反比例函数
知识点1 反比例函数的概念
一般地，形如y＝(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数．其中x是自变量，y是函数．自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
知识点2 建立反比例函数的模型
在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析，首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数解析式，建立反比例函数的数学模型．
知识点3 确定反比例函数的解析式
求反比例函数的解析式，就是确定反比例函数解析式y＝(k≠0)中常数k的值，一般步骤是“设→列→解→答”．
课堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)下列函数中，表示y是x的反比例函数的是( )
A．y＝x B．y＝
C．y＝ D．y＝
2．(知识点1)(3分)如果函数y＝x1－2m是反比例函数，则m的值是( )
A．－1 B．0
C. D．1
3．(知识点2)(3分)如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y关于x的函数解析式为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
4．(知识点3)(3分)点A(－2，5)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值是( )
A．10 B．5
C．－5 D．－10
5．(知识点2)(3分)近两年来，“共享单车”在全国大范围兴起，哈罗共享单车公司计划在某市投放10000辆单车，将这些单车平均投放到x个投放点，则每个点的投放量y与x的函数解析式为y＝．
6．(知识点1、3)(7分)已知反比例函数y＝－.
(1)说出这个函数的比例系数；
(2)当x＝－10时，求函数y的值；
(3)当y＝6时，求自变量x的值．
7．(综合题)(8分)已知y与x＋2成反比例，且当x＝3时，y＝4.
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)当y＝5时，求x的值．
知识点1 反比例函数的图象
(1)反比例函数图象的画法：列表、描点、连线．
(2)反比例函数图象的特点：①反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限；②双曲线的两个分支是断开的，延伸部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交；③双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y＝x或直线y＝－x)．
知识点2 反比例函数的性质
(1)当k＞0时，两支曲线分别位于第一、第三象限内，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
(2)当k＜0时，两支曲线分别位于第二、第四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
课堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)反比例函数y＝的图象是( )
A．线段 B．直线
C．抛物线 D．双曲线
2．(知识点1)(3分)下列图象中是反比例函数y＝－图象的是( )
3．(知识点2)(3分)关于反比例函数y＝－，下列说法正确的是( )
A．图象过点(2，－8)
B．图象在第一、三象限
C．当x>0时，y随x的增大而减小
D．当x<0时，y随x的增大而增大
4．(知识点2)(3分)(2019·广州)若点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y3C．y1
5．(知识点2)(3分)如图，它是反比例函数y＝图象的一支，根据图象可知常数m的取值范围是m＞5．
6．(知识点1)(7分)请在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝和y＝－的图象．
7．(综合题)(8分)已知函数y＝(k－1)xk2－5为反比例函数，其图象的一支如图所示．
(1)求k的值；
(2)当1≤x<3时，求y的取值范围．
知识点1 反比例函数y＝(k≠0)中k的几何意义
过双曲线y＝上的任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，连接该点与原点，还可得出两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于．
知识点2 反比例函数图象和性质的综合应用
(1)交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数解析式联立成方程组求解．若方程组有解，则两者有交点；若方程组无解，则两者无交点．
(2)函数值大小比较：函数图象中处于上方的部分，函数值大，处于下方的部分，函数值小．
(3)图象的对称性：反比例函数的图象关于原点成中心对称，常用来求点的坐标和图形的面积等．
课堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(5分)如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y＝(x>0)图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B.若四边形OAPB的面积为3，则k的值为( )
A．3 B．－3
C. D．－
第1题
2．(知识点1)(5分)如图，点A为反比例函数y＝－图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
第2题
3．(知识点2)(5分)如图，反比例函数y1＝与一次函数y2＝ax＋b交于(4，2)，(－2，－4)两点，则使得y1A．－2B．x<－2或x>4
C．－2D．－24
第3题
4．(知识点2)(5分)如图，在直角坐标系中，点A在函数y＝(x>0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y＝(x>0)的图象交于点D，连接AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于( )
A．2 B．2
C．4 D．4
第4题
5．(综合题)(10分)如图，设反比例函数的解析式为y＝(k>0)．
(1)若该反比例函数与正比例函数y＝2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值．
(2)若该反比例函数的图象与过点M(－2，0)的直线l：y＝kx＋b交于A，B两点，如图所示．当△ABO的面积为时，求直线l的解析式．
知识点 反比例函数在日常生活中的应用
利用反比例函数解决实际问题的一般步骤：
