第五章 特殊平行四边形小结与复习试题（含答案）

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小结　 　　　　　
类型之一　特殊平行四边形的判定与性质
1.已知四边形ABCD是平行四边形,则下列结论中正确的是 (　　)
A.当AB=BC时,?ABCD是正方形
B.当AC⊥BD时,?ABCD是矩形
C.当∠ABC=90°时,?ABCD是矩形
D.当AC=BD时,?ABCD是正方形
2.[2019·上海徐汇区二模] 在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=AD,添加下列条件不能推得四边形ABCD为菱形的是 (　　)
A.AB=CD B.AD∥BC
C.BC=CD D.AB=BC
3.如图5-X-1,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB,CD于点E,F,那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的 (　　)

图5-X-1
A. B. C. D.
4.[2019·孝感一模] 如图5-X-2,点A在∠MON的边ON上,AB⊥OM于点B,AE=OB,DE⊥ON于点E,AD=AO,DC⊥OM于点C.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若DE=3,OE=9,求AB,AD的长.

图5-X-2



5.[2019·湖州] 如图5-X-3,已知在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,连结DF,EF,BF.
(1)求证:四边形BEFD是平行四边形;
(2)若∠AFB=90°,AB=6,求四边形BEFD的周长.

图5-X-3




类型之二　特殊平行四边形的综合运用
6.将矩形纸片ABCD按图5-X-4所示的方式折叠,恰好得到菱形AECF.若AB=3,则图中阴影部分的面积为 (　　)

图5-X-4
A.1 B.2 C.2 D.
7.[2019·绍兴] 如图5-X-5,正方形ABCD的边AB上有一动点E,以EC为边作矩形ECFG,且边FG过点D,在点E从点A移动到点B的过程中,矩形ECFG的面积 (　　)

图5-X-5
A.先变大后变小 B.先变小后变大
C.一直变大 D.保持不变
8.[2018·温州苍南县期末] 如图5-X-6,点B在线段AC上,且BC=2AB,点D,E分别是AB,BC的中点,分别以AB,DE,BC为边,在线段AC同侧作正方形,得到三个平行四边形(阴影部分),其面积分别记做S1,S2,S3. 若S1+S3=15, 则S2=　　　　.?

图5-X-6
9.[2019·宁波] 如图5-X-7,矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD上.
(1)求证:BG=DE;
(2)若E为AD的中点,FH=2,求菱形ABCD的周长.


图5-X-7


10.已知:如图5-X-8,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E在边AD上,点F在边BC上,且AE=CF,作EG∥FH,分别与对角线BD交于点G,H,连结EH,FG.
(1)求证:△BFH≌△DEG;
(2)连结DF,若BF=DF,则四边形EGFH是什么特殊四边形?证明你的结论.

图5-X-8






11.在矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm,AC的垂直平分线EF分别交AD,BC于点E,F,垂足为O.
(1)如图5-X-9①,连结AF,CE.试证明四边形AFCE为菱形,并求AF的长;
(2)如图5-X-9②,动点P,Q分别从点A,C同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周,即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,已知点P的速度为每秒5 cm,点Q的速度为每秒4 cm,运动时间为t s,当以A,P,C,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.

图5-X-9






类型之三　数学活动
12.[2019·绍兴] 把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图5-X-10的四块,其中点O为正方形的中心,E,F分别为AB,AD的中点.用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ(要求这四块纸片不重叠、无缝隙),则四边形MNPQ的周长可能是多少?请画出图形并求解.


