八年级（下） 第2章 一元二次方程 单元测试卷
一、选择题
1．下列方程是一元二次方程的是
A． B． C． D．
2．方程的解为
A． B． C．， D．，
3．解方程，选择最适当的方法是
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
4．关于的一元二次方程的一个根是1，则实数的值为
A．0 B．1 C．2 D．3
5．若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是
A．2 B． C． D．
6．已知、是一元二次方程的两根，且，那么等于
A．3 B． C．2 D．
7．若关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为6万件和8.64万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为，则下列方程正确的是
A． B．
C． D．
9．如图，把长，宽的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是，则的值是
A． B． C． D．
10．若是方程的一个根，设，，则与的大小关系为
A． B． C． D．不能确定
二．填空题（共8小题）
11．若，则 ．
12．如果关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是 ．
13．若，是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
14．某种植物主干长出若干数目的枝干，每个分支又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是91，每个枝干长出 小分支．
15．已知一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个两位数，则这个两位数是 ．
16．如图，是一面长18米的墙，用总长为32米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地，中间用栅栏隔成同样三块．若要围成的矩形面积为60平方米，则的长为 米．
17．定义运算“△”：对于任意实数，且时，都有△，如5△，若△，则实数的值为 ．
18．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，如果我们规定一个新数“”，使它满足（即有一个根为，并且进一步规定：一切实数可以与新数“”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：，，，，从而对任意正整数，由于，，同理可得，，那么， ； ．
三．解答题（共7小题）
19．解方程．
（1）
（2）
（3）
20．求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根．
21．已知实数，，满足，求关于的方程的根．
22．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价元，则商场日销售量增加 件，每件商品，盈利 元（用含的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
23．如图，一块长10米宽8米的地毯，为了美观设计了两横、四纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价40元，其余部分每平方米造价30元，求地毯的总造价．
24．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题：
（1）填空：分解因式 ；
（2）若，求的值；
（3）若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由．
25．【问题背景】解方程：．
分析：这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，我们可以借助“换元法”将高次方程“降次”，进而解得未知数的值．
解：设，那么，于是原方程可变为，解得，．
当时，，；当时，，；
原方程有四个根：，，，．
【触类旁通】参照例题解方程：；
【解决问题】已知实数，满足，求的值；
【拓展迁移】分解因式： ．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列方程是一元二次方程的是
A． B． C． D．
解：、，不是一元二次方程，不合题意；
、，含有两个未知数，不合题意；
、，有可能等于0，故此选项不合题意；
、，是一元二次方程，符合题意；
故选：．
2．方程的解为
A． B． C．， D．，
解：，
，
则或，
解得：或，
故选：．
3．解方程，选择最适当的方法是
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
解：，
，
解得：，．
故选：．
4．关于的一元二次方程的一个根是1，则实数的值为
A．0 B．1 C．2 D．3
解：把代入方程得：
，
解得：．
故选：．
5．若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是
A．2 B． C． D．
解：根据题意得△，
解得．
故选：．
6．已知、是一元二次方程的两根，且，那么等于
A．3 B． C．2 D．
解：、是一元二次方程的两根，
，，
，
，
解得．
故选：．
7．若关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：一元二次方程无实数根，说明△，即，
解得，所以，，故一次函数的图象不经过第三象限．
故选：．
8．我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为6万件和8.64万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为，则下列方程正确的是
