应降价多少元？
24．（10分）观察下列分解因式的过程：x2+2xy﹣3y2
解：原式＝x2+2xy+y2﹣y2﹣3y2
＝（x2+2xy+y2）﹣4y2
＝（x+y）2﹣（2y）2
＝（x+y+2y）（x+y﹣2y）
＝（x+3y）（x﹣y）
像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法．
（1）请你运用上述配方法分解因式：x2+4xy﹣5y2；
（2）代数式x2+2x+y2﹣6y+15是否存在最小值？如果存在，请求出当x、y分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由．
2020年浙教版八下数学《第2章 一元二次方程》
单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x+＝2 C．2（x﹣1）2＝4 D．x3+x＝1
解：A、因为a可能为0，所以不一定是一元二次方程，故此选项错误；
B、因为含有分式，所以不是一元二次方程，故此选项错误；
C、因为符合一元二次方程的定义，所以是一元二次方程，故此选项正确；
D、因为最高是三次，所以不是一元二次方程，故此选项错误；
故选：C．
2．（3分）方程x2+x﹣1＝0的根是（ ）
A．1﹣ B． C．﹣1+ D．
解：a＝1，b＝1，c＝﹣1，
b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，
x＝；
故选：D．
3．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m＝0的常数项是4，则m等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：由题意得：2m＝4，
解得：m＝2，
故选：B．
4．（3分）若关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣ B．m≤，且m≠0 C．m＜，且m≠0 D．m＞
解：由题意可知：△＝4﹣12m＞0，
m＜，
∵m≠0，
∴m＜且m≠0，
故选：C．
5．（3分）将方程x2+2x＝0配方成（x+a）2＝b的形式，则a，b分别为（ ）
A．a＝1，b＝1 B．a＝﹣1，b＝1 C．a＝2，b＝0 D．a＝﹣2，b＝0
解：x2+2x＝0
x2+2x+1＝1
（x+1）2＝1
∴a＝1，b＝1
故选：A．
6．（3分）如图，某中学计划靠墙围建一个面积为80m2的矩形花圃（墙长为12m），围栏总长度为28m，则与墙垂直的边x为（ ）
A．4m或10m B．4m C．10m D．8m
解：∵与墙垂直的边为x，
∴与墙平行的边为（28﹣2x）．
依题意，得：x（28﹣2x）＝80，
整理，得：x2﹣14x+40＝0，
解得：x1＝4，x2＝10．
当x＝4时，28﹣2x＝20＞12，不合题意，舍去；
当x＝10时，28﹣2x＝8．
故选：C．
7．（3分）若x1x2＝2，+＝，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）
A．x2+3x﹣2＝0 B．x2﹣3x+2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0
解：∵+＝，
∴x1+x2＝x1x2，
∵x1x2＝2，
∴x1+x2＝3，
∴以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣3x+2＝0．
故选：B．
8．（3分）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（ ）
A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2 B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2
C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2 D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）2
解：设门对角线的长为x尺，由题意得：
（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2，
故选：B．
9．（3分）已知M＝m﹣4，N＝m2﹣3m，则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞N B．M＝N C．M≤N D．M＜N
解：N﹣M＝（m2﹣3m）﹣（m﹣4）
＝m2﹣3m﹣m+4
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2≥0，
∴N﹣M≥0，即M≤N，
故选：C．
10．（3分）某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目小分支，主干、枝干和小分支总数共57根，则主干长出枝干的根数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
解：设主干长出x根枝干，
依题意，得：1+x+x2＝57，
解得：x1＝7，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）一元二次方程x2+x﹣12＝0的根为 x1＝3，x2＝﹣4 ．
解：∵x2+x﹣12＝0，
∴（x﹣3）（x+4）＝0，
则x﹣3＝0或x+4＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣4．
故答案为：x1＝3，x2＝﹣4．
12．（4分）关于x的方程（m+1）x2﹣（m﹣1）x+1＝0是一元二次方程，那么m ≠﹣1 ．
解：由题意得：m+1≠0，
解得：m≠﹣1，
故答案为：≠﹣1．
13．（4分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则4m2﹣6m+2020的值为 2022 ．
