浙教版八年级数学下册第一章二次根式章末考点复习（学案）

二次根式

知识点一　二次根式的概念
一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“” 称为二次根号．
温馨提示：(1)二次根号“”的根指数是2，二次根号下的a叫被开方数，被开方数可以是数字，也可以是整式、分式等．
(2)式子只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是为二次根式的前提条件．式子就不是二次根式，但式子是二次根式．
(3)(a≥0)实际上就是非负数a的算术平方根，既可表示开方运算，也可表示运算的结果．
(4)是二次根式，虽然＝2，但2不是二次根式．因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”．
例1　当a为实数时，下列各式中哪些一定是二次根式？
，，，，，.
解析：因为a为实数，而|a|≥0，a2≥0，a2＋1＞0，(a－1)2≥0，所以，，，一定是二次根式；因为a是实数时，并不能保证a＋10，a2－1是非负数，即a＋10，a2－1可能是负数．如当a＜－10时，a＋10＜0；又如当0＜a＜1时，a2－1＜0，因此，，不是二次根式．
解：，，，是二次根式．
注意：二次根式有两个要素：一是含有二次根号“”；二是被开方数可以不只是数字，但必须是非负的，否则无意义．


知识点二　二次根式有意义的条件
因为负数没有平方根，所以使二次根式有意义的条件是被开方数(式)a≥0.
温馨提示：(1)由于表示的是a的算术平方根，所以a≥0.
(2)二次根式有意义，只与被开方数a有关，与根式前面的系数无关．
(3)确定二次根式有意义的方法就是使被开方数是非负数，如果有分母，应同时使被开方数的分母不为零．
例2　x是怎样的实数时，式子在实数范围内有意义？
解析：问题实质上是问当x是怎样的实数时，x－3是非负数，式子有意义．
解：由二次根式的定义可知x－3≥0，即x≥3，所以当x≥3时，式子在实数范围内有意义．





知识点三　二次根式的非负性
1.(a≥0)是一个非负数．
(a≥0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即≥0(a≥0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性．
2.(a≥0)，|a|，a2是三个重要的非负数，即≥0(a≥0)，|a|≥0，a2≥0.
温馨提示：(1)在实数范围内，我们知道式子(a≥0)表示非负数a的算术平方根，它具有双重非负性：①≥0；②a≥0.
(2)到目前为止，我们已经学过三类具有非负性的代数式：①|a|≥0；②a2≥0；③≥0(a≥0)．运用这些非负性，再结合 “若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0”的性质，可以解决一些问题．
例3　若＋(b－2)2＝0，则ab的值是________．
解析：由题意可知＝0，(b－2)2＝0，所以a＋3＝0，b－2＝0，则a＝－3，b＝2.所以ab＝(－3)2＝9.
答案：9


易错点　对二次根式概念分析不清易造成错误
例4　当字母取何值时，下列各式为二次根式．
(1)； (2)； (3)； (4).
解析：必须保证被开方数是非负数，以上式子才是二次根式，当分母上有未知数时，分母不能为0，根据这些要求列不等式解答即可．
解：(1)因为a，b为任意实数时，都有a2＋b2≥0，所以当a，b为任意实数时，是二次根式；
(2)－3x≥0，x≤0，即当x≤0时，是二次根式；
(3)≥0，且x≠0，所以x＞0.当x＞0时，是二次根式；
(4)≥0，且2－x≠0，即2－x＜0，所以x>2.当x＞2时，是二次根式．
注意：由二次根式的意义可知，当a≥0时，有意义，是二次根式；当a＜0时，无意义，不是二次根式．确定形如的式子中的被开方数中的字母取值范围时，可根据式子有意义或无意义的条件，列出不等式，然后解不等式即可．当被开方数是分式时，同时要求分母不等于零．






