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ZJ版九年级上
第1章 二次函数
1.4 二次函数的应用
第1课时 利用二次函数求几何中的最值应用
答案显示
B
D
A
－4≤m≤－2
B
150
D
答案显示
2 s
4
见习题
36 mm2.
见习题
见习题
1．二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的值为( )
A．2 B．4
C．－4 D．16
B
A
3．【中考·黄冈】当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为( )
A．－1 B．2
C．0或2 D．－1或2
D
4．已知二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围是________________．
5．若二次函数y＝x2＋ax＋5的图象关于直线x＝－2对称，且当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围是______________．
－4≤m≤－2
6．已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为( )
A．25 cm2 B．50 cm2
C．100 cm2 D．不确定
B
7．用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为( )
A．20 B．40 C．100 D．120
D
8．【中考·沈阳】如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开，已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝________m时，矩形土地ABCD的面积最大．
【答案】150
9．如图，线段AB＝6，点C是AB上一点，点D是AC的中点，分别以AD，DC，CB为边作正方形，则当AC＝________时，三个正方形的面积之和最小．
4
10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以1 cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间为________．
2 s
11．【中考·福建】如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
(1)若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
解：设AB＝m米，则AD＝BC＝(100－2m)米，
根据题意得m(100－2m)＝450，解得m1＝5，m2＝45，当m＝5时，100－2m＝90＞20，不合题意舍去；当m＝45时，100－2m＝10，
答：AD的长为10米．
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值．
12．【中考·包头】某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2 000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
解：∵矩形的一边长为x米，周长为16米，
∴其邻边长为(8－x)米，
∴S＝x(8－x)＝－x2＋8x，其中0＜x<8.
(2)设计费能达到24 000元吗？为什么？
解：能，理由如下：若设计费能达到24 000元，
则当设计费为24 000元时，面积为24 000÷2 000＝12(平方米)，即－x2＋8x＝12，解得x＝2或x＝6，
∴设计费能达到24 000元．
(3)当x是多少时，设计费最多？最多是多少元？
解：∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，
∴当x＝4时，S有最大值，S最大值＝16，
∴当x＝4时，矩形的面积最大，为16平方米，设计费最多，最多是16×2 000＝32 000(元)．
13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以
2 mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s 的速度移动．已知P，Q分别从A，B同时出发，求△PBQ的面积S(mm2)与出发时间t(s)的函数表达式，并求出t为何值时，
△PBQ的面积最大，最大值是多少？
14．【中考·巴彦淖尔】工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)
(1)请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求当长方体底面面
积为32平方分米时，裁掉的正方形边
长是多少？
解：如图所示．
?
设裁掉的正方形的边长为x分米，
由题意可得(12－2x)(8－2x)＝32，
即x2－10x＋16＝0，解得x＝2或x＝8(舍去)，
答：裁掉的正方形的边长是2分米．
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍(长大于宽)，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元？
解：设总费用为y元，
则y＝2(12－2x)(8－2x)＋0.5×[2x(12－2x)＋2x(8－2x)]＝4x2－60x＋192＝4(x－7.5)2－33，
又∵12－2x≤5(8－2x)，∴x≤3.5，
∵a＝4＞0，∴当x＜7.5时，y随x的增大而减小，
∴当x＝3.5时，y取得最小值，最小值为31.
答：裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元．
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第1章 二次函数
1.4 二次函数的应用
第2课时 利用二次函数求实际问题中的最值应用
答案显示
B
(1)y＝300＋20x(2)W＝－20x2＋100x＋6 000.
D
见习题
见习题
见习题
C
见习题
见习题
B
2．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念13 min时，学生对概念的接受能力最大，为59.9；当提出概念30 min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为( )
A．y＝－(x－13)2＋59.9
B．y＝－0.1x2＋2.6x＋31
C．y＝0.1x2－2.6x＋76.8
D．y＝－0.1x2＋2.6x＋43
D
3．某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，假设每个降价x元，每天销售y个，每天获得利润W元．
(1)写出y与x的函数关系式：________________；
(2)求出W与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)．
y＝300＋20x
解：W＝(300＋20x)(60－40－x)＝－20x2＋100x＋6 000.
4．某旅行社在“五一”黄金周期间接团去外地旅游，经计算，所获营业额y(元)与旅行团人数x(人)满足关系式y＝－x2＋100x＋28 400，要使所获营业额最大，则此旅行团应有( )
A．30人 B．40人 C．50人 D．55人
C
5．【中考·兰州】某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月(按30天计算)，这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x天(1≤x≤30且x为整数)的销售量为y件．
(1)直接写出y与x的函数关系式；
解：y＝2x＋40.
