5.2.1 菱形的性质同步练习（含答案）

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5.2　菱形
第1课时　菱形的性质　 　　　　　

知识点1　菱形边角的性质
1.边长为3 cm的菱形的周长是 (　　)
A.6 cm B.9 cm C.12 cm D.15 cm
2.如图5-2-1,菱形ABCD的周长是16,∠A=60°,则对角线BD的长为 (　　)

图5-2-1
A.2 B.2 C.4 D.4
3.如图5-2-2,在菱形OABC中,点A在x轴上,点B的坐标是(4,2),则点A的坐标是　　　　.?

图5-2-2
4.如图5-2-3,点E,F分别在菱形ABCD的边DC,DA上,且CE=AF.求证:∠ABF=∠CBE.

图5-2-3






知识点2　菱形对角线的性质
5.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 (　　)
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
6.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是 (　　)
A.10 B.8 C.6 D.5
7.如图5-2-4,AC,BD是菱形ABCD的对角线.若∠BAC=55°,则∠CBD等于　　　　°.?

图5-2-4
8.如图5-2-5,四边形ABCD是菱形,过AB的中点E作AC的垂线EF,交AD于点M,交CD的延长线于点F.如果FD=2,求菱形ABCD的周长.

图5-2-5






知识点3　菱形面积计算
9.如图5-2-6,已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=20和BD=18,那么菱形ABCD的面积为　　　　.?

图5-2-6
10.如图5-2-7,已知四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于点H,则DH=　　　　.?

　图5-2-7
11.已知菱形的周长为20 cm,一条对角线长为6 cm,则这个菱形的面积是　　　　cm2.?

12.如图5-2-8,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连结BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为(　　)

图5-2-8
A.28° B.52° C.62° D.72°
13.如图5-2-9,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2.若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为 (　　)

图5-2-9
A.1 B.2 C.3 D.4
14.[2019·九江二模] 如图5-2-10,已知菱形ABCD的边长是10,O是对角线的交点,过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.若菱形一条对角线长为12,则图中阴影部分的面积为　　　　.?

图5-2-10

15.如图5-2-11,菱形ABCD中,AC交BD于点O,DE⊥BC于点E,连结OE.若∠ABC=140°,则∠OED=　　　　°.?

图5-2-11
16.[2019·苏州] 如图5-2-12,已知菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O',当点A'与点C重合时,点A与点B'之间的距离AB'为　　　　.?

图5-2-12
17.如图5-2-13,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)求证:四边形ACDE是平行四边形;
(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.


图5-2-13









18.在菱形ABCD中,∠B=60°,点E在边BC上,点F在边CD上.
(1)如图5-2-14①,若E是BC的中点,∠AEF=60°,求证:BE=DF;
(2)如图5-2-14②,若∠EAF=60°,求证:△AEF是等边三角形.

图5-2-14






教师详解详析
1.C
2.C　[解析] 由菱形ABCD的周长是16,即可求得AB=AD=4.又由∠A=60°,即可证得△ABD是等边三角形,则可求得对角线BD的长为4.
3.,0　[解析] 如图,过点B作BD⊥x轴,垂足为D.

∵点B的坐标为(4,2),
∴OD=4,BD=2.
∵四边形OABC是菱形,
∴OA=AB.
设OA=x,则AB=x,
AD=4-x.
在Rt△ABD中,x2=(4-x)2+22,
解得x=,∴点A的坐标为,0.
4.[解析] 先根据菱形的对角相等,四条边都相等的性质得到△AFB与△CEB全等的条件,从而证得这两个三角形全等.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴∠A=∠C,AB=CB.
在△AFB和△CEB中,
∴△AFB≌△CEB,
∴∠ABF=∠CBE.
5.D　6.D　7.35　
8.解:如图,连结BD.
∵四边形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,AB∥CD.
∵AC⊥EF,
∴BD∥EF.
又∵AB∥CD,
∴四边形BDFE是平行四边形,
∴EB=FD=2.
∵E是AB的中点,
∴AB=2EB=4,
∴菱形ABCD的周长是16.
9.180
10.　[解析] ∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=AC=4,BO=BD=3,
∴AB==5,S四边形ABCD=AC·BD=AB·DH,∴DH=.
11.24　[解析] 如图,在菱形ABCD中,BD=6.

