菱形
知识点1 菱形的定义
有一组邻边 的平行四边形叫做菱形．
知识点2 菱形的性质
菱形的四条边都 ．
菱形的两条对角线互相 ，并且每一条对角线 一组对角．
知识点3 菱形的面积
菱形的面积有三种计算方法：(1)将其看成平行四边形，用底与高的 来求；(2)对角线分得的四个全等直角三角形面积之 ；(3)两条对角线 ．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是( )
A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD
C．BD＝DC D．AD＝BD
2．(知识点1)(3分)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
3．(知识点2)(3分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为( )
A．2 B．3
C． D．2
4．(知识点3)(3分)如图，菱形ABCD的面积为120cm2，对角线AC＝24cm，则菱形ABCD的周长为( )
A．52cm B．40cm
C．39cm D．26cm
5．(知识点2)(3分)如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是 ．
6．(知识点2)(7分)如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF＝BE.
7．(知识点2、3)(8分)如图，在?ABCD中，BC＝2AB＝4，点E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．
知识点 菱形的判定
一组邻边 的平行四边形是菱形．
对角线互相 的平行四形是菱形．
四条边 的四边形是菱形．
当堂检测(总分30分)
1．(3分)四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．BA＝BC B．AC，BD互相平分
C．AC＝BD D．AB∥CD
2．(3分)数学课上，老师让同学们判断一个四边形是否为菱形，下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否相等
B．测量对角线是否垂直
C．测量一组对角是否相等
D．测量四边是否相等
3．(3分)如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
甲：连接AC，作AC的中垂线交AD，BC于E，F，则四边形AFCE是菱形． 乙：分别作∠A与∠B的平分线AE，BF分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．
对于甲、乙两人的作法，可知( )
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
4．(3分)如图，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
5．(3分)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是 (只填写序号)．
6．(7分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上的两点，且AE＝CF，DF∥BE，AC平分∠BAD.求证：四边形ABCD为菱形．
7．(8分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， 点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.
(1)求证：AF＝CE；
(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．
菱形
知识点1 菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
知识点2 菱形的性质
菱形的四条边都相等．
菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．
知识点3 菱形的面积
菱形的面积有三种计算方法：(1)将其看成平行四边形，用底与高的积来求；(2)对角线分得的四个全等直角三角形面积之和；(3)两条对角线乘积的一半．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是( B )
A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD
C．BD＝DC D．AD＝BD
2．(知识点1)(3分)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( D )
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
3．(知识点2)(3分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为( D )
A．2 B．3
C． D．2
4．(知识点3)(3分)如图，菱形ABCD的面积为120cm2，对角线AC＝24cm，则菱形ABCD的周长为( A )
A．52cm B．40cm
C．39cm D．26cm
5．(知识点2)(3分)如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是72°．
6．(知识点2)(7分)如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF＝BE.
证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD＝BC.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝FC，∠CFD＝∠CEB＝90°.在Rt△CDF与Rt△CBE中，∴Rt△CDF≌Rt△CBE(HL)，∴DF＝BE.
7．(知识点2、3)(8分)如图，在?ABCD中，BC＝2AB＝4，点E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，BC＝AD.∵E，F分别是BC，AD的中点，∴BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)． (2)由题意知AB＝BE＝2.当四边形AECF为菱形时，AE＝EC＝BE＝2.∴△ABE为等边三角形．过点A作AM⊥BE于M，则BM＝1，∴AM＝＝.∴菱形AECF的面积为2×＝2.
知识点 菱形的判定
一组邻边相等的平行四边形是菱形．
对角线互相垂直的平行四形是菱形．
四条边相等的四边形是菱形．
当堂检测(总分30分)
1．(3分)四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( B )
A．BA＝BC B．AC，BD互相平分
C．AC＝BD D．AB∥CD
2．(3分)数学课上，老师让同学们判断一个四边形是否为菱形，下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( D )
A．测量对角线是否相等
B．测量对角线是否垂直
C．测量一组对角是否相等
D．测量四边是否相等
3．(3分)如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
甲：连接AC，作AC的中垂线交AD，BC于E，F，则四边形AFCE是菱形． 乙：分别作∠A与∠B的平分线AE，BF分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．
对于甲、乙两人的作法，可知( C )
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
4．(3分)如图，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( D )
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
5．(3分)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是③(只填写序号)．
6．(7分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上的两点，且AE＝CF，DF∥BE，AC平分∠BAD.求证：四边形ABCD为菱形．
证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.∵DF∥BE.∴∠DFE＝∠FEB.∴∠DFC＝∠AEB.又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(ASA)，∴AB＝CD.∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAF.∴∠DAF＝∠DCF，∴AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形．
7．(8分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， 点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.
(1)求证：AF＝CE；
(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．
解：(1)证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，且DE＝AC.∴AC＝2DE.∵EF＝2DE，∴EF＝AC，又∵EF∥AC，∴四边形ACEF是平行四边形．∴AF＝CE. (2)四边形ACEF是菱形 理由如下：∵在Rt△ABC中，E为AB的中点，∴EC＝AB.∵∠B＝30°，∴AC＝AB.∴AC＝EC.∵四边形ACEF是平行四边形．∴四边形ACEF是菱形．