(1)审—审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
(2)设—根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定系数用字母表示；
(3)列—由题目中的已知条件列出方程(组)，求出待定系数；
(4)写—写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
(5)解—用函数解析式去解决实际问题．
课堂检测(总分30分)
1．(4分)一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均70千米/时的速度用了4个小时到达乙地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v(千米/时)与时间t(小时)的函数解析式是( )
A．v＝280t B．v＝
C．v＝17.5t D．v＝
2．(4分)用规格为50cm×50cm的地板砖密铺客厅恰好需要60块．如果改用规格为acm×acm的地板砖y块也恰好能密铺客厅，那么y与a之间的函数解析式为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝150000a2 D．y＝150000a
3．(4分)一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x＝2时，y＝20.则y与x的函数图象大致是( )
4．(4分)某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空，现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t小时，写出t与Q之间的函数解析式为t＝．
5．(4分)市政府计划建设一项水利工程，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务．该运输公司平均每天的工作量V(米3/天)与完成运送任务所需的时间t(天)之间的函数图象如图所示．若该公司确保每天运送土石方1000米3，则公司完成全部运输任务需40天．
6．(10分)某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销．试销情况如表所示．
第1天 第2天 第3天 第4天
售价x/(元/双) 150 200 250 300
销售量y/双 40 30 24 20
(1)观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数解析式．
(2)若商场计划每天的销售利润为3000元，则其售价应定为多少元？
知识点 反比例函数在跨学科问题中的应用
(1)在物理学中，电压U一定时，电阻R与电流强度I成反比例函数，其解析式为R＝(U为常数)；
(2)气体质量m一定时，密度ρ与体积V成反比例函数，其解析式为ρ＝(m为常数)；
(3)压力F一定时，压强p与受力面积S成反比例函数，其解析式为p＝(F为常数)．
课堂检测(总分30分)
1．(4分)物理学知识告诉我们，一个物体受到的压强p与所受压力F及受力面积S之间的计算公式为p＝.当一个物体所受压力为定值时，该物体所受压强p与受力面积S之间的关系用图象表示大致为( )
2．(4分)(2019·孝感)公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200 N和0.5 m，则动力F(单位：N)关于动力臂l(单位：m)的函数解析式正确的是( )
A．F＝ B．F＝
C．F＝ D．F＝
3．(4分)在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m(kg)的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变，ρ(kg/m3)与V(m3)在一定范围内满足ρ＝，它的图象如图所示，则该气体的质量m为( )
A．1.4kg B．5kg
C．7kg D．6.4kg
第3题
4．(4分)某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例．如图是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，当电阻R为6Ω时，电流I为1A.
第4题
5．(4分)由物理学知识我们知道：物体在力F(N)的方向上发生位移s(m)做的功为W，即W＝Fs.若W＝100J.
(1)F关于s的函数解析式为F＝；
(2)当F＝4N时，s的值为25m．
6．(10分)某汽车的功率P(W)为一定值，它的速度v(m/s)与它所受的牵引力F(N)有关系式v＝，且当F＝3000N时，v＝20m/s.
(1)这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数解析式；
(2)当它所受的牵引力为2500N时，汽车的速度为多少？
(3)如果限定汽车的速度不超过30m/s，则牵引力F在什么范围内？
反比例函数
知识点1 反比例函数的概念
一般地，形如y＝(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数．其中x是自变量，y是函数．自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
知识点2 建立反比例函数的模型
在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析，首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数解析式，建立反比例函数的数学模型．
知识点3 确定反比例函数的解析式
求反比例函数的解析式，就是确定反比例函数解析式y＝(k≠0)中常数k的值，一般步骤是“设→列→解→答”．
课堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)下列函数中，表示y是x的反比例函数的是( D )
A．y＝x B．y＝
C．y＝ D．y＝
2．(知识点1)(3分)如果函数y＝x1－2m是反比例函数，则m的值是( D )
A．－1 B．0
C. D．1
3．(知识点2)(3分)如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y关于x的函数解析式为( C )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
4．(知识点3)(3分)点A(－2，5)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值是( D )
A．10 B．5
C．－5 D．－10
5．(知识点2)(3分)近两年来，“共享单车”在全国大范围兴起，哈罗共享单车公司计划在某市投放10000辆单车，将这些单车平均投放到x个投放点，则每个点的投放量y与x的函数解析式为y＝．
6．(知识点1、3)(7分)已知反比例函数y＝－.
