5.3.1 正方形的判定同步练习（含答案）

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5.3　正方形
第1课时　正方形的判定　 　　　　　

知识点1　有一组邻边相等的矩形是正方形
1.已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是 (　　)
A.∠D=90° B.AB=CD
C.AD=BC D.BC=CD
2.如图5-3-1,将矩形纸片ABCD折叠,使点A落在BC上的F处,折痕为BE.若沿EF剪下,则折叠部分是一个正方形,其数学原理是 (　　)

　图5-3-1
A.邻边相等的矩形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.两个全等的直角三角形构成正方形
D.轴对称图形是正方形
3.如图5-3-2,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:四边形DEAF是正方形.

图5-3-2





知识点2　有一个角是直角的菱形是正方形
4.如图5-3-3,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,添加下列一个条件,能使菱形ABCD成为正方形的是 (　　)

图5-3-3
A.BD=AB B.AC=AD
C.∠ABC=90° D.OD=AC
5.如图5-3-4,平行四边形ABCD的对角线互相垂直,要使四边形ABCD成为正方形,还需添加的一个条件是　　 　　　(只需添加一个即可).?

图5-3-4
6.如图5-3-5,已知△ABC中,AD平分∠BAC,交BC边于点D,DE∥AC,交AB边于点E,DF∥AB,交AC边于点F.
(1)判断四边形AEDF的形状,并说明理由;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AEDF为正方形?

图5-3-5


知识点3　特殊平行四边形的综合
7.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是 (　　)
A.当AB=BC时,它是菱形
B.当AC⊥BD时,它是菱形
C.当∠ABC=90°时,它是矩形
D.当AC=BD时,它是正方形
8.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是 (　　)
A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD
B.AD∥BC,∠BAD=∠BCD
C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
D.AO=CO,BO=DO,AB=BC
9.在?ABCD中,若给出四个条件:①AB=BC;②∠BAD=90°;③AC⊥BD;④AC=BD.现从中任选两个条件作为一个组合,则不能推出四边形ABCD是正方形的是 (　　)
A.①② B.①④ C.②④ D.③④

10.如图5-3-6,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE的长度为 (　　)

图5-3-6
A.2 B.3 C.2 D.2
11.已知四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点分别E,F,G,H,如果四边形ABCD的对角线　　　　　　,那么四边形EFGH是正方形.?
12.已知:如图5-3-7,在平行四边形ABCD中,M,N分别是AD和BC的中点.
(1)求证:四边形AMCN是平行四边形;
(2)若AC=CD,∠ACD=90°,求证:四边形AMCN是正方形.

图5-3-7




13.已知:如图5-3-8,在菱形ABCD中,E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连结CE,CF,OE,OF.
(1)求证:△BCE≌△DCF;
(2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形?请说明理由.

图5-3-8







14.如图5-3-9,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,P,Q分别是AB,AC上的动点,且满足AQ=BP,D是BC的中点.
(1)求证:△PDQ是等腰直角三角形;
(2)当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形?并说明理由.

图5-3-9







详解详析
1.D　[解析] 由∠A=∠B=∠C=90°可判定该四边形为矩形,因此再添加条件:一组邻边相等,即可判定该四边形为正方形,故选D.
2.A
3.证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠AED=90°,∠AFD=90°.
又∵∠BAC=90°,
∴四边形DEAF是矩形.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°.
又∵D是BC的中点,
∴BD=CD,
∴△BDE≌△CDF,
∴DE=DF,
∴矩形DEAF是正方形.
4.C　[解析] 要使菱形成为正方形,只要菱形满足以下条件之一即可,(1)有一个内角是直角,(2)对角线相等.
即∠ABC=90°或AC=BD.
故选C.
5.答案不唯一,如∠ABC=90°
6.解:(1)四边形AEDF是菱形.
理由:∵DE∥AC,DF∥AB,
∴DE∥AF,DF∥AE,
∴四边形AEDF是平行四边形,∠EDA=∠FAD.
又∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠FAD,
∴∠EDA=∠EAD,∴AE=DE,
∴平行四边形AEDF为菱形.
(2)当∠BAC=90°时,四边形AEDF 为正方形.
7.D　[解析] A正确,因为一组邻边相等的平行四边形是菱形;B正确,因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形;C正确,因为有一个角为90°的平行四边形是矩形;D不正确,因为对角线相等的平行四边形是矩形而不一定是正方形.故选D.
8.C　9.C
10.C　[解析] 如图,过点B作BF⊥CD,与DC的延长线交于点F.

则△BCF≌△BAE,四边形BEDF为矩形,BE=BF,
∴矩形BEDF为正方形,S四边形ABCD=S正方形BEDF=8,
∴BE==2.故选C.
11.垂直且相等
12.证明:(1)由已知得AD∥BC,AD=BC.
∵M,N分别是AD和BC的中点,
∴AM=AD,CN=BC,
∴AM=CN.
又∵AM∥CN,
∴四边形AMCN是平行四边形.
(2)∵AC=CD,M是AD的中点,
∴∠AMC=90°.
∵由(1)知四边形AMCN是平行四边形,
∴四边形AMCN是矩形.
∵∠ACD=90°,M是AD的中点,
∴AM=CM,
∴四边形AMCN是正方形.
13.[解析] (1)由菱形的性质得出∠B=∠D,AB=BC=DC=AD,由已知和中点的定义证出AE=BE=DF=AF,由SAS证明△BCE≌△DCF即可;
(2)由三角形中位线定理证出OE=BC,OF=CD,OE∥BC,从而得出AE=OE=OF=AF,证出四边形AEOF是菱形,再证出∠AEO=90°,即可得出四边形AEOF是正方形.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,AB=BC=DC=AD.
∵E,F分别为AB,AD的中点,
∴AE=BE=DF=AF.
在△BCE和△DCF中,
∴△BCE≌△DCF(SAS).
(2)当AB⊥BC时,四边形AEOF是正方形.理由如下:
∵E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,
∴OE=BC,OF=CD,OE∥BC.
又∵AB=BC=DC=AD,
∴AE=OE=OF=AF,
∴四边形AEOF是菱形.
∵AB⊥BC,OE∥BC,
∴OE⊥AB,∴∠AEO=90°,
∴四边形AEOF是正方形.
14.解:(1)证明:连结AD.
∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B=45°.
在△BPD和△AQD中,
∴△BPD≌△AQD(SAS),
∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ.
∵∠BDP+∠ADP=90°,
∴∠ADP+∠ADQ=90°,即∠PDQ=90°,
∴△PDQ为等腰直角三角形.

(2)当点P运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形.理由如下:
∵∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD=DC,
∴△ABD是等腰直角三角形.
当P为AB的中点时,DP⊥AB,AP=BP=DP,
∴∠APD=90°.
又∵∠BAC=90°,∠PDQ=90°,
∴四边形APDQ为矩形.
∵DP=AP,
∴矩形APDQ为正方形.






































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