第二章 一元二次方程经典考题33题（含答案）

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浙教八下《一元二次方程》经典习题32题（中等难度以上）
（用于提高训练，不含韦达定理含答案）
客观题部分
1.将方程化成“”的形式，当a=2时，则b，c的值分别为（　　）
A．b=﹣1，c=﹣3 B．b=﹣5，c=﹣3 C．b=﹣1，c=﹣4 D．b=5，c=﹣4
2.若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值是（　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．±2
3.m是方程的根，则式子的值为（　　）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
4.若一元二次方程无实数根，则k的最小整数值是(?? )
A．﹣1? B．0??? C．1??? D．2
5.关于x的方程有根只有整数根的一切有理数r的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
6.已知一元二次方程中，下列说法：
①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；
②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；
③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（　　）
①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
7.若方程的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（　　）
A．a是19的算术平方根??????????????????B．b是19的平方根
C．a﹣5是19的算术平方根???????????????D．b+5是19的平方根
8.若0＜m＜2，则关于x的一元二次方程根的情况是（　）
A．无实数根? B．有两个正根
C．有两个根，且都大于﹣3m D．有两个根，其中一根大于﹣m
9.已知方程的较小根为a，下面对α的估算正确的是（　　）
A．﹣5＜α＜﹣4????B．﹣4＜α＜﹣3??????C．﹣3＜α＜﹣2????D．﹣1＜α＜0
10.对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（　）
A．?? B．C．或? D．或﹣1
11.定义：如果一元二次方程满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“至和”方程；如果一元二次方程满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“至美”方程，如果一个一元二次方程既是“至和”方程又是“至美”方程我们称之为“和美方程”．对于“和美方程”，下列结论正确的是（　）
A．方程两根之和等于0????? B．方程有一根等于0
C．方程有两个相等的实数根???? D．方程两根之积等于0
12.若关于x、y的方程组有实数解，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞4 B．k＜4? C．k≤4 D．k≥4
13.下列给出的四个命题：
①若,则；②若，则；
③；④若方程的两个实数根中有且只有一个根为0，那么.其中是真命题是(??　　　)
A．①②???? B．②③???????? C．②④???????? ??? D．③④
14.如果一直角三角形的三边长为a,b,c,∠B=90°,那么关于x的方
的根情况是(???)
?? A.有两个相等的实数根? ??B.?有两个不相等的实数根? ??C.没有实数根? ?D.?无法确定
15.如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用表示小矩形的两边长，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（　）
A.???????????????? B.???? C.????????????? D.

16.(1)若一元二次方程有一根为，则a+b=　 ．
(2)已知等腰三角形的两边长恰好是方程的解，则此等腰三角形的三边长是　 ．
17.在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的有　　名同学．
18.若，则代数式a2+b2的值为　　
19.设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程有两个不相等的实数根x1，x2，令，则T的取值范围是 　 ．
20.一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两根分别是一次函数在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是　　．
21.对于每个非零自然数n，一元二次方程的两个根在数轴上对应的点分别为An，Bn，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2020B2020的值是　　．
22.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是　 　．（写出所有正确说法的序号）
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；
③若点（p，q）满足，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程．
23.如图是我市将要开发的一块长方形的土地，长为xkm，宽为3km，建筑开发商将这块土地分为甲、乙、丙三部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区，丙地开辟成小区公园，若已知丙地的面积为2km2，则x的值为??????????.

24.商店为尽快清空往季商品，采取如下销售方案：将原来商品每件m元，加价50%，
??再做降价40%．经过调整后的实际价格为__________元（结果用含m的代数式表示）
关于x的方程的解是x1=2，x2=-1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程解是______?__???
二、解答题部分
26.已知关于x的方程．小聪认为，无论a为何实数，这个方程都是一元二次方程；而小明认为，方程的类型要取决于字母a的取值．你认为谁的判断是正确的，并简述理由．


27.已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根x1和x2，.
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.






