5.2.2 菱形的判定同步练习（含答案）

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5.2　菱形
第2课时　菱形的判定　 　　　　　

知识点1　一组邻边相等的平行四边形是菱形
1.如图5-2-15,要使?ABCD成为菱形,则需添加的一个条件是 (　　)

图5-2-15
A.AC=AD B.BA=BC
C.∠ABC=90° D.AC=BD
2.[2019·义乌模拟] 如图5-2-16,AC是平行四边形ABCD的对角线,当满足以下:①∠1=∠2,②∠2=∠3,③∠B=∠3,④∠1=∠3中某一条件时,平行四边形ABCD是菱形,这个条件是 (　　)

图5-2-16
A.①或② B.②或③
C.③或④ D.①或④
3.如图5-2-17,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连结AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是 (　　)

图5-2-17
A.AB=BC B.AC=BC
C.∠B=60° D.∠ACB=60°

4.如图5-2-18,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
求证:四边形OCED是菱形.

图5-2-18



知识点2　四条边相等的四边形是菱形
5.如图5-2-19,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的:分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度的一半的长为半径画弧,所作弧相交于点C,D,则直线CD即为所求.连结AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知四边形ADBC一定是 (　　)

图5-2-19
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.等腰梯形
6.用一把刻度尺来判定一个四边形零件是菱形的方法是　.?
7.若顺次连结四边形ABCD的四条边的中点,得到的新四边形是菱形,则四边形ABCD的对角线需满足　　　　　　　.?
8.如图5-2-20,△ABD为等腰三角形,把它沿底边BD翻折后,得到△CBD.求证:四边形ABCD是菱形.

图5-2-20

知识点3　对角线互相垂直的平行四边形是菱形
9.如图5-2-21,ABCD是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD,请你添加一个适当的条件　　　　,使四边形ABCD成为菱形(只需添加一个即可).?

图5-2-21
10.如图5-2-22,在?ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,且DE=BF,AC⊥EF.求证:四边形AECF是菱形.

图5-2-22





11.[2019·合肥二模] 如图5-2-23,AD是△ABC的中线,O是AC的中点,过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E,连结CE,添加下列条件仍不能判定四边形ADCE是菱形的是 (　　)

图5-2-23
A.AB⊥AC B.AB=AC
C.AC平分∠DAE D.AB2+AC2=BC2
12.如图5-2-24,在△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,CA上,且DE∥CA,DF∥AB.
有下列四种说法:
①四边形AEDF是平行四边形;
②如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形;
③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;
④如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形.
其中正确的有 (　　)

图5-2-24
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.如图5-2-25,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,若要使四边形EFGH成为菱形,则?ABCD应满足的条件是　　　　(写出一种即可).?

图5-2-25
14.[2019·贵州花溪区一模] 如图5-2-26,在?ABCD中,BC=2AB,E,F分别是BC,AD的中点,AE,BF交于点O,连结EF,OC.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若BC=8,∠ABC=60°,求OC的长.


图5-2-26








15.如图5-2-27,将等腰三角形ABC绕顶点B逆时针旋转α度到△A1BC1的位置,AB与A1C1相交于点D,AC与A1C1,BC1分别交于点E,F.
(1)求证:△BCF≌△BA1D;
(2)当∠C=α度时,判断四边形A1BCE的形状,并说明理由.

图5-2-27










详解详析
1.B
2.D　[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠2=∠3.
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴AB=BC,
∴平行四边形ABCD是菱形.
故①或④能判定.
故选D.
3.A　[解析] ∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,∴AB????CD,∴四边形ABCD为平行四边形.当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形.
4.证明:∵DE∥OC,CE∥OD,
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴OC=OD,
∴四边形OCED是菱形.
5.B
6.测量四条边是否相等,若相等则是菱形
7.对角线相等(或AC=BD)
8.证明:∵将△ABD沿底边BD翻折得到△CBD,∴AB=CB,AD=CD.
∵AB=AD,∴AB=CB=CD=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
9.OA=OC(答案不唯一)　[解析] ∵OB=OD,OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AC⊥BD,∴平行四边形ABCD是菱形.
10.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∵DE=BF,∴AE=CF.
∵AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形.
11.B　[解析] ∵AE∥BC,
∴∠OAE=∠OCD,∠OEA=∠ODC.
∵O是AC的中点,
∴OA=OC.
在△OAE和△OCD中,
∴△OAE≌△OCD(AAS),
∴OE=OD,
∴四边形ADCE是平行四边形.
添加AB⊥AC时,
∵AD是△ABC的中线,
∴AD=BC=CD,
∴四边形ADCE是菱形,选项A不符合题意.
添加AC平分∠DAE,
∴∠DAC=∠EAC=∠DCA,
∴AD=CD,
∴四边形ADCE是菱形,选项C不符合题意.
添加AB2+AC2=BC2,可得到AB⊥AC,
同选项A可判定四边形ADCE是菱形,选项D不符合题意.
只有添加选项B不能判定四边形ADCE是菱形.
故选B.
12.D　[解析] ∵DE∥CA,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形,说法①正确.
若∠BAC=90°,
则平行四边形AEDF为矩形,∴说法②正确.
若AD平分∠BAC,
则∠EAD=∠FAD.
又∵DE∥CA,∴∠EDA=∠FAD,
∴∠EAD=∠EDA,∴AE=DE,
∴平行四边形AEDF为菱形,说法③正确.
若AB=AC,AD⊥BC,
∴AD平分∠BAC,
同上可得平行四边形AEDF为菱形,说法④正确.
故选D.
13.答案不唯一,如AB=AD(或AC⊥BD)
[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,
∴EF∥AB,EF=AB,GH∥CD,GH=CD,
∴EF∥GH,EF=GH,
∴四边形EFGH是平行四边形,
∴要使得四边形EFGH是菱形,只要满足EF=EH或EG⊥FH即可,
∴?ABCD应满足的条件是AB=AD或AC⊥BD.
故答案为AB=AD或AC⊥BD.
14.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,BC=AD.
∵E,F分别是BC,AD的中点,
∴BE=BC,AF=AD,
∴BE=AF,
∴四边形ABEF是平行四边形.
∵BC=2AB,∴AB=BE,
∴四边形ABEF是菱形.
(2)如图,过点O作OG⊥BC于点G.

∵E是BC的中点,BC=8,
∴BE=CE=4.
∵四边形ABEF是菱形,∠ABC=60°,
∴∠OBE=30°,∠BOE=90°,
∴OE=2,∠OEB=60°,
∴GE=1,OG=,
∴GC=5,
∴OC=2.
15.解:(1)证明:∵△ABC是等腰三角形,
∴AB=BC,∠A=∠C.
∵将等腰三角形ABC绕顶点B逆时针旋转α度到△A1BC1的位置,
∴A1B=AB=BC,∠A1=∠A=∠C,
∠A1BD=∠CBF.
在△BCF与△BA1D中,
∴△BCF≌△BA1D.
(2)四边形A1BCE是菱形.
理由:∵将等腰三角形ABC绕顶点B逆时针旋转α度到△A1BC1的位置,
∴∠A1=∠A.
∵∠ADE=∠A1DB,
∴∠AED=∠A1BD=∠C=α,
∴∠A1=α,A1E∥BC,
∴∠A1=∠AED,
∴A1B∥AC,
∴四边形A1BCE是平行四边形.
由(1)知A1B=BC,
∴四边形A1BCE是菱形.













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