∵菱形的周长为20,BD=6,
∴AB=5,BO=3,
∴AO==4,∴AC=8,
∴面积S=×6×8=24(cm2).
故答案为24.
12.C　[解析] ∵四边形ABCD为菱形,
∴AB∥CD,AB=BC,
∴∠MAO=∠NCO,∠AMO=∠CNO.
在△AMO和△CNO中,

∴△AMO≌△CNO,∴AO=CO.
∵AB=BC,∴BO⊥AC,∴∠BOC=90°.
∵∠DAC=28°,∴∠BCA=∠DAC=28°,
∴∠OBC=90°-28°=62°.故选C.
13.C　[解析] 如图,作点F关于BD的对称点F',则PF=PF',连结EF',
∴EP+FP=EP+F'P.

由两点之间线段最短可知:当E,P,F'在一条直线上时,EP+FP的值最小,此时EP+FP=EP+F'P=EF'.
∵四边形ABCD为菱形,周长为12,
∴AB=BC=CD=DA=3,AB∥CD.
∵AF=2,AE=1,∴DF'=DF=AE=1,
∴四边形AEF'D是平行四边形,
∴EF'=AD=3,∴EP+FP的最小值为3.
故选C.
14.48　[解析] ∵O是菱形两条对角线的交点,菱形ABCD是中心对称图形,
∴S阴影=S菱形ABCD.
∵菱形ABCD的边长是10,菱形一条对角线长为12,
∴菱形的另一对角线长为16,
∴S阴影=S菱形ABCD=××12×16=48.
故答案为48.
15.20　[解析] ∵四边形ABCD是菱形,
∴DO=OB.
∵DE⊥BC于点E,
∴OE为Rt△BED斜边上的中线,
∴OE=BD,
∴OB=OE,
∴∠OBE=∠OEB.
∵∠ABC=140°,
∴∠OBE=70°,
∴∠OEB=70°,
∴∠OED=90°-70°=20°.
故答案为20.
16.10　[解析] ∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=OC=AC=2,OB=OD=BD=8.
∵△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O',点A'与点C重合,
∴O'C=OA=2,O'B'=OB=8,
∠CO'B'=90°,
∴AO'=AC+O'C=6,
∴AB'===10.
17.解:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,AC⊥BD,∴AE∥CD.
∵DE⊥BD,∴DE∥AC,
∴四边形ACDE是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,
∴AO=4,DO=3,∴AD=CD=5.
由(1)知四边形ACDE是平行四边形,
∴AE=CD=5,DE=AC=8,
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.
18.[解析] (1)首先连结AC,由菱形ABCD中,∠B=60°,根据菱形的性质,易得△ABC是等边三角形.又由等腰三角形三线合一,可证得AE⊥BC,继而求得∠FEC=∠CFE,即可得EC=CF,继而证得BE=DF;
(2)首先连结AC,可得△ABC是等边三角形,即可得AB=AC,∠ACF=∠B=60°.然后利用平行线与三角形外角的性质,可求得∠AEB=∠AFC,证得△ABE≌△ACF,即可得AE=AF.由∠EAF=60°可证得△AEF是等边三角形.
证明:(1)连结AC,如图①.
∵在菱形ABCD中,AB=BC=CD=DA,∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形.
又∵E是BC的中点,∴AE⊥BC.
∵∠AEF=60°,
∴∠FEC=90°-∠AEF=30°.
又∵在菱形ABCD中,AB∥CD,
∴∠BCD=180°-∠B=120°,
∴∠CFE=180°-∠FEC-∠BCD=180°-30°-120°=30°,
∴∠FEC=∠CFE,∴EC=CF.
又∵BC=CD,∴BE=DF.

(2)连结AC,如图②.
∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,
∴AB=BC,∠D=∠B=60°,
∠ACB=∠ACF,
∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠ACB=60°,
∴∠B=∠ACF=60°.
∵在菱形ABCD中,AD∥BC,
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD,∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD,
∴∠AEB=∠AFC.
在△ABE和△ACF中,
∵
∴△ABE≌△ACF,∴AE=AF.
又∵∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形.




















































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