28.使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0可得x=1，我们说1是函数y=x﹣1的零点．已知函数（m为常数）
（1）当m=0时，求该函数的零点．
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点．

29.如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，已知AE=c，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）试判断方程是不是“勾系一元二次方程”；
（2）求关于x的“勾系一元二次方程的实数根．











30.若a，b为实数，且，
（1）求的值；
（2）若的值是关于的一元二次方程的一个根；求k及另
一个根.


31.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有一根为0时，直线y=x+2与关于x的二次函数的图象交于A、B两点．若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；
（3）若直线与函数|的图象恰好有三个公共点，求b的值．




32.阅读下列材料：求函数的最大值．
解：将原函数转化成关于x的一元二次方程，得（y﹣2）x2+（y﹣3）x+0.25y=0当y≠2时，∵x为实数，∴△=（y﹣3）2﹣4?（y﹣2）?0.25y=﹣4y+9≥0．
∴y≤且y≠2；
当y=2时，（y﹣2）x2+（y﹣3）x+0.25y=0即为﹣x+0.5=0，方程有解（x的值存在）；
∴y≤．因此，y的最大值为．
根据材料给你的启示，求函数的最小值．

33.已知：关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若y是关于a的函数，且，求这个函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使，则自变量a的取值范围为　　　　　　．






答案：
选择题：
1~5：CBCDB
6~10：CCABD
11~15：ACCAC
填空题：
16.(1)2020(2)3，6，6
17.11
18.3
19.且
20.6
21.
22.②③
23.4或5
24.0.9m
25.
三、解答题
26.解：小聪正确．
∵a2﹣4a+5=（a2﹣4a+4）+1=（a﹣2）2+1，
又∵（a﹣2）2≥0
∴（a﹣2）2+1＞0
即该方程的二次项系数不为0
∴无论a为何实数，这个方程都是一元二次方程．
27.（1）∴，又∵，∴，∴且
（2）不存在，理由略
28.解：当m=0时，令y=0，则x2﹣6=0，
解得x=±，
所以，m=0时，该函数的零点为±；
（2）证明：令y=0，则x2﹣2mx﹣2（m+3）=0，
△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4×1×2（m+3），
=4m2+8m+24，
=4（m+1）2+20，
∵无论m为何值时，4（m+1）2≥0，
∴△=4（m+1）2+20＞0，
∴关于x的方程总有不相等的两个实数根，
即，无论m取何值，该函数总有两个零点．?
29.（1）∵，
∴c=，
∵（）2+（）2=（）2，
∴x2+x+=0是“勾系一元二次方程”；
（2）ax2+cx+b=0
，x2=
30.（1）依题意得：解得：
又∵即∴
∴
（2）把代入方程得：

解得：
设另一个根为,则：
∴另一个跟为
31.（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=4﹣4×＞0，解得k＜3，
∵k为正整数，
∴k为1或2；
（2）把x=0代入方程x2+2x+=0，解得k=1，
此函数为y=x2+2x，
联立，解得或，
∴A（﹣2，0），B（1，3），
由题意可设M（m，m+2），其中﹣2＜m＜1，
则N（m，m2+2m），
∴MN=|m+2﹣（m2+2m）|=﹣m2﹣m+2=，
∴当m=时，MN的长度最大值为，
此时点M的坐标为；
（3）①当过点A时，直线与函数图象有3个公共点
32.解：将原函数转化成关于x的一元二次方程，得（y﹣3）x2+（2y+2）x+y﹣1=0，
当y≠3时，∵x为实数，
∴△=（2y+2）2﹣4?（y﹣3）?（y﹣1）=24y﹣8≥0．
∴y≥且y≠3；
当y=3时，（y﹣3）x2+（2y+2）x+y﹣1=0即为8x+2=0，方程有解（x的值存在）；
∴y≥．因此，y的最小值为．

33.1）证明：∵△=[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣2）=4．
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：x=
∵a＞0，x1＞x2，
∴x1=1，，
∴y=ax2+x1=a﹣1，
即这个函数的表达式为y=a﹣1（a＞0）；
（3）解：如图，
解方程组得或，
即抛物线y=﹣3a2+1与直线y=a﹣1的两个交点坐标为（﹣1，﹣2）、，
当y≤﹣3a2+1时，0＜a≤．
故答案为0＜a≤．










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