图5-X-10





详解详析
1.C　[解析] 当AB=BC时,?ABCD是菱形,故此选项错误;
当AC⊥BD时,?ABCD是菱形,故此选项错误;
当∠ABC=90°时,?ABCD是矩形,故此选项正确;
当AC=BD时,?ABCD是矩形,故此选项错误.
故选C.
2.D　[解析] A选项,若AB=CD,∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=AD,
∴可判定四边形ABCD是菱形;
B选项,当AD∥BC时,∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=AD,
∴可判定四边形ABCD是菱形;
C选项,当BC=CD时,△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠A=∠C.
∵AB∥CD,
∴∠C+∠ABC=180°,
∴∠A+∠ABC=180°,
∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=AD,
∴可判定四边形ABCD是菱形;
D选项只能说明四边形有三条边相等,∴不能判定是菱形.
故选D.
3.B
4.解:(1)证明:∵AB⊥OM于点B,DE⊥ON于点E,
∴∠ABO=∠DEA=90°.
在Rt△ABO和Rt△DEA中,
∴Rt△ABO≌Rt△DEA(HL),
∴∠AOB=∠DAE,
∴AD∥BC.
又∵AB⊥OM,DC⊥OM,
∴AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
(2)由(1)知Rt△ABO≌Rt△DEA,
∴AB=DE=3.
设AD=x,则OA=x,AE=OE-OA=9-x.
在Rt△DEA中,由AE2+DE2=AD2得(9-x)2+32=x2,
解得x=5,
∴AD=5, 即AB,AD的长分别为3和5.
5.解:(1)证明:∵D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,
∴DF∥BC,FE∥AB,
∴四边形BEFD是平行四边形.
(2)∵∠AFB=90°,D是AB的中点,AB=6,
∴DF=DB=DA=AB=3,
∴四边形BEFD是菱形,
∴四边形BEFD的周长为12.
6.D　[解析] 设BE=x,则AE=CE=3-x.
∵四边形AECF是菱形,
∴∠FCO=∠ECO.
∵∠ECO=∠ECB,∠DCB=90°,
∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°,
∴2BE=CE,
∴CE=2x,
∴2x=3-x,
解得x=1,
∴CE=2.
∵BC2+BE2=CE2,
∴BC===.
又∵AE=AB-BE=3-1=2,
∴S菱形AECF=AE·BC=2,
故S阴影=S菱形AECF=.
7.D　[解析] 如图,连结DE,

∵S△CDE=S四边形CEGF,
S△CDE=S正方形ABCD,
∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等.
故选D.
8.6　[解析] 设DB=x,则S1=x2,S2=x×2x=2x2,S3=2x×2x=4x2,
由题意得,S1+S3=15,即x2+4x2=15,解得x2=3,所以S2=2x2=6.
9.解:(1)证明:∵四边形EFGH是矩形,
∴EH=FG,EH∥FG,
∴∠GFH=∠EHF.
∵∠BFG=180°-∠GFH,
∠DHE=180°-∠EHF,
∴∠BFG=∠DHE.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,
∴∠GBF=∠EDH,
∴△BGF≌△DEH(AAS),
∴BG=DE.
(2)连结EG,如图.

∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∵E为AD的中点,
∴AE=ED.
∵BG=DE,∴AE=BG.
又∵AE∥BG,
∴四边形ABGE是平行四边形,
∴AB=EG.
∵EG=FH=2,
∴AB=2,
∴菱形ABCD的周长=2×4=8.
10.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴∠FBH=∠EDG.
∵AE=CF,∴BF=DE.
∵EG∥FH,∴∠OHF=∠OGE,
∴∠BHF=∠DGE.
在△BFH和△DEG中,
∴△BFH≌△DEG(AAS).
(2)四边形EGFH是菱形.
证明:由(1)知△BFH≌△DEG,
∴FH=EG.
又∵EG∥FH,
∴四边形EGFH是平行四边形.
∵矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,
∴OB=OD.
又∵BF=DF,∴EF⊥BD,即EF⊥GH,
∴四边形EGFH是菱形.
11.[解析] (1)先证明四边形AFCE为平行四边形,再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形做出判定;根据勾股定理即可求得AF的长.
(2)分情况讨论可知,当点P在BF上,点Q在ED上时,才能构成平行四边形,根据平行四边形的性质列出方程求解即可.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE.
∵EF垂直平分AC,垂足为O,
∴OA=OC,∴△AOE≌△COF,
∴OE=OF,∴四边形AFCE为平行四边形.
又∵EF⊥AC,∴四边形AFCE为菱形.
设菱形AFCE的边长AF=CF=x cm,
则BF=(8-x)cm.
在Rt△ABF中,AB=4 cm,
由勾股定理得42+(8-x)2=x2,
解得x=5,∴AF=5 cm.
(2)显然当点P在AF上,点Q在CD上时,此时A,P,C,Q四点不能构成平行四边形.
同理点P在AB上,点Q在DE或CE上时,A,P,C,Q四点也不能构成平行四边形.
因此只有当点P在BF上,点Q在DE上时,A,P,C,Q四点才能构成平行四边形,如图,
∴以A,P,C,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA.

∵点P的速度为每秒5 cm,点Q的速度为每秒4 cm,运动时间为t s,
∴PC=5t,QA=12-4t,∴5t=12-4t,
解得t=,
∴以A,P,C,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=.
12.解:答案不唯一,如图所示:

图1的周长为1+2+3+2=6+2;
图2的周长为1+4+1+4=10;
图3的周长为3+5++=8+2.
故四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2.

































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