(共37张PPT)
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第1课时
1.经历画二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象的过程,进一步熟悉类比的方法和数形结合的思想.(重点)
2.通过观察二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象,掌握二次函数y=ax2的图象与二次函数y=ax2+k的图象的平移过程.(重点、难点)
3.掌握二次函数y=ax2+k的性质.(重点)
在直角坐标系中,画二次函数y=-x2与y=-x2+2的图象.
解:列表.
-4
-1
-1
-4
-2
1
2
1
-2
x … -2 -1 0 1 2 …
y=-x2 … ___ ___ 0 ___ ___ …
y=-x2+2 … ___ __ __ __ ___ …
在直角坐标系中描点,然后分别用光滑的_____顺次连结两个函
数的各点,得到函数y=-x2与y=-x2+2的图象,如图所示.
曲线
【思考】(1)观察函数y=-x2与y=-x2+2的图象,它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为什么?
提示:这两个函数的图象的开口方向都向下,对称轴都是y轴;函数y=-x2的图象的顶点坐标为(0,0),y=-x2+2的图象的顶点坐标为(0,2).
(2)当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系?
提示:函数y=-x2的函数值比y=-x2+2的函数值小2.
(3)当自变量x取同一数值时,反映在这两个函数图象上相应的两个点之间的位置有什么关系?这两个函数图象有什么关系?
提示:函数y=-x2的图象上的点在y=-x2+2的图象上的点的下方2个单位长度处.函数y=-x2+2的图象可以看作是函数y=-x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到的,或函数y=-x2的图象可以看作是函数y=-x2+2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到的.
(4)函数y=-x2的图象在y轴的左边和右边各自有什么特点?函数y=-x2+2的图象在y轴的左边和右边各自有什么特点?
提示:函数y=-x2,在y轴的左边,函数的y值随x的增大而增大,在y轴的右边,函数的y值随x的增大而减小;函数y=-x2+2,在y轴的左边,函数的y值随x的增大而增大,在y轴的右边,函数的y值随x的增大而减小.
【总结】二次函数y=ax2+k(k>0)的性质:
向上
向下
(0,k)
(0,k)
y
y
增大
减小
减小
增大
0
k
0
k
函数 a>0 a<0
图象
开口方向 _____ _____
顶点坐标 ______ ______
对称轴 __轴(x=0) __轴(x=0)
函数变化 当x>0时,y随x的增大而_____;当x<0时,y随x的增大而_____ 当x>0时,y随x的增大而_____;当x<0时,y随x的增大而_____
最值 当x=__时,y最小值=__ 当x=__时,y最大值=__
(打“√”或“×”)
(1)二次函数y=6x2+2的图象与y=6x2的图象形状相同,位置不
同.( )
(2)y=-9x2-2开口向下,顶点坐标是(0,0).( )
(3)函数y=3x2的图象与y=-3x2-3的图象的对称轴都是y轴,形状
相同,但开口方向不同.( )
√
×
√
(4)二次函数y=x2+1的图象沿对称轴向上平移3个单位长度可以
得到函数y=x2+4的图象.( )
(5)若点(3,a),(5,b)是二次函数y=-8x2+10图象上的两点,则
a
√
×
知识点 1 二次函数y=ax2+k的图象与性质
【例1】已知下列函数:
y=x2;y=x2+2;y=-x2;y=x2-2.
(1)指出以上二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值.
(2)函数y=x2分别与y=x2+2,y=x2-2的图象有怎样的联系?
【思路点拨】(1)根据二次函数y=ax2+k的性质得出函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值.
(2)由二次函数y=ax2的图象与y=ax2+k的图象的关系可以得出函数y=x2分别与y=x2+2,y=x2-2的图象的联系.
【自主解答】(1)y=x2,开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),有最小值,最小值为0.
y=x2+2开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,2),有最小值,最小值为2.
y=-x2开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),有最大值,最大值为0.
y=x2-2开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,-2),有最小值,最小值为-2.
(2)函数y=x2,y=x2+2,y=x2-2的图象形状都相同,开口方向一致.
函数y=x2的图象沿对称轴向上平移2个单位长度可以得到函数y=x2+2的图象;函数y=x2的图象沿对称轴向下平移2个单位长度可以得到函数y=x2-2的图象.
【总结提升】函数y=ax2+k的性质口诀
a大于0,口向上,y轴左减右是增,x为0,k最小;
a小于0,口向下,y轴左增右是减,x为0,k最大.
知识点 2 二次函数y=ax2+k的性质的应用
【例2】如图,小河上有一拱桥,
拱桥及河道的截面轮廓线由抛物
线的一部分ACB和矩形的三边AE,
ED,DB组成,已知河底ED是水平的,
ED=16m,AE=8m,抛物线的顶点C到ED的距离是11m,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
（1）求抛物线的函数关系式.
（2）已知从某时刻开始的40 h内，水面与河底ED的距
离h(单位：m)随时间t(单位：h)的变化满足函数关系
(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距
离不大于5 m时，需禁止船只通行.请通过计算说明：在
这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
【思路点拨】（1）设出函数关系式，确定点B的坐标，并将点B的坐标代入，求出二次函数关系式.
(2)求出水面与河底的最小距离，代入函数关系式，求出时间t.
【自主解答】（1）设抛物线所对应的函数关系式为y=ax2+11,
由题意得B（8，8），
∴64a+11=8,解得
∴
(2)水面到顶点C的距离不大于5 m时，即水面与河底ED的距离h
至少为6 m，
解得t1=35,t2=3,
∴需要35-3=32(h)禁止船只通行.
