浙教版八年级数学下册第四章平行四边形培优讲义（含简单答案）

平行四边形培优讲义


类型一 平行四边形的判定


(2019秋﹒泰安期末）顺次连接平面上A,B,C,D四点得到一个四边形，从①AD∥BC,②AB＝CD，③∠A＝∠C，④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”，这一结论的情况共有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种

【答案】B


如图，点A,B,C在同一直线上，点D,E,F,G在同一直线上，且AC∥DG,AD∥BE∥CF,AF∥BG．图中平行四边形有5个．





【答案】5








(2019秋﹒诸城市期末）如图，在四边形ABCD中,AD∥BC,AD＝5,BC＝18,E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为





【答案】
∵AD∥BC,
∴PD＝QE时，以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形，
①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，
则得：9－3t＝5－t,
解得：t＝2，
②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，
则得：3t－9＝5－t,
解得：t＝3.5;
∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：2秒或3.5秒．









在□ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF．
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．

【答案】

（1）证明：在?ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC．
∵F是AD的中点，∴DF＝．
又∵CE＝BC，∴DF＝CE，且DF∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）解：如图，过点D作DH⊥BE于点H．
在?ABCD中，∵∠B＝60°，
∴∠DCE＝60°．
∵AB=4，
∴CD=AB=4，
∴CH=2，DH=2．
在?CEDF中，CE=DF=AD=3，则EH=1．
∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE==．



类型二 平行四边形的性质


如图，平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC边于点M，而MD平分∠AMC，若∠MDC=45°，则∠BAD=_____，∠ABC=_____．


【答案】60°，120°．



平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC = 10，BD = 8，则AD的取值范围是( )
A．AD＞1 B． AD＜9 C．1＜AD＜9 D．AD＞9
【答案】C




如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、AF、CE、CF．四边形AECF是什么样的四边形，说明你的道理．

【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
同理：CE=AF，
∴四边形AECF是平行四边形．??


类型三 三角形的中位线


杨伯家小院子的四棵小树E、F、G、H刚好在其梯形院子ABCD各边的中点上，若在四边形EFGH种上小草，则这块草地的形状是( )

A.平行四边形
B.矩形
C.正方形
D.菱形
【答案】A??



如图，△ABC中∠ACB=90°，点D、E分别是AC， AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A.
求证：四边形DECF是平行四边形.
　　
【答案】∵D、E分别是AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线
　　　　　∴DE=BC，DE∥BC 即DE∥CF
　　　　　∵△ABC中∠ACB=90°，E是AB的中点，∴CE=AB
　　　　　∴CE=AE，∴∠A=∠ECD
　　　　　∵∠CDF=∠A，∴∠CDF=∠ECD，∴CE∥DF
　　　　　∴四边形DECF是平行四边形.



如图，AD、BC垂直相交于点O，AB∥CD，又BC = 8，AD = 6，求：AB＋CD的长．


【答案】过点C作CE∥AD交BA延长线于E，
∵AB∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE = CD，∠BCE =∠BOA =，CE = AD = 6，
BE === 10．
∵ BE = AB＋AE =AB＋CD，
∴AB＋CD = 10．





已知平行四边形的面积是144，相邻两边上的高分别为8和9，则它的周长为_____．
在平行四边形ABCD中，对角线BD = 7cm，∠DBC =，BC = 5cm，则平行四边形ABCD的面积为___________．
如图，在□ABCD中， 对角线AC、BD相交于点O. E、F是对角线AC上的两个不同点，当E、F两点满足下列条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形( ).

A. AE＝CF B.DE＝BF
C. D.

如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．求证：四边形PBQD是平行四边形．


答案与解析
1.【答案】68
2.【答案】17.5 cm?
3. 【答案】略
4.【答案】
证明：连接BD交AC与O点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
又∵AP=CQ，
∴AP+AO=CQ+CO，
即PO=QO，
∴四边形PBQD是平行四边形．





如图，某村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树，这村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问这村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由．

如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP∥BE，AP＝BE，（点P、E在直线AB的同侧），如果BD＝AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（　　）.
A. B. C. D.

如图，在△ABC中，AB＞AC,AD平分∠BAC，BE垂直AD延长线与点E，M是BC的中点，求证:

如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N,交BD于F,连接AF，CE.求证：四边形AECF为平行四边形.