(2)设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少元？
根据题意得w＝(145－x－80－5)(2x＋40)＝－2x2＋80x＋2 400＝－2(x－20)2＋3 200，∵－2＜0，∴函数有最大值，∴当x＝20时，w有最大值，为3 200，
∴第20天的利润最大，最大利润是3 200元．
6．【中考·毕节】某商店销售一款进价为每件40元的护肤品，调查发现，销售单价不低于40元且不高于80元时，该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，当销售单价为44元时，日销售量为72件；当销售单价为48元时，日销售量为64件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设该护肤品的日销售利润为W(元)，当销售单价为多少时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
【点拨】本题易将销售额当成销售利润，错得W＝x(－2x＋160)．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设该护肤品的日销售利润为W(元)，当销售单价为多少时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
解：由题意得，W与x之间的函数关系式为W＝(x－40)(－2x＋160)＝－2x2＋240x－6 400＝－2(x－60)2＋800，当x＝60时，W最大，是800，
所以当销售单价为60元时，日销售利润最大，最大日销售利润是800元．
7．【中考·通辽】当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本．书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y(本)与销售单价x(元)之间的函数关系式及自变量的取值范围；
解：根据题意，得y＝250－10(x－25)＝－10x＋500(30≤x≤38)．
(2)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a(0＜a≤6)元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得的最大利润为1 960元，求a的值．
解：q＝－x＋14，其中2≤x≤10.
已知按物价部门规定，销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．
(1)直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围．
(2)当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．
①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；
②求厂家每天获得的利润y(百元)与销售价格x的函数关系式．
(3)在(2)的条件下，当x为______元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润不低于24百元，并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为______元/千克．
9．【中考·云南】某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价
x(元/千克)的函数关系如图所示．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)求这一天销售西瓜获得的利润W(元)的最大值．
(共20张PPT)
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第1章 二次函数
1.4 二次函数的应用
第3课时 利用二次函数解抛物线形的最值应用
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C
B
D
24
见习题
A
见习题
见习题
C
B
4．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x的一部分，则水喷出的最大高度(单位：米)是( )
A．4米 B．5米
C．6米 D．7米
A
5．【中考·临沂】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40 m；
②小球抛出3 s后，速度越来越快；
③小球抛出3 s时速度为0；
④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.
其中正确的是( )
A．①④ B．①②
C．②③④ D．②③
D
24
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
(2)因实际需要，在离AB为3 m的位置处用一根立柱MN撑起绳子，如图②，使左边抛物线F1的最低点距MN为1 m，离地面1.8 m，求MN的长；
9．【中考·滨州】如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是多少？
解：当y＝15时，15＝－5x2＋20x，
解得x1＝1，x2＝3.
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是1 s或3 s.
(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
解：当y＝0时，0＝－5x2＋20x，
解得x1＝0，x2＝4.4－0＝4(s)，
答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s.
(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
解：y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20，
∴当x＝2时，y取得最大值，y最大＝20.
答：在飞行过程中，小球飞行高度第2 s时最大，最大高度是20 m.
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第1章 二次函数
1.4 二次函数的应用
第4课时 利用二次函数的图象解一元二次方程(不等式)
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D
D
(1)x1＝－1，x2＝2 (2)－1＜x＜2
(3)x≤－1或x≥2
x＜－3或x＞1
C
D
C
C
答案显示
见习题
见习题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为( )
A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝x2＝－1
C．x1＝x2＝3 D．x1＝－1，x2＝3
D
2．如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象上有两点分别为A(2.18，－0.61)，B(2.68，0.44)，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个解只可能是( )
A．2.18 B．2.68
C．－0.51 D．2.55
D
3．根据下面表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解的范围是( )
A.3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
C
4．坐标平面上，某二次函数图象的顶点为(2，－1)，此函数图象与x轴相交于P，Q两点，且PQ＝6.若此函数图象通过(1，a)，(3，b)，(－1，c)，(－3，d)四点，则a，b，c，d之间哪个为正？( )
A．a B．b
C．c D．d
D
5．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)．
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为________________；
(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为____________；
(3)不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为
____________．
x1＝－1，x2＝2
－1＜x＜2
x≤－1或x≥2
6．【中考·济宁】如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2＋mx＋c＞n的解集是________________．
x＜－3或x＞1
7．【中考·牡丹江】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是( )
A．x<2 B．x>－3
C．－31
C
8．【中考·烟台】如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是( )
A．b2＞4ac
B．ax2＋bx＋c≥－6
C．若点(－2，m)，(－5，n)在抛物线上，则m＞n
D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－4的两根为－5和－1
C
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集；
解：x1＝1，x2＝3.
1＜x＜3.
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
解：x＞2.
∵方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c－k与x轴有两个交点，即抛物线y＝ax2＋bx＋c向下平移k个单位后与x轴有两个交点．由图象可知抛物线y＝ax2＋bx＋c向下平移2个单位后与x轴有一个交点，∴k＜2.
11．【中考·天门】在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋2x－1(a≠0)和直线l：y＝kx＋b，点A(－3，－3)，B(1，－1)均在直线l上．
(1)若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；
?
解：根据题意可得抛物线C：y＝－x2＋2x－1.
∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1.
当y＝－4时，有－x2＋2x－1＝－4，解得x＝－1或x＝3.
①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4，则m＝－3；②在直线x＝1右侧，y随x的增大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值－4.综上所述，m＝－3或m＝3.
(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
?
12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2＋4x－5＝0的两根．
(1)若抛物线的顶点为D，求S△ABC ∶S△ACD的值；
?
(2)若∠ADC＝90°，求二次函数的表达式．
?