答：需32小时禁止船只通行.
【总结提升】利用y=ax2+k(a≠0)的图象及性质解决生活中实际问题的步骤
1.首先建立适当的坐标系.
2.根据图象上的点确定函数关系式.
3.利用抛物线的特点与性质解决具体问题.
题组一：二次函数y=ax2+k的图象与性质
1.抛物线y=-2x2+1的对称轴是( )
A.直线 B.直线
C.y轴 D.直线x=2
【解析】选C.根据二次函数y=ax2+k的性质可知y=-2x2+1的
对称轴是y轴.
2.（2013·德州中考）下列函数中，当x>0时，y随x的增大而
增大的是( )
A．y=-x+1 B．y=x2-1
C． D．y=-x2+1
【解析】选B.对于A，因为k=-1＜0，所以y随x的增大而减小，
错误；对于C，因为k=1＞0，所以反比例函数 在x＞0时
y随x的增大而减小，错误；对于D，因为a=-1＜0，所以当x>0
时，y随x的增大而减小，错误.
【变式备选】已知拋物线 当1≤x≤5时，y的最大
值是( )
【解析】选C.∵抛物线 的二次项系数
∴该抛物线图象的开口向下.
又∵抛物线 的对称轴是y轴，
∴当1≤x≤5时，抛物线 的y值是随x的增大而减小
的，
∴当x=1时，
3.下列说法正确的是( )
A.函数y=ax2（a≠0）的图象过原点，是关于x轴对称的抛物线
B.若y与x2+1成正比例，则y是x的二次函数
C.函数y=ax2(a＞0)，无论x为何值时，y的值都是正数
D.|a|越大，抛物线y=ax2-1(a≠0)的开口越大
【解析】选B.A,函数y=ax2的图象过原点，是关于y轴对称的抛物线，错误;
B,若y与x2+1成正比例，则y=k(x2+1),即y是x的二次函数，正确;
C,函数y=ax2(a＞0),当x=0时，y=0，错误;
D,|a|越大，抛物线y=ax2-1的开口越小，错误.
4.（2013·湛江中考）抛物线y=x2+1的最小值是______．
【解析】∵x2≥0,∴x2+1≥1,即y≥1，
∴y的最小值为1.
答案：1
题组二：二次函数y=ax2+k的性质的应用
1.如图，隧道的截面是抛物
线，可以用 表示，
该隧道内设双行道，限高为
3 m，那么每条行道宽( )
A．不大于4 m B．恰好4 m
C．不小于4 m D．大于4 m，小于8 m
【解析】选A．把y=3代入 中得
x=4，x=-4（舍去）．
∴每条行道宽应不大于4 m．
2.小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线 的
一部分(如图),若命中篮圈中心,则他与篮底的距离l是( )
A.3.5 m B.4 m
C.4.5 m D.4.6 m
【解析】选B.如图,把C点纵坐标y=3.05代入 中得
x=±1.5(舍去负值),即OB=1.5 m,
所以l=AB=2.5+1.5=4(m).
3.从一幢高125m的大楼上掉下一个苹果,不考虑空气阻力,苹
果离地面的高度h(m)与时间t(s)大致有如下关系:h=125-5t2,
________s后苹果落到地面.
【解析】把h=0代入函数关系式h=125-5t2,
得125-5t2=0,
解得t1=5,t2=-5(不合题意,舍去);
所以5s后苹果落到地面.
答案:5
4.如图,某大学校门是一抛物线
形水泥建筑物,大门的地面宽度
为8m,两侧距地面4m高处各挂一
个牌匾,且两牌匾顶部的水平距
离为6m,则该大学校门的最高点距地面多少m?(精确到0.1,建筑
厚度不计)
【解析】以校门所在地面线段的
中点为原点建立平面直角坐标系,
如图,设抛物线所对应的函数关系
式为y=ax2+k（a≠0），由题意可
知抛物线与x轴的两个交点坐标为(-4,0)，(4,0)，且经过点
（3，4），由此三点可得抛物线的关系式为
当x=0时， 故该大学校门的最高点距地面约9.1 m.
【想一想错在哪？】已知拋物线y=9x2+2,当5≤x≤6时,y的
最小值是________.
提示:没有考虑题意中x的取值范围,直接根据函数y=ax2+k的
性质解题,导致出现错误.
(共21张PPT)
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第2课时
1.经历画二次函数y=ax2和y=a(x-h)2的图象的过程,总结并掌
握二次函数y=a(x-h)2的性质.(重点)
2.通过观察二次函数y=ax2和y=a(x-h)2的图象,掌握二次函数
y=ax2的图象与二次函数y=a(x-h)2的图象的平移关系.(重点、
难点)
在同一直角坐标系中画出函数y=x2和y=(x-1)2的图象.
列表:
x -2 -1 0 1 2 3
y=x2 4 1 0 1 4
y=(x-1)2 4 1 0 1 4
在直角坐标系中描点,然后分别用光滑的_____顺次连结两个函
数的各点,得到函数y=x2与y=(x-1)2的图象,如图所示.
曲线
【思考】(1)通过观察函数y=x2与y=(x-1)2的图象的形状、开口方向、对称轴、顶点坐标相同吗?
提示:形状和开口方向相同,对称轴和顶点坐标不同,y=x2的对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),y=(x-1)2的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,0).
(2)通过观察图象可以看出y=(x-1)2的图象如何由y=x2的图象得到?