A． B．
C． D．
解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为，
根据题意得：．
故选：．
9．如图，把长，宽的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是，则的值是
A． B． C． D．
【分析】观察图形可知小长方形的长为，根据去除阴影部分的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故选：．
10．若是方程的一个根，设，，则与的大小关系为
A． B． C． D．不能确定
【分析】把代入方程得，作差法比较可得．
解：是方程的一个根，
，即，
则
，
，
，
．
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．若，则 ．
【分析】直接利用开平方法解方程得出答案．
解：，
，
．
故答案为：．
12．如果关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是 且 ．
【分析】先根据关于的一元二次方程有实数根得出△，，求出的取值范围即可．
解：关于的一元二次方程有实数根，
，解得且．
故答案为：且．
13．若，是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
【分析】由根与系数的关系可求得与的值，再代入计算即可．
解：
，是一元二次方程的两个根，
，，
，
故答案为：．
14．某种植物主干长出若干数目的枝干，每个分支又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是91，每个枝干长出 9 小分支．
【分析】设每个枝干长出个小分支，则主干上长出了个枝干，根据主干、枝干和小分支的总数是91，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
解：设每个枝干长出个小分支，则主干上长出了个枝干，
根据题意得：．
整理，得
，
解得（舍去），．
即每个枝干长出 9小分支．
故答案是：9．
15．已知一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个两位数，则这个两位数是 25或36 ．
【分析】设这个两位数的个位数字是，则十位数字是，根据个位数字的平方恰好等于这个两位数列出方程解答即可．
解：设这个两位数的个位数字是，则十位数字是，由题意得
解得：，，
当时，，
当 时，．
答：这个两位数是25或36．
故答案为：25或36．
16．如图，是一面长18米的墙，用总长为32米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地，中间用栅栏隔成同样三块．若要围成的矩形面积为60平方米，则的长为 12 米．
【分析】由与墙头垂直的边长为米，四边形是矩形，根据矩形的性质，即可求得的长；根据题意可得方程，解此方程即可求得的值，又由（米，即可求得的值，注意是一面长18米的墙，即米．
解：与墙头垂直的边长为米，四边形是矩形，
米，
（米，
根据题意得：，
解得：或，
当时，（舍去）；
当时，（米，
的长为12米．
故答案为：12．
17．定义运算“△”：对于任意实数，且时，都有△，如5△，若△，则实数的值为 8 ．
【分析】根据新定义得出关于的方程，整理得，将看做整体因式分解法求解得出的值，再结合取舍即可得．
解：根据题意得，
即，
，即，
解得：或，
又，即，
，
故答案为：8．
18．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，如果我们规定一个新数“”，使它满足（即有一个根为，并且进一步规定：一切实数可以与新数“”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：，，，，从而对任意正整数，由于，，同理可得，，那么， ； ．
【分析】利用幂的运算法则得到；，然后把，代入计算即可．
解：；
．
故答案为，．
三．解答题（共7小题）
19．解方程．
（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得；
（3）利用公式法求解可得．
解：（1），
，
则或，
解得：，；
（2），
，即，
则或，
解得：；
（3），，，
△，
则，
即，．
20．求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根．
【分析】表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根．
【解答】证明：△，
，
，
则无论取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根．
21．已知实数，，满足，求关于的方程的根．
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性得出方程组，求出方程组的解，再代入方程，求出方程的解即可．
解：由题可知：，
解得：或 ，
即方程为或，
解得：，，．
22．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价元，则商场日销售量增加 件，每件商品，盈利 元（用含的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
【分析】（1）根据“盈利单件利润销售数量”即可得出结论；
（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；
（3）根据“盈利单件利润销售数量”即可列出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再根据尽快减少库存即可确定的值．
解：（1）当天盈利：（元．
答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．