知识点一　二次根式的性质
1．()2＝a(a≥0)．
由于(a≥0)是一个非负数，表示非负数a的算术平方根，因此通过算术平方根的定义，非负数a的算术平方根的平方，就等于它本身，即()2＝a(a≥0)．
2.＝|a|＝
由算术平方根的定义，可得＝|a|＝＝a(a≥0)表示非负数a的平方的算术平方根等于它本身．
3．()2与的区别和联系
区别：(1)表示的意义不同：()2表示非负实数a的算术平方根的平方；表示实数a的平方的算术平方根；(2)运算的顺序不同：()2是先求非负实数a的算术平方根，然后再进行平方运算；而则是先求实数a的平方，再求a2的算术平方根；(3)取值范围不同：在()2中，a只能取非负实数，即a≥0；而在中，a可以取一切实数；(4)写法不同：在()2中，幂指数2在根号的外面；而在中，幂指数2在根号的里面；(5)结果不同：()2＝a(a≥0)，而＝
联系：(1)在运算时，都有平方和开平方的运算；(2)两式运算的结果都是非负数，即()2≥0，≥0.(3)仅当a≥0时，有()2＝.
温馨提示：(1)()2＝a的前提条件是a≥0；而＝|a|中的a为一切实数．
(2)＝()2成立的条件是a≥0，否则不成立．
(3)()2＝a(a≥0)可以逆用，即任意的一个非负数都可以写成它的算术平方根的平方形式．如5＝()2.
(4)在利用进行化简时，要先求出|a|，再根据绝对值的性质进行化简，一定要弄清被开方数的底数是正还是负，这是容易出错的地方．不要出现如＝－2的错误．
例1　化简：(1)()2＝________；
(2)()2(x≥3)＝________．
解析：(1)直接利用公式()2＝a(a≥0)，可得()2＝；(2)因为x≥3，所以x－3≥0，所以由公式()2＝a(a≥0)，可得()2＝x－3.
答案：(1)　(2)x－3



知识点二　代数式的概念
如5，a，a＋b，－ab，，－x3，，(a≥0)，它们都是用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式．
温馨提示：代数式可以表示数量、数量关系、式子的规律以及运算律等，特别注意单独的一个数或者一个字母也是代数式．
例2　下列各式中，代数式有(　　)
①x＋6；②a2＋b＝b＋a2；③4x＋1>7；④b；⑤0；⑥4a＋3≠0；⑦－x；⑧22－6；⑨8m－2n≤0.
A．4个 B． 5个
C．6个 D．7个
解析：紧扣代数式的概念，看数字和字母是不是由运算符号连接而成的，同时要注意单独的一个数或者一个字母也是代数式，带有“＝，>，≤，≠”等符号的不是代数式而是关系式．据此可知①、④、⑤、⑦、⑧都是代数式，一共有5个．
答案：B


易错点1　对性质＝|a|的应用错误
例3　计算：
(1)；
(2)(a＜3)；
(3)(x＜)．
解析：根据＝|a|，首先去掉根号，然后利用绝对值的定义求解．
解：(1)＝|－1.5|＝1.5；
(2)＝|a－3|＝3－a；
(3)＝|2x－3|＝3－2x.
注意：解题时需特别注意＝|a|，只有当a≥0时，＝a.
易错点2　忽视了二次根式成立的隐含条件
例4　已知x，y为实数，且y＝＋＋，则x∶y＝________．
解析：因为y为实数，所以隐含着两个算术平方根都有意义，即被开方数均为非负数，即解得x＝，于是y＝＋0＋0＝.故x∶y＝1∶4.
答案：1∶4
注意：两个算术平方根，当被开方数互为相反数时，只有它们同时为零，这两个式子才能都有意义，即“若和都有意义，则a＝0”．挖掘题目中隐含的二次根式的被开方数的非负性，是解决本题的关键．

知识点一　二次根式的乘法法则
1．一般地，二次根式的乘法法则是·＝(a≥0，b≥0)．即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．
温馨提示：(1)观察式子·＝(a≥0，b≥0)的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．
(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a≥0，b≥0的条件，因为只有a，b都是非负数，公式才能成立；②从运算顺序看，等号左边是先分别求a，b两数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a，b先做乘法求积，再开方求积的算术平方根；③根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．
2．二次根式乘法法则推广
(1)··＝(a≥0，b≥0，c≥0)；
(2)a·c＝ac(b≥0，d≥0)，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数；
(3)乘法交换律和结合律以及乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的乘法中仍然可应用．
例1　计算：
(1)×；(2)5×.
解析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法．
解：(1)×＝＝＝0.4×3＝1.2；
(2)5×＝5××＝×＝.
知识点二　积的算术平方根的性质
＝·(a≥0，b≥0)．即积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积．
温馨提示：(1) a≥0，b≥0是公式成立的重要条件．如≠·，实际上公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．
(2)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．
2.＝·(a≥0，b≥0)可以推广为＝··(a≥0，b≥0，c≥0)．
例2　化简：
(1)；(2)；
(3)；
(4)(a＞0，b＞0)．
解析：根据积的算术平方根的性质＝·(a≥0，b≥0)进行化简．
解：(1)＝＝×＝10；
(2)＝＝××＝×7×3＝21；
(3)＝＝＝20；
(4)＝＝4ab3.