提示:将y=x2的图象向右平移一个单位得到y=(x-1)2的图象.
【总结】(1)二次函数y=a(x-h)2的性质:
向上
向下
直线x=h
直线x=h
(h,0)
(h,0)
当x=h时,y最小=0
当x=h时,y最大=0
增大
减小
增大
减小
函数 a>0 a<0
开口方向 _____ _____
对称轴 ________ ________
顶点坐标 ______ ______
最值 ______________ ______________
函数变化 当x>h时,y随x的增大而_____,当xh时,y随x的增大而
_____,
当x_____
(2)y=a(x-h)2（a≠0）的图象与y=ax2（a≠0）的图象的关系:
右
h
左
h
(打“√”或“×”)
(1)二次函数y=6(x+2)2的顶点坐标为(6,2).( )
(2)函数y=-3(x+2)2的对称轴为x=2.( )
(3)在函数y=-2(x-3)2中,当x>3时,y随x的增大而减小.( )
(4)二次函数y=-9x2的图象沿x轴向左平移3个单位长度可以得
到函数y=-9(x+3)2的图象.( )
(5)若点(3,a),(5,b)是二次函数y=8(x-2)2图象上的两点,则
a×
×
√
√
√
知识点 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
【例】已知函数y=6(x+4)2,
(1)直接写出它的顶点坐标及对称轴.
(2)直接写出向右平移3个单位后的关系式、顶点坐标及对称轴.
(3)在(2)的基础上,平移后当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取何值时,y随x的增大而减小?
【思路点拨】(1)根据二次函数y=a(x-h)2的图象与性质写出函数y=6(x+4)2的顶点坐标和对称轴.
(2)根据二次函数y=ax2的图象与二次函数y=a(x-h)2的图象的平移关系,直接求出函数y=6(x+4)2向右平移3个单位后的关系式,从而再根据二次函数y=a(x-h)2的图象与性质写出其顶点坐标和对称轴.
(3)根据二次函数y=a(x-h)2的图象与性质得出x与y的变化关系的取值范围.
【自主解答】(1)函数y=6(x+4)2的顶点坐标为(-4,0),对称轴是直线x=-4.
(2)函数y=6(x+4)2向右平移3个单位后的函数关系式为y=6(x+1)2,顶点坐标为(-1,0),对称轴是直线x=-1.
(3)因为函数y=6(x+1)2的图象开口向上,所以当x>-1时,y随x的增大而增大;当x<-1时,y随x的增大而减小.
【总结提升】函数y=a(x-h)2(a≠0)图象的左右平移规律
函数y=a(x-h)2图象的左、右平移中a是不变的,向左平移m(m>0)个单位则为y=a(x-h+m)2,向右平移m(m>0)个单位则为y=a(x-h-m)2,简记为“左加右减”.
题组:二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
1.抛物线y=3(x-2)2的顶点坐标是( )
A.(2,0) B.(-2,0) C.(0,2) D.(0,-2)
【解析】选A.形如y=a(x-h)2(a≠0)的抛物线的顶点坐标为
(h,0),所以抛物线y=3(x-2)2的顶点坐标为(2,0).
2.将抛物线y=-x2向左平移2个单位后,得到的抛物线的关系式
是( )
A.y=-(x+2)2 B.y=-x2+2
C.y=-(x-2)2 D.y=-x2-2
【解析】选A.由抛物线y=ax2(a≠0)的平移规律,将y=-x2向左
平移2个单位变为y=-(x+2)2.
【变式备选】在平面直角坐标系中,函数y=-3x2的图象不动,将
y轴向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的顶点坐标是
________,对称轴是________.
【解析】函数y=-3x2的图象不动,将y轴向右平移2个单位,相当
于把函数y=-3x2的图象沿x轴向左平移2个单位,
所以可得新抛物线的函数关系式为y=-3(x+2)2,
所以新抛物线的顶点坐标为(-2,0),对称轴是x=-2.
答案:(-2,0) x=-2
3.函数y=-3(x+1)2,当x________时,函数值y随x的增大而减小;
当x________时,函数有最________值,它是________.
【解析】∵-3<0,∴抛物线开口向下.
其对称轴为直线x=-1,即当x>-1时,y随x的增大而减小;因为抛
物线开口向下,所以当x=-1时,函数有最大值,最大值是0.
答案:>-1 =-1 大 0
4.将抛物线y=2(x-1)2向左平移1个单位后所得到的新抛物线的关系式为________.
【解析】根据二次函数左加右减、上加下减的平移规律,抛物线y=2(x-1)2的图象向左平移1个单位,得y=2(x-1+1)2=2x2的图象.
答案:y=2x2
5.已知二次函数y=2x2-12x+18.
(1)求该函数图象的开口方向、对称轴以及图象与坐标轴的交点坐标.
(2)当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取何值时,y随x的增大而减小?并求出函数的最大值或最小值.
【解析】(1)∵y=2x2-12x+18
=2(x2-6x+9)=2(x-3)2.
∴开口向上,对称轴是直线x=3,顶点为(3,0),
当x=0时,y=2(x-3)2=2(0-3)2=18,
当y=0时,0=2(x-3)2,解得x=3,
∴二次函数y=2x2-12x+18与x轴的交点为(3,0),与y轴的交点为(0,18).
(2)当x>3时,y随x的增大而增大;
当x<3时,y随x的增大而减小;
当x=3时,有最小值为0.