答案与解析
1.【答案】这村能实现他们的设想．
分别过点A、C作BD的平行线、，
分别过点B、D作AC的平行线、，交、于点M、N；交、于点P、Q，则四边形MNPQ就是所求的平行四边形．




2.【答案】D
3. 【答案】略
4. 【答案】略


如图1所示，（1）已知D是等腰△ABC底边BC上一点，DE∥AC，交AB于点E．DF∥AB，交AC于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由．（2）如图2所示，已知D是等腰△ABC底边BC延长线上一点，DE∥AC，交BA的延长线于点E．DF∥AB，交AC的延长线于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由．

图1 图2
如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平芬妮西安BE、CF相较于点0，AG⊥BE于点G，AH⊥CF于点H.
求证：GH ∥BC
若AB=9cm，AC=14cm，BC=18cm，求GH

如图，在△ABC中，D，G分别为AB，AC上的点，且BD=CG，M，N分别是BG，CD的中点，过MN的直线交AB于点P，交AC于点Q，求证：AP=AQ


答案与解析

1. 【答案】
(1)DE＋DF＝AB．
理由如下：因为DE∥AC，DF∥AB，
所以由平行四边形的定义可得四边形AEDF是平行四边形，
所以DF＝AE．
又因为△ABC是等腰三角形，所以∠B＝∠C．
因为DE∥AF，所以∠C＝∠EDB．
所以∠B＝∠EDB．所以△BDE是等腰三角形，所以BE＝DE，
所以DE＋DF＝BE＋AE＝AB．
(2)若D在BC的延长线上，则(1)中的结论不成立，正确结论是DE－DF＝AB．
理由如下：因为DE∥AC，DF∥AB，
所以四边形AFDE是平行四边形．
所以DF＝AE，DE＝AF．
因为△ABC是等腰三角形，所以∠B＝∠ACB．
又因为∠ACB＝∠FCD，所以∠B＝∠FCD．
又因为AB∥DF，所以∠B＝∠FDC．所以∠FCD＝∠FDC，所以DF＝FC，
所以DE－DF＝AF－CF＝AC＝AB．

2.【答案】略
3. 【答案】略


1、平行四边形的定义以及表示方法
2、平行四边形的性质
3、平行四边形的面积
4、平行四边形的判定
5、三角形的中位线
6、平行四边形的综合应用
7、有关面积的问题的综合应用





已知O是□ABCD的对角线交点，AC=24，BD=38，AD=14，那么△OBC的周长等于_______.


若A、B、C三点不在同一条直线上，则以其为顶点的平行四边形共有( )个
1 B．2 C．3 D．4
已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中能分别作它的两条对角线长的是( )
A．10与6 B．12与16 C．20与22 D．10与18


答案与解析
1.【答案】45
2.【答案】C
3. 【答案】C



如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是__________.

如图所示，六边ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD．已知FD＝24，BD＝18．则六边形ABCDEF的面积是______.



如图，在?ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．


答案与解析
1.【答案】

2.【答案】432
3.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．
∴∠ADE=∠CBF=60°．
∵AE=AD，CF=CB，
∴△AED，△CFB是正三角形．
∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．
∴四边形AFCE是平行四边形．

（2）解：上述结论还成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．
∴∠ADE=∠CBF．
∵AE=AD，CF=CB，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．
∴∠AED=∠CFB．
又∵AD=BC，
在△ADE和△CBF中．
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．
又∵∠DAB=∠BCD，
∴∠EAF=∠FCE．
∴四边形EAFC是平行四边形．





已知如图，在平行四边形ABCD中，∠A =，E、F分别为AB、CD的中点，AB = 2AD，求证：BD =EF．

如图1所示，（1）已知D是等腰△ABC底边BC上一点，DE∥AC，交AB于点E．DF∥AB，交AC于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由．（2）如图2所示，已知D是等腰△ABC底边BC延长线上一点，DE∥AC，交BA的延长线于点E．DF∥AB，交AC的延长线于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由．

图1 图2
如图，△ABD，△BCE，△ACF是等边三角形，求证：四边形ADEF是平行四边形


答案与解析
1.【答案】连结DE，在平行四边形ABCD中，
ABCD，DF =CD，AE =AB，
∴DFAE，
∴四边形AEFD是平行四边形，∴EF = AD．
又∵AB = 2AD，AB = 2AE，
∴AD = AE，且∠A =，
∴DE = AE = BE，
∴∠1 =∠2 =×，∴∠ADB =，
BD ===AD，
∴BD =EF．

2.【答案】(1)∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠ABC＝60°．
又∵ ∠EFB＝60°，∴ EF∥BC，即EF∥DC．
又∵ DC＝EF，∴ 四边形EFCD是平行四边形．
(2)如图，连接BE．
∵ BF＝EF，∠EFB＝60°，∴ △EFB是等边三角形，
∴ BE＝BF＝EF，∠EBF＝60°，∴ DC＝EF＝BE．
∵ △ABC是等边三角形，∴ AC＝AB，∠ACD＝60°．
在△ABE和△ACD中，∵ AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，
∴ △ABE≌△ACD，∴ AE＝AD．

3. 【答案】略