14．（4分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至1万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得 9（1﹣x）2＝1 ．
解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：
9（1﹣x）2＝1，
故答案是：9（1﹣x）2＝1．
15．（4分）已知方程（x2+y2）2﹣2（x2+y2）﹣3＝0，则x2+y2的值为 3 ．
解：a＝x2+y2，
则原方程变为a2﹣2a﹣3＝0，
解得：a1＝﹣1，a2＝3，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2＝3．
故答案为：3．
16．（4分）2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军，为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜 11 场．
解：设中国队在本届世界杯比赛中连胜x场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，
依题意，得：x（x+1）＝66，
整理，得：x2+x﹣132＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．
故答案为：11．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）解下列方程
（1）x2﹣2x﹣2＝0
（2）（x﹣2）2﹣x+2＝0
解：（1）∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，
则＝1±；
（2）∵（x﹣2）2﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
18．（6分）已知3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根，求a的值和方程的另一根．
解：将x＝3代入x2﹣2x+a＝0中得32﹣6+a＝0，
解得a＝﹣3，
将a＝﹣3代入x2﹣2x+a＝0中得：x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
所以a＝﹣3，方程的另一根为﹣1．
19．（8分）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2016年盈利1500万元，到2018年盈利2160万元，且从2016年到2018年，每年盈利的年增长率相同．
（1）求每年盈利的年增长率；
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，那么2019年该公司盈利能否达到2500万元？
解：（1）设每年盈利的年增长率为x，
根据题意得：1500（1+x）2＝2160．
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：每年盈利的年增长率为20%；
（2）2160（1+0.2）＝2592，2592＞2500
答：2019年该公司盈利能达到2500万元．
20．（8分）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个相等的实数根．
（1）求m的值；
（2）求此时方程的根．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）＝0，
解得m＝﹣；
（2）当m＝﹣时，方程整理为x2﹣x+＝0，
所以x＝，
所以x1＝x2＝．
21．（8分）如图，有一块矩形硬纸板，长50cm，宽30cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为600cm2？
解：设剪去正方形的边长为xcm，
根据题意，得：2x（50﹣2x）+2x（30﹣2x）＝600，
整理，得：x2﹣20x+75＝0，
解得x1＝5，x2＝15，
当x＝15时，30﹣2x＝0，不符合题意，舍去；
∴x＝5，
答：当剪去正方形的边长为5cm时，所得长方体盒子的侧面积为600cm2．
22．（10分）已知方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根之和等于两根之积，求m的值．
解：（1）证明：由已知，m≠0，
∵△＝（m﹣3）2﹣4×m×（﹣3）＝（m+3）2≥0
∴方程总有两个实根．
（2）设方程的两根为x1，x2，
则，
根据题意得．
∴m＝6
经检验m＝6是分式方程的解，
∴m＝6．
23．（10分）某服装店出售某品牌的棉衣，进价为100元/件，当售价为150元/件时，平均每天可卖30件；为了增加利润和减少库存，商店决定降价销售．经调査，每件每降价1元，则每天可多卖2件．
（1）若每件降价20元，则平均每天可卖 70 件．
（2）现要想平均每天获利2000元，且让顾客得到实惠，求每件棉衣应降价多少元？
解：（1）30+20×2＝70件，
故答案为：70；
24．（10分）观察下列分解因式的过程：x2+2xy﹣3y2
解：原式＝x2+2xy+y2﹣y2﹣3y2
＝（x2+2xy+y2）﹣4y2
＝（x+y）2﹣（2y）2
＝（x+y+2y）（x+y﹣2y）
＝（x+3y）（x﹣y）
像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法．
（1）请你运用上述配方法分解因式：x2+4xy﹣5y2；
（2）代数式x2+2x+y2﹣6y+15是否存在最小值？如果存在，请求出当x、y分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由．
解：（1）原式＝（x2+4xy+4y2）﹣9y2
＝（x+2y）2﹣9y2
＝（x+2y+3y）（x+2y﹣3y）
＝（x+5y）（x﹣y）；
（2）原式＝（x2+2x+1）+（y2﹣6y+9）+5
＝（x+1）2+（y﹣3）2+5，
当x＝﹣1，y＝3时，原式存在最小值，最小值为5．