【想一想错在哪？】二次函数y=x2的图象向右平移3个单位,得
到新的图象的函数关系式是( )
A.y=x2+3 B.y=x2-3
C.y=(x+3)2 D.y=(x-3)2
提示:抛物线平移的规律是:左加右减.错误理解为左减右加.
(共36张PPT)
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第3课时
1.经历画二次函数y=ax2和y=a(x-h)2+k的图象的过程,归纳并掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质.(重点)
2.通过观察二次函数y=ax2和y=a(x-h)2+k的图象,理解并掌握二次函数y=ax2的图象与二次函数y=a(x-h)2+k的图象的平移关系.(重点、难点)
在同一直角坐标系中画出函数y=x2,y=(x-1)2和y=(x-1)2+1的图
象.
列表:
1
4
1
1
4
2
2
5
x -2 -1 0 1 2 3
y=x2 4 __ 0 1 __
y=(x-1)2 4 __ 0 __ __
y=(x-1)2+1 5 __ 1 __ __
在直角坐标系中描点,然后分别用光滑的_____顺次连结三个函
数的各点,得到函数y=x2,y=(x-1)2和y=(x-1)2+1的图象,如图所
示.
曲线
【思考】(1)观察函数y=x2与y=(x-1)2+1的图象,其形状、开口
方向、对称轴、顶点坐标相同吗?
提示:形状和开口方向相同,对称轴和顶点坐标不同,y=x2的对
称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),y=(x-1)2+1的对称轴为x=1,顶点
坐标为(1,1).
(2)通过观察图象可以看出y=(x-1)2+1的图象如何由y=x2的图象
得到?
提示:将y=x2的图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位得
到y=(x-1)2+1的图象.
【总结】(1)二次函数y=a(x-h)2+k的性质:
向上
向下
直线x=h
直线x=h
(h,k)
(h,k)
当x=h时,y最小=k
当x=h时,y最大=k
增大
减小
减小
增大
函数 a>0 a<0
开口方向 _____ _____
对称轴 ________ ________
顶点坐标 ______ ______
最值 ______________ ______________
函数变化 当x>h时,y随x的增大而_____,当xh时,y随x的增大而_____,当x(2)二次函数的平移规律:
上
下
|h|
右
左
|k|
|k|
上
下
|k|
|k|
右
左
|h|
|h|
|h|
（打“√”或“×”）
(1)函数y=-3（x+5）2+2的顶点坐标为（5,2）.（ ）
（2）函数 的对称轴为x=3.（ ）
（3）在函数y=-2（x-4）2-9中，当x<4时，y随x的增大而减
小.（ ）
（4）二次函数y=-7（x+3）2的图象沿x轴向左平移3个单位,
再向上平移2个单位，可以得到函数y=-7（x+6）2+2的图
象.（ ）
×
×
×
√
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的平移关系
【例1】如图,抛物线y1=-x2+2
向右平移1个单位得到抛物线y2,
回答下列问题:
(1)求抛物线y2的顶点坐标.
(2)求阴影部分的面积S.
(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3,求抛物线
y3的函数关系式.
【思路点拨】(1)根据二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2+k的平移关系,易得到抛物线y2的函数关系式,从而求出抛物线y2的顶点坐标.
(2)把阴影部分进行平移,可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积.
(3)设抛物线y3的函数关系式为y3=a(x-h)2+k,由题意可知y2与y3成中心对称,可得a=1,y3的顶点坐标为(-1,-2),所以得出
h=-1,k=-2,从而得出抛物线y3的函数关系式.
【自主解答】(1)因为抛物线y1=-x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2,所以抛物线y2的函数关系式为y2=-(x-1)2+2.所以抛物线y2的顶点坐标为(1,2).
(2)把阴影部分进行平移,可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积,所以阴影部分的面积S=1×2=2.
(3)设抛物线y3的函数关系式为y3=a(x-h)2+k.
因为y2与y3成中心对称,抛物线y2的顶点坐标为(1,2),
所以a=1,y3的顶点坐标为(-1,-2),
所以h=-1,k=-2,所以抛物线y3的函数关系式y3=(x+1)2-2.
【总结提升】函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象平
移的规律
可简记为:左加右减,上加下减.具体如下表:
移动方向 平移前的关系式 平移后的关系式 简记
向左平移m(m>0)个单位 y=a(x-h)2+k
(a≠0) y=a(x-h+m)2+k
(a≠0) 左加
向右平移m(m>0)个单位 y=a(x-h)2+k
(a≠0) y=a(x-h-m)2+k
(a≠0) 右减
向上平移n(n>0)个单位 y=a(x-h)2+k
(a≠0) y=a(x-h)2+k+n
(a≠0) 上加
向下平移n(n>0)个单位 y=a(x-h)2+k
(a≠0) y=a(x-h)2+k-n
(a≠0) 下减
知识点 2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
【例2】已知函数y= (x+6)2-8.
(1)指出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2)画出其图象.
(3)根据图象说明该函数具有哪些性质.
【思路点拨】(1)根据y=a(x-h)2+k的性质确定函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2)根据函数图象的画法:列表、描点、连线解题.
(3)观察图象确定函数的增减性以及最值.
【自主解答】(1) 中,
所以开口向上,对称轴为x=-6,顶点坐标为(-6,-8).
(2)画函数图象的步骤有:列表、描点、连线.
①列表.
x … -8 -7 -6 -5 -4 …
y … -6 -8 -6 …
②描点.
③连线(如图所示).
(3)观察图象可以得出,当x<-6时,函数值y随x的增大而减小;
当x>-6时,函数值y随x的增大而增大.