易错点　忽视二次根式乘法法则逆运用的条件
例3　计算：.
解析：用公式＝·(a≥0，b≥0)计算即可．
解：＝×＝5×4＝20.
注意：由于负数没有平方根，所以当使用＝·时，不要忽视了公式的应用条件，应先化成正数后再计算．
知识点一　二次根式的除法法则
一般地，二次根式除法法则是＝(a≥0，b＞0)．即二次根式相除，把被开方数相除，指数不变．
温馨提示：(1)在二次根式的除法中，条件a≥0，b＞0与二次根式乘法的条件a≥0，b≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．
(2)二次根式的除法法则中的a，b既可以代表数，也可以代表式子．
(3)m÷n＝＝(a≥0，b＞0，n≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．
例1　计算：(1)÷；(2)÷.
解析：直接利用二次根式的除法法则进行计算，再适当化简即可．
解：(1)÷＝＝＝2.
(2)÷＝＝＝2.
知识点二　商的算术平方根的性质
＝(a≥0，b＞0)．即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．
温馨提示：(1)商的算术平方根的性质的限制条件与积的算术平方根的性质类似，但是也有区别，因为分母不能为零，所以被除式a必须是非负的，除式b必须是正的，否则性质不成立．
(2)当被开方数是带分数时，应先将带分数化成假分数．
例2　如果＝成立，那么(　　)
A．x≥0　　 B．x≥1　
C．0≤x≤1　 D．以上答案都不对
解析：本题考查的是二次根式的商的算术平方根的性质．要求x≥0，x－1＞0，即x＞1.
答案：D
注意：(1)逆用二次根式的除法法则时，一定要满足条件a≥0，b＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质和乘法运算．
知识点三　最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
温馨提示：(1)被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式．
(2)被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.
(3)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式；②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来．
(4)化去分母中的根号的依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得到整式．
(5)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．
例3　化简时，甲的解法是＝＝＋，乙的解法是＝＝＋.以下判断正确的是(　　)
A．甲正确，乙不正确　
B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙的解法都正确
D．甲、乙的解法都不正确
解析：甲是将分子和分母同乘以＋，把分母化为整数，乙是利用3＝(＋)(－)进行约分，所以两人的解法都是正确的．
答案：C


知识点四　二次根式的乘除混合运算
二次根式的乘除混合运算是指二次根式的乘、除、乘方、开方等运算．
温馨提示：(1) 二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．
(2) 整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用．
(3)整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．
例4　计算：9÷()×.
解析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除．
解：9÷()×＝(9÷×)＝(9××)＝3＝3＝3×＝.

易错点　对二次根号变形时，误将负号带入根号内造成错误
在将根号外的因式移到根号内时，一定要先判断该式的符号，否则容易忽视因式本身的条件限制，而导致符号错误．
例5　把代数式－x根号外的因式移到根号内，化简的结果为________．
解析：因为≥0，又由分式的定义x≠0，得x>0.所以原式＝－＝－.
答案：－
注意：－x中的“－”号不能移到根号里面，负号不能进出根号．



知识点一　二次根式合并的条件
二次根式合并时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
温馨提示：(1)在合并被开方数相同的二次根式时，只需要把二次根式的系数相加减，根指数和被开方数不变．
(2)合并被开方数相同的二次根式的理论依据是逆用乘法分配律．
例1　下列式子能与合并的是(　　)
A. B．
C. D．3
解析：∵＝4，＝，3＝6，是最简二次根式，不能化简，∴可以与合并的是.故选C.
答案：C
注意：(1)判断几个二次根式是否能合并，必须首先将二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同．若被开方数相同，则可以合并；若被开方数不同，则不可以合并．(2)几个二次根式能否合并，只与被开方数及根指数有关，与根号外的因式无关．
知识点二　二次根式的加减运算
1．二次根式加减的法则：二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
2．二次根式的加减法的一般步骤：
(1)将每一个二次根式都化成最简二次根式；
(2)找出化简后被开方数相同的二次根式；
(3)合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变．
温馨提示：(1)①当式子中有括号时要先去括号，并且在运算过程中应注意符号；②二次根式的加减与整式的加减相类似，在学习时应注意对比理解和应用．
(2)在进行二次根式的加减时，易出现以下几个方面的错误：①去括号时符号出错；②合并被开方数相同的二次根式时易漏掉系数为1的二次根式；③把不是被开方数相同的二次根式进行了合并．
例2　计算：－2－3＋5＋4.
解析：题中的每个二次根式都是最简二次根式，可直接识别出：－2与5，－3与4被开方数相同，因此可直接进行合并．
解：原式＝(－2＋5)＋(－3＋4)＝3＋.