(1)说出这个函数的比例系数；
(2)当x＝－10时，求函数y的值；
(3)当y＝6时，求自变量x的值．
解：(1)原函数可变形为y＝，故比例系数为－. (2)当x＝－10时，y＝＝. (3)当y＝6时，－＝6，解得x＝－.
7．(综合题)(8分)已知y与x＋2成反比例，且当x＝3时，y＝4.
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)当y＝5时，求x的值．
解：(1)由题意可设y＝.∵当x＝3时，y＝4，∴k＝4×(3＋2)＝20，∴y＝. (2)把y＝5代入y＝中可得5＝.解得x＝2.
知识点1 反比例函数的图象
(1)反比例函数图象的画法：列表、描点、连线．
(2)反比例函数图象的特点：①反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限；②双曲线的两个分支是断开的，延伸部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交；③双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y＝x或直线y＝－x)．
知识点2 反比例函数的性质
(1)当k＞0时，两支曲线分别位于第一、第三象限内，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
(2)当k＜0时，两支曲线分别位于第二、第四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
课堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)反比例函数y＝的图象是( D )
A．线段 B．直线
C．抛物线 D．双曲线
2．(知识点1)(3分)下列图象中是反比例函数y＝－图象的是( C )
3．(知识点2)(3分)关于反比例函数y＝－，下列说法正确的是( D )
A．图象过点(2，－8)
B．图象在第一、三象限
C．当x>0时，y随x的增大而减小
D．当x<0时，y随x的增大而增大
4．(知识点2)(3分)(2019·广州)若点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( C )
A．y3C．y1
5．(知识点2)(3分)如图，它是反比例函数y＝图象的一支，根据图象可知常数m的取值范围是m＞5．
6．(知识点1)(7分)请在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝和y＝－的图象．
7．(综合题)(8分)已知函数y＝(k－1)xk2－5为反比例函数，其图象的一支如图所示．
(1)求k的值；
(2)当1≤x<3时，求y的取值范围．
解：(1)由题意可得k2－5＝－1，解得k＝±2.∵图象的一支在第二象限，∴k－1<0，解得k<1，∴k＝－2. (2)由(1)可知k＝－2.∴反比例函数的解析式为y＝－.当x＝1时，y＝－3；当x＝3时，y＝－1.∵反比例函数y＝－的图象在第四象限y随x的增大而增大，∴当1≤x<3时，y的取值范围是－3≤y<－1.
知识点1 反比例函数y＝(k≠0)中k的几何意义
过双曲线y＝上的任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，连接该点与原点，还可得出两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于．
知识点2 反比例函数图象和性质的综合应用
(1)交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数解析式联立成方程组求解．若方程组有解，则两者有交点；若方程组无解，则两者无交点．
(2)函数值大小比较：函数图象中处于上方的部分，函数值大，处于下方的部分，函数值小．
(3)图象的对称性：反比例函数的图象关于原点成中心对称，常用来求点的坐标和图形的面积等．
课堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(5分)如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y＝(x>0)图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B.若四边形OAPB的面积为3，则k的值为( A )
A．3 B．－3
C. D．－
第1题
2．(知识点1)(5分)如图，点A为反比例函数y＝－图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为( D )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
第2题
3．(知识点2)(5分)如图，反比例函数y1＝与一次函数y2＝ax＋b交于(4，2)，(－2，－4)两点，则使得y1A．－2B．x<－2或x>4
C．－2D．－24
第3题
4．(知识点2)(5分)如图，在直角坐标系中，点A在函数y＝(x>0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y＝(x>0)的图象交于点D，连接AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于( C )
A．2 B．2
C．4 D．4
第4题
5．(综合题)(10分)如图，设反比例函数的解析式为y＝(k>0)．
(1)若该反比例函数与正比例函数y＝2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值．
(2)若该反比例函数的图象与过点M(－2，0)的直线l：y＝kx＋b交于A，B两点，如图所示．当△ABO的面积为时，求直线l的解析式．
解：(1)由题意知A(1，2)．把点A(1，2)的坐标代入y＝，得到3k＝2，∴k＝. (2)把点M(－2，0)的坐标代入y＝kx＋b，可得b＝2k，∴y＝kx＋2k.由消去y，得到x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或1，∴B(－3，－k)，A(1，3k)．∵△ABO的面积为，∴×2×3k＋×2×k＝，解得k＝.∴直线l的解析式为y＝x＋.