从图象中能看出函数有最小值.当x=-6时,y最小值=-8.
【总结提升】函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的性质比较
函数 y=ax2(a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0)
开口
方向 当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下
对称轴 y轴(直线x=0) 直线x=h
顶点
坐标 (0,0) (h,k)
增减性 当a>0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;当a<0时,相反
最值 a>0,当x=0时,y最小=0;
a<0,当x=0时,y最大=0 a>0,当x=h时,y最小=k;a<0,当x=h时,y最大=k
题组一:二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的平移关系
1.(2013·毕节中考)将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度所得的图象关系式为( )
A.y=(x-1)2+3 B.y=(x+1)2+3
C.y=(x-1)2-3 D.y=(x+1)2-3
【解析】选A.将抛物线y=x2向右平移1个单位所得抛物线的关系式为y=(x-1)2;再向上平移3个单位所得抛物线的关系式为y=(x-1)2+3.
【变式备选】在平面直角坐标系中,如果抛物线y=3x2不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位,那么在新坐标系中此抛物线的函数关系式是( )
A.y=3(x-3)2+3 B.y=3(x-3)2-3
C.y=3(x+3)2+3 D.y=3(x+3)2-3
【解析】选D.原抛物线的顶点坐标为(0,0),
因为把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位,
所以新抛物线的顶点坐标为(-3,-3),
设新抛物线为y=3(x-h)2+k,
所以新坐标系中此抛物线的函数关系式是y=3(x+3)2-3.
2.将二次函数y=(x-2)2+3的图象向右平移2个单位,再向下平
移2个单位,所得二次函数的函数关系式为________.
【解析】因为y=(x-2)2+3的顶点坐标为(2,3),
所以把点(2,3)向右平移2个单位,再向下平移2个单位得到
(4,1);
而平移的过程中,抛物线的形状没改变,
所以所得的新抛物线的函数关系式为y=(x-4)2+1.
答案:y=(x-4)2+1
3.将抛物线y=ax2(a≠0)向右平移2个单位,再向上平移3个单位,
移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式
为________.
【解析】原抛物线的顶点为(0,0),向右平移2个单位,再向上平
移3个单位,那么新抛物线的顶点为(2,3),所以可设新抛物线的
关系式为y=a(x-2)2+3,把(3,-1)代入得a=-4,所以y=-4(x-2)2
+3.
答案:y=-4(x-2)2+3
4.若二次函数y=-x2的图象平移后得到二次函数y=-(x-2)2+4的
图象.
(1)平移的规律是:先向_____(填“左”或“右”)平移______
个单位,再向______(填“上”或“下”)平移______个单位.
(2)在所给的坐标系内画出二次函数y=-(x-2)2+4的示意图.
【解析】(1)原抛物线的顶点坐标为(0,0),新抛物线的顶点坐标为(2,4),说明新抛物线向右移动了2个单位,向上移动了4个单位.
(2)列表:
x … 0 1 2 3 4 …
y=-(x-2)2+4 … 0 3 4 3 0 …
描点、连线.如图所示.
题组二:二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
1.(2013·益阳中考)抛物线y=2(x-3)2+1的顶点坐标是( )
A.(3,1) B.(3,-1)
C.(-3,1) D.(-3,-1)
【解析】选A.根据二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k),
所以选A.
2.二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图,则一次函数y=mx+n的图象
经过( )
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限
【解析】选C.因为抛物线的顶点在第四象限,
所以-m>0,n<0,∴m<0.
所以一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限.
3.抛物线y=-(x-3)2+8的图象与抛物线y=(x-3)2-8的图象开口
方向______(填“相同”或“不同”),顶点坐标______(填“相
同”或“不同”),对称轴______(填“相同”或“不同”).
【解析】因为抛物线y=-(x-3)2+8的图象的开口方向向下,顶点
坐标为(3,8),对称轴为直线x=3;抛物线y=(x-3)2-8的图象的开
口方向向上,顶点坐标为(3,-8),对称轴为直线x=3,所以它们的
开口方向不同,顶点坐标不同,对称轴相同.
答案:不同 不同 相同
4.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在二次函数y=(x-1)2+1的图象上,
若x1>x2>1,则y1________y2(填“>”“=”或“<”).
【解析】由y=(x-1)2+1可知其对称轴是x=1,抛物线开口向上,
所以当x>1时,y随x的增大而增大,所以若x1>x2>1,则y1>y2.
答案:>
5.已知二次函数y=-3(x-5)2+2,
(1)写出抛物线的顶点坐标、对称轴.
(2)x在什么范围内y随x的增大而减小?
(3)x取何值时函数有最值?并写出最值.
【解析】(1)根据二次函数的关系式y=-3(x-5)2+2,知函数图象的顶点坐标为(5,2),对称轴为x=5.
(2)函数y=-3(x-5)2+2的图象开口向下,对称轴x=5,故当x>5时,函数值y随x的增大而减小.
(3)因为二次函数的开口向下,
所以当x=5时,二次函数有最大值,y最大值=2.
【想一想错在哪？】对于y=2(x+3)2+2的图象下列叙述正确的
是( )
A.顶点坐标为(3,2)
B.当x=3时,y有最大值2
C.当x=-3时,y有最小值2
D.当x>3时y随x的增大而减小
提示:二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k),把顶点坐标的h值的符号理解错误,而导致出现错误.