易错点　进行二次根式的加减运算时，未化到最简而出错
例3　计算：(－)－(－)．
解析：进行二次根式的加减法运算可按一化(把二次根式化成最简二次根式)、二看(看被开方数是否相同)、三合并(把被开方数相同的二次根式进行合并)的步骤进行．
解：原式＝(－)－(－)
＝－－＋
＝(－)＋(－＋)
＝－＋.
注意：题中的二次根式都不是最简二次根式，应先把它们化为最简二次根式后，再把被开方数相同的二次根式进行合并，并计算出最简结果．


知识点一　二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方等运算．
温馨提示：(1)二次根式的混合运算顺序：①先乘方、开方，再乘除，最后加减；②有括号时要先算括号里面的．
(2)在二次根式的运算中，整式运算中的运算律(加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律以及分配律)同样适用．
(3)在二次根式的运算中，多项式乘法法则与乘法公式仍然适用．常用的公式有：①平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；②完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
(4)在二次根式的运算过程中一定要注意符号的变化，运算结果一定要化为最简形式.
例1　计算：÷(－)．
解析：本题计算时可把“÷”看作“分数线”，化“÷(－)”为“”，然后化去分母中的根号即可．
解：原式＝＝
＝×＋×
＝6＋5.
注意：解答本题时易出现如下错解：原式＝÷－÷＝－.显然，由－＜0，则得出两个正数相除结果为负的错误结果，解法有错，错就错在误用了所谓“除法分配律”，分配律不能在除法中随意套用．
知识点二　代数式的化简求值
代数式的化简求值，涉及的面比较广，有化简、求值以及新题型等．
温馨提示：(1)化简求值题要注意先化简，再求值．通过观察已知条件和欲求值的式子，如果可以化简则把它们都化简，如果直接代入计算，则计算量较大，而且容易出错．
(2)灵活运用乘法公式，可使计算过程得到简化．
(3)灵活运用整体代入思想，有时会比较容易求出问题的解来．
例2　已知x＝(＋)，y＝(－)，求x2－xy＋y2的值．
解析：先求出x＋y＝，xy＝，然后把二次三项式x2－xy＋y2变为(x＋y)2－3xy的形式，最后再代入计算．
解：∵x＝(＋)，y＝(－)，∴x＋y＝，xy＝.
∴x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝()2－3×＝5.

易错点　搞错运算顺序而出错
例3　计算：÷×.
解析：乘除法为同级运算，应按照从左到右的顺序进行计算．
解：原式＝x××＝.
注意：解答本题时，不能把“先算乘除，后算加减”的运算顺序，误认为依次按乘、除、加、减的顺序进行．实际上，乘除法为同级运算，应按照从左往右的顺序进行计算．



题型一　二次根式的性质
命题点：1.二次根式有意义的条件；2.算术平方根的非负性．
例1　若m满足关系式＋＝·，试确定m的值．
解析：挖掘题目中隐含的算术平方根的两个非负性，并在解题过程中有机地配合应用，是解决本题的关键．
解：由算术平方根的被开方数的非负性，得
即
∴x＋y＝199.
∴＋＝0.
由算术平方根的非负性，
得
由①－②，得x＋2y＝2.
解方程组得
∴m＝2x＋3y＝2×396＋3×(－197)＝201.
点拨：运用二次根式的定义得出：x≥a且x≤a，故有x＝a，这是由不等关系推出相等关系的一种十分有效的方法．
题型二　二次根式的化简
命题点：1.化简二次根式；2.二次根式有意义的条件.
例2　把化成最简二次根式是________．
解析：化简时，需知道x，x－1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出．
∵(x－1)2＞0(这里不能等于0)，－x3≥0，即x≤0，∴1－x＞0.
故原式＝＝－.
答案：－
题型三　二次根式的综合运用
命题点：1.可以合并的二次根式的特征；2.有理数的意义．
例3　已知x，y为非负整数，且＋＝，求x＋y的值．
解析：若＋＝(a，b，c为非负数)，则，，是可以合并的二次根式，这是一个常用的性质，由题可知，，是可以合并的二次根式．又＝2，所以设＝a，＝b(a，b为非负整数)，再由已知可求得x，y的值，从而可求出x＋y的值．
解：∵＋＝，∴，与是可以合并的二次根式．又∵＝2，∴可设＝a，＝b，则a＋b＝2，∴a＋b＝2.由题意可知a，b为非负整数，
∴当时，∴x＋y＝1010；
当时，∴x＋y＝2020；
当时，∴x＋y＝2020.
∴x＋y的值为1010或2020.
点拨：当两个二次根式可以合并时，说明这两个二次根式化简后是被开方数相同的二次根式，所以，与化简后是被开方数相同的二次根式．