（2）每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
设每件商品降价元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元．
故答案为：；．
（3）根据题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
商城要尽快减少库存，
．
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
23．如图，一块长10米宽8米的地毯，为了美观设计了两横、四纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价40元，其余部分每平方米造价30元，求地毯的总造价．
【分析】（1）设配色条纹的宽度为米，根据等量关系：配色条纹所占面积整个地毯面积的，列出方程即可．
（2）根据总价单价数量，即可求出结论．
解：（1）设配色条纹的宽度为米，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），．
答：配色条纹的宽度为米．
（2）配色条纹总造价为：（元．
其余部分的造价为：（元
总造价为：（元
答：地毯的总造价为2640元．
24．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题：
（1）填空：分解因式 ；
（2）若，求的值；
（3）若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由．
【分析】（1）直接利用完全平方公式变形得出答案；
（2）直接利用非负数的性质进而得出，的值，即可得出答案；
（3）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出，，的关系，进而得出的形状．
解：（1）；
故答案为：；
（2），
，
，，
，，
；
（3），
，
即，
，
，，，
，，，
，
、、分别是的三边，
是等边三角形．
25．【问题背景】解方程：．
分析：这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，我们可以借助“换元法”将高次方程“降次”，进而解得未知数的值．
解：设，那么，于是原方程可变为，解得，．
当时，，；当时，，；
原方程有四个根：，，，．
【触类旁通】参照例题解方程：；
【解决问题】已知实数，满足，求的值；
【拓展迁移】分解因式： ．
【分析】触类旁通：设，则原方程化为，求出，再求出即可；
解决问题：设，则原方程化为，求出，再求出即可；
拓展迁移：设，得出，根据完全平方公式分解因式，最后得出答案即可．
解：触类旁通
，
设，则原方程化为：，
解得：，，
当时，，解得：或2；
当时，，
，
此方程中的△，
此方程无解；
所以原方程的解为：，；
解决问题
，
设，则原方程化为：，
整理得：，
解得：，
即，
所以；
拓展迁移
设，
则
，
故答案为：．
八年级（下） 第 2章 一元二次方程 单元测试卷
一、选择题
1．下列方程是一元二次方程的是 ( )
A． 2 3 0x
x
? ? B． 25 6 3 0x y? ? ? C． 2 2 0ax x? ? ? D． 2 5 2x x? ?
2．方程 2 3x x? 的解为 ( )
A． 3x ? B． 0x ? C． 1 0x ? ， 2 3x ? ? D． 1 0x ? ， 2 3x ?
3．解方程 2(5 3) 2(5 3)x x? ? ? ，选择最适当的方法是 ( )
A． .直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
4．关于 x的一元二次方程 2 2 0x x a? ? ? 的一个根是 1，则实数 a的值为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．若一元二次方程 2 2 0x mx? ? ? 有两个相等的实数根，则m的值是 ( )
A．2 B． 2? C． 8? D． 2 2?
6．已知 a、 b是一元二次方程 2 0x x c? ? ? 的两根，且 2 5a b ab? ? ? ，那么 c等于 ( )
A．3 B． 3? C．2 D． 2?
7．若关于 x的一元二次方程 2 2 1 0nx x? ? ? 无实数根，则一次函数 ( 1)y n x n? ? ? 的图象不
经过 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．我市某家快递公司，今年 8月份与 10月份完成投递的快递总件数分别为 6 万件和 8.64
万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为 x，则下列方程正确的是 ( )
A． 6(1 ) 8.64x? ? B． 6(1 2 ) 8.64x? ?
C． 26(1 ) 8.64x? ? D． 26 6(1 ) 6(1 ) 8.64x x? ? ? ? ?
9．如图，把长 40cm，宽 30cm的长方形纸板剪掉 2个小正方形和 2个小长方形（阴影部分
即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为 xcm（纸
板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是 2950cm ，则 x的值是 ( )
A． 3cm B． 4cm C． 4.8cm D． 5cm
10．若 1x 是方程
2 2 0( 0)ax x c a? ? ? ? 的一个根，设 21( 1)M ax? ? ， 2N ac? ? ，则M 与 N
的大小关系为 ( )
A．M N? B．M N? C．M N? D．不能确定
二．填空题（共 8小题）
11．若 2 9 0x ? ? ，则 x ? ．
12．如果关于 x的一元二次方程 2 2 1 0ax x? ? ? 有实数根，则实数 a的取值范围是 ．
13．若 1x ， 2x 是一元二次方程
2 2 1 0x x? ? ? 