(共43张PPT)
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第4课时
1.会用配方法把二次函数y=ax2+bx+c化成形如y=a(x-h)2+k的
形式,归纳并掌握二次函数y=ax2+bx+c的性质.(重点)
2.理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c的顶点、对称轴与a,b,c的
关系.(重点、难点)
3.能用二次函数的不同形式解决有关问题.(重点)
【思考】(1)函数y=ax2+bx+c（a≠0）可以化为y=a（x-h）2+k
的形式，此时h，k分别等于什么？
提示：因为函数y=ax2+bx+c（a≠0）可以化为
所以
(2)由（1）可得函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴、顶点坐标
分别是什么？
提示：函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是 顶点坐标
为
【总结】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质:
上
小
减小
下
大
增大
函数 a的
符号 开口方向 最值 增减变化
y=ax2+bx+c
(a≠0) a>0 开口向___ 最___值 在对称轴x= 左侧y随x的增大而_____,右侧反之
a<0 开口向___ 最___值 在对称轴x= 左侧y随x的增大而_____,右侧反之
(打“√”或“×”)
(1)函数y=-x2+3x+1的顶点坐标为 ( )
(2)函数y=9x2+3x+5的对称轴为 ( )
(3)在函数y=2x2-8x-6中,当x<2时,y随x的增大而减小.( )
(4)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则
a>0,b<0,c<0.( )
×
×
√
√
知识点 1 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
【例1】已知抛物线y=-x2+2x+2.
(1)该抛物线的对称轴是______,顶点坐标是______.
(2)选取适当的数据填入下表,并在图中的直角坐标系内描点画
出该抛物线的图象.
x … …
y … …
(3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足x1>x2>1,试比较y1与y2的大小.
【解题探究】(1)将抛物线y=-x2+2x+2化成y=a(x-h)2+k的形式,并写出对称轴和顶点坐标.
提示:y=-x2+2x+2=-(x2-2x+1)+3=-(x-1)2+3,所以对称轴为x=1,顶点坐标为(1,3).
(2)由于抛物线y=-x2+2x+2的对称轴是____,所以选取适当的x
值时要以__为中心,左右再各取两个值,最少取__个值,因此可
填表如下:
x=1
1
5
-1
2
3
2
-1
x … -1 0 1 2 3 …
y … ___ __ __ __ ___ …
描点、连线,可得到如图所示的抛物线.
(3)①由抛物线的性质可得在x>1时,抛物线的增减性如何?
提示:因为对称轴为x=1,a=-1<0,所以当x>1时,y随x的增大而减小.
②由①可知y1与y2有怎样的大小关系?
提示:因为x1>x2>1,所以y1【总结提升】在画二次函数的图象及理解图象性质时应注意的问题
1.画函数图象时,若抛物线与x轴有交点,最好选取交点描点,尤其是在作抛物线草图时应抓住以下五个关键点:开口方向、对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.
2.列表时应以对称轴为中心选值,间距要适当,描点画图时要依据已知抛物线的特点,一般先找出特殊点,并用虚线画出对称轴,然后再对称描点连线.
3.在理解和记忆二次函数的性质时,要结合图象,做到数形结合.
知识点 2 二次函数y=ax2+bx+c与a,b,c的关系?
【例2】已知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A,B两点,图中的曲
线是它的一部分.根据图中提供的信息,
(1)确定a,b,c的符号.
(2)求a+b+c的取值范围.
【思路点拨】(1)根据开口方向可确定a的符号;与y轴交于负
半轴,可判定c的符号;由抛物线对称轴在y轴的右侧或为y轴,
得 可判定b的符号.
(2)由抛物线过点(-1,0),得a-b+c=0.利用(1)中各系数的范
围进而求得a+b+c的取值范围.
【自主解答】(1)因为抛物线开口向上,得a>0.
由抛物线过点(0,-1),得c=-1<0.
∵抛物线在y轴左侧没有最低点,
∴抛物线对称轴在y轴的右侧或是y轴,得
又a>0,得b≤0.
∴a>0,b≤0,c<0.
(2)由抛物线过点(-1,0),得a-b+c=0.
即a=b-c=b+1,由a>0,得b>-1.
∴-1∴a+b+c=(b+1)+b-1=2b.
∴-2【总结提升】二次函数y=ax2+bx+c的图象的特征与a,b,c的符号之间的关系
1.a决定开口方向和大小:
(1)a>0?开口向上.
(2)a<0?开口向下.
(3)|a|相同时,抛物线形状相同,|a|越大,抛物线开口越小.
2.a,b决定对称轴位置:
(1)b=0?对称轴为y轴.
(2)a,b同号?对称轴在y轴左侧.
(3)a,b异号?对称轴在y轴右侧.
3.c决定抛物线与y轴的交点位置:
(1)c=0?过原点.
(2)c>0?交点在y轴的正半轴上.
(3)c<0?交点在y轴的负半轴上.
题组一:二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
1.二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为( )
A.(-2,-1) B.(2,1) C.(2,-1) D.(-2,1)
【解析】选B.方法一：∵a=1,b=-4,c=5，
∴顶点坐标为（2,1）.
方法二：
∴顶点坐标为（2,1）.
2.(2013·襄阳中考)二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,若
点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上,且x1小关系是( )
A.y1≤y2 B.y1y2
【解析】选B.根据二次函数的图象性质可知当x<1时,y随着x的增大而增大.
∵x13.(2013·舟山中考)若一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴
的交点坐标为(-2,0),则抛物线y=ax2+bx的对称轴为( )
A.直线x=1 B.直线x=-2
C.直线x=-1 D.直线x=-4
【解析】选C.把点的坐标(-2,0)代入一次函数y=ax+b,得
其对称轴为直线x=-1.