知识点 反比例函数在日常生活中的应用
利用反比例函数解决实际问题的一般步骤：
(1)审—审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
(2)设—根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定系数用字母表示；
(3)列—由题目中的已知条件列出方程(组)，求出待定系数；
(4)写—写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
(5)解—用函数解析式去解决实际问题．
课堂检测(总分30分)
1．(4分)一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均70千米/时的速度用了4个小时到达乙地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v(千米/时)与时间t(小时)的函数解析式是( B )
A．v＝280t B．v＝
C．v＝17.5t D．v＝
2．(4分)用规格为50cm×50cm的地板砖密铺客厅恰好需要60块．如果改用规格为acm×acm的地板砖y块也恰好能密铺客厅，那么y与a之间的函数解析式为( A )
A．y＝ B．y＝
C．y＝150000a2 D．y＝150000a
3．(4分)一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x＝2时，y＝20.则y与x的函数图象大致是( C )
4．(4分)某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空，现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t小时，写出t与Q之间的函数解析式为t＝．
5．(4分)市政府计划建设一项水利工程，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务．该运输公司平均每天的工作量V(米3/天)与完成运送任务所需的时间t(天)之间的函数图象如图所示．若该公司确保每天运送土石方1000米3，则公司完成全部运输任务需40天．
6．(10分)某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销．试销情况如表所示．
第1天 第2天 第3天 第4天
售价x/(元/双) 150 200 250 300
销售量y/双 40 30 24 20
(1)观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数解析式．
(2)若商场计划每天的销售利润为3000元，则其售价应定为多少元？
解：(1)由表中数据得xy＝6000，∴y＝，∴y是x的反比例函数，所求函数解析式为y＝. (2)由题意得(x－120)y＝3000，把y＝代入得(x－120)·＝3000，解得x＝240.经检验，x＝240是原方程的根．∴若商场计划每天的销售利润为3000元，则其售价应定为240元．
知识点 反比例函数在跨学科问题中的应用
(1)在物理学中，电压U一定时，电阻R与电流强度I成反比例函数，其解析式为R＝(U为常数)；
(2)气体质量m一定时，密度ρ与体积V成反比例函数，其解析式为ρ＝(m为常数)；
(3)压力F一定时，压强p与受力面积S成反比例函数，其解析式为p＝(F为常数)．
课堂检测(总分30分)
1．(4分)物理学知识告诉我们，一个物体受到的压强p与所受压力F及受力面积S之间的计算公式为p＝.当一个物体所受压力为定值时，该物体所受压强p与受力面积S之间的关系用图象表示大致为( C )
2．(4分)(2019·孝感)公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200 N和0.5 m，则动力F(单位：N)关于动力臂l(单位：m)的函数解析式正确的是( B )
A．F＝ B．F＝
C．F＝ D．F＝
3．(4分)在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m(kg)的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变，ρ(kg/m3)与V(m3)在一定范围内满足ρ＝，它的图象如图所示，则该气体的质量m为( C )
A．1.4kg B．5kg
C．7kg D．6.4kg
第3题
4．(4分)某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例．如图是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，当电阻R为6Ω时，电流I为1A.
第4题
5．(4分)由物理学知识我们知道：物体在力F(N)的方向上发生位移s(m)做的功为W，即W＝Fs.若W＝100J.
(1)F关于s的函数解析式为F＝；
(2)当F＝4N时，s的值为25m．
6．(10分)某汽车的功率P(W)为一定值，它的速度v(m/s)与它所受的牵引力F(N)有关系式v＝，且当F＝3000N时，v＝20m/s.
(1)这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数解析式；
(2)当它所受的牵引力为2500N时，汽车的速度为多少？
(3)如果限定汽车的速度不超过30m/s，则牵引力F在什么范围内？
解：(1)P＝vF＝3000×20＝60000(W)，v＝. (2)当F＝2500N时，v＝＝24m/s. (3)由v＝≤30，得F≥2000N.