4.已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1,那么m的值是________.
【解析】函数的最小值即顶点的纵坐标,
因为a=1,b=-6,c=m,所以
即
答案:10
5.已知二次函数y=x2-3x-4.
(1)用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴.
(2)画出这个函数的大致图象,指出函数值不小于0时x的取值范围.
【解析】(1)∵y=x2-3x-4
∴二次函数图象的顶点坐标是 ,对称轴是
(2)当y=0时,x2-3x-4=(x+1)(x-4)=0,
∴x1=-1,x2=4.
∴图象与x轴两交点坐标为(-1,0),(4,0),图象如图.
∴函数值不小于0时,x的取值范围是x≤-1或x≥4.
题组二:二次函数y=ax2+bx+c与a,b,c的关系
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数
y=bx+c和反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象大致
是( )
【解析】选C.因为二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,∴a<0;
因为对称轴在y轴的左侧,a,b同号,
∴b<0;∵二次函数的图象经过坐标原点,∴c=0,
∴一次函数y=bx+c过第二、四象限且经过原点,反比例函数
的两个分支位于第二、四象限.
2.(2013·兰州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所
示.下列说法中不正确的是( )
A.b2-4ac>0 B.a>0
C.c>0 D.
【解析】选D.由图象可知对称轴在y轴的右侧,
所以
3.(2013·巴中中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如
图所示,则下列结论中正确的是( )
A.ac>0
B.当x>1时,y随x的增大而减小
C.b-2a=0
D.x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根
【解析】选D.∵a>0,c<0,
∴ac<0,A错;
当x>1时,y随x的增大而增大,B错;
∴b+2a=0,C错;
∵抛物线过(3,0),∴D正确.
4.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,0),且顶点在第一
象限.有下列三个结论:①a<0;②a+b+c>0;③ 把正确结
论的序号填在横线上__________.
【解析】由抛物线开口向下可推出a<0;因为对称轴在y轴右侧,
对称轴为
由图象可知:当x=1时,y>0,∴a+b+c>0.
∴①②③都正确.
答案:①②③
5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点P(a,bc)在第
________象限.
【解析】∵抛物线的开口向下,
∴a<0,
∵对称轴在y轴左边,
∴a,b同号即b<0,
∵抛物线与y轴的交点在正半轴,
∴c>0,∴bc<0,∴点P(a,bc)在第三象限.
答案:三
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 是该抛物线
的对称轴.根据如图所提供的信息,请你写出有关a,b,c的四条
结论,并简单说明理由.
【解析】①∵开口方向向上,∴a>0,
②∵与y轴的交点在y轴的正半轴上,∴c>0,
③∵对称轴为 ∴a,b异号,即b<0,
④∵抛物线与x轴有两个不同交点,∴b2-4ac>0,
⑤当x=1时,y=a+b+c<0,
⑥当x=-1时,y=a-b+c>0.
结论有:a>0,b<0,c>0,b2-4ac>0,a+b+c<0,a-b+c>0(答案不
唯一).
【想一想错在哪？】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则
一次函数y=bx+a的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
提示:把二次函数y=ax2+bx+c的对称轴 误认为
而导致错误.
(共30张PPT)
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第5课时
1.掌握求二次函数y=ax2+bx+c的最值的方法.(重点)
2.能够分析和表示实际问题中二次函数的关系,并能用函数知识解决实际生活中的最值问题.(重点、难点)
1.求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最值
y=ax2+bx+c
当a>0时，a（x+ ___）2≥0,
此时函数有最___值y=_________；
当a<0时，a(x+___)2___0，
此时函数有最___值y=________.
小
≤
大
【总结】求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最值的方法：
（1）配方法：y=ax2+bx+c化为y=___________的形式，当自变
量x=__时，函数y最大（小）=__.
（2）公式法：由二次函数y=ax2+bx+c的性质可得，当自变量
x=______时，函数y最大（小）=________.
a（x-h）2+k
h
k
2.实际问题中求最值的一般步骤：
（1）分析问题中的数量关系.
（2）列出函数关系式.
（3）研究由实际问题得出的函数，结合实际，解决问题.
（打“√”或“×”）
（1）抛物线y=(1+x)(3-x)有最小值4．（ ）
（2）函数y=x2+2x-3(-2≤x≤2)的最大值和最小值分别是-3
和-4.（ ）
（3）用一块长64 m的帆布，围一个表演马戏的矩形场地，则
可围成的最大面积为256 m2.（ ）
×
×
√
知识点 求实际问题中的最值?
【例】(2012·青岛中考)在“母亲节”期间,某校部分团员参
加社会公益活动,准备购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利润
捐给慈善机构.根据市场调
查,这种许愿瓶一段时间内
的销售量y(个)与销售单价
x(元/个)之间的对应关系
如图所示:
(1)试判断y与x之间的函数关系,并求出函数关系式.
(2)若许愿瓶的进价为6元/个,按照上述市场调查的销售规律,求销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式.
(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元,要想获得最大利润,试确定这种许愿瓶的销售单价,并求出此时的最大利润.
【思路点拨】(1)观察可得该函数是一次函数,设出一次函数关系式,把其中两点代入即可求得该函数关系式,进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同.
(2)销售利润=每个许愿瓶的利润×销售量.
(3)根据进货成本可得自变量的取值,结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润.
【自主解答】（1）y是x的一次函数，设y＝kx＋b.
因为图象过点(10，300)，(12，240)，
所以
∴y＝－30x＋600.当x＝14时，y＝180；
当x＝16时，y＝120，
即点(14，180)，(16，120)均在函数y＝－30x＋600的图象
上．
∴y与x之间的函数关系式为y＝－30x＋600.
（2）w＝(x－6)(－30x＋600)
＝－30x2+780x－3 600，
即w与x之间的函数关系式为
w=－30x2+780x－3 600.
（3）由题意得6(－30x＋600)≤900，解得x≥15．
w=－30x2+780x－3 600图象的对称轴为
∵a＝－30＜0，∴抛物线开口向下，
当x≥13时，w随x的增大而减小，
又x≥15，∴当x＝15时，w最大=1 350.
即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1 350元.
【总结提升】利用二次函数求解实际问题(如最大利润等)时的注意事项
1.解答要全面，有时需要分类讨论(如涨价与降价、投入与产出等).
2.分清每件的利润与销售量，理清价格与它们之间的关系.
3.自变量取值范围的确定，需保证实际问题有意义.
4.一般是利用二次函数的顶点坐标求最大值，但有时顶点坐标不在取值范围内，注意画图象分析.
题组:求实际问题中的最值
1.某商店经营某种商品,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)
之间的关系为y=-x2+24x+2 956,则获利最多为( )
A.3144元 B.3100元 C.144元 D.2956元
【解析】选B.∵y=-x2+24x+2 956=-(x-12)2+3 100,∴当x=12
元时,y最大为3 100元.
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象如图所示,当-5≤x≤0时,下列说法正确的是( )
A.有最小值-5,最大值0
B.有最小值-3,最大值6
C.有最小值0,最大值6
D.有最小值2,最大值6
【解析】选B.结合二次函数的图象,∵-5≤x≤0,
∴当x=-2时,函数有最大值,y最大=6;
当x=-5时,函数值最小,y最小=-3.
3.如图是某中学教学楼前喷水池喷
出的抛物线形水柱的示意图,其关
系式为y=-x2+4x+2,则水柱的最大高
度是( )
A.2 B.4
C.6 D.
【解析】选C.y=-x2+4x+2=-(x-2)2+6,
∵-1<0,∴当x=2时,最大高度是6.
4.某种火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+150t+10表示.经过________s,火箭达到它的最高点.
【解析】当火箭到达最高点时,即h达到最大值.
h=-5t2+150t+10=-5(t-15)2+1135.
∵-5<0,
∴t=15时,h取得最大值,即火箭达到最高点.
答案:15
5.如图,在△ABC中,∠B=90°,
AB=12 mm,BC=24mm,动点P从
点A开始沿边AB向B以2mm/s的
速度移动(不与点B重合),动
点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动(不与点C重合).
如果P,Q分别从A,B同时出发,那么经过________s,四边形APQC
的面积最小.
【解析】设P,Q同时出发后经过的时间为t s,四边形APQC的面
积为Smm2,则有:
=4t2-24t+144=4(t-3)2+108.
∵0答案:3
6.某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)与滑行时间x(单
位:s)之间的函数关系式是y=60x-1.5x2,该型号飞机着陆后需
滑行________m才能停下来.
【解析】根据题意得,飞机滑行停下了,求飞机的滑行距离,即
求函数y=60x-1.5x2的最大值,y=-1.5(x2-40x)=-1.5(x-20)2
+600≤600.
答案:600
7.(2013·滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体的形状,抽屉底面周长为180cm,高为20cm.请通过计算说明,当底面的宽x为何值时,抽屉的体积y最大?最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计)
【解析】根据题意,得
整理,得y=-20x2+1 800x.
∵y=-20x2+1 800x=-20(x2-90x+2 025)+40 500
=-20(x-45)2+40 500,
∵-20<0,∴当x=45时,函数有最大值,y最大值=40 500,即当底面
的宽为45cm时,抽屉的体积最大,最大为40 500cm3.
8.某商场购进一批L型服装(数量足够多),进价为40元/件,以60元/件销售,每天销售20件.根据市场调研,若每件每降价1元,则每天销售数量比原来多3件.现商场决定对L型服装开展降价促销活动,每件降价x元(x为正整数).在促销期间,商场要想每天获得最大销售毛利润,每件应降价多少元?每天最大销售毛利润为多少元?(注:每件服装销售毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差)
【解析】设促销期间每天销售L型服装所获得的毛利润为W元,
由题意得:
W=(20+3x)(60-40-x)=-3x2+40x+400
因为x为正整数,所以当x=7时,每天销售毛利润最大,最大值为
533.
答:每件降价7元时,每天最大销售毛利润为533元.
9.(2013·南充中考)某商场购进一种
每件价格为100元的新商品,在商场试
销发现:销售单价x(元/件)与每天销售
量y(件)之间满足如图所示的关系:
(1)求出y与x之间的函数关系式.
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式;若你是商
场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大,最
大利润是多少?
【解析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0).
由所给函数图象得
解得
∴函数关系式为y=-x+180.
（2）W=（x-100）y=(x-100)(-x+180)
=-x2+280x-18 000=-(x-140)2+1 600.
当x=140时，W最大=1 600.
∴售价定为140元/件时，每天最大利润W=1 600元.
【想一想错在哪？】已知二次函数 如果当
1≤x≤a（a＞1）时，y的最大值恰好是a，则a=______.
提示:在确定a的值时,忽视了a>1这个条件,导致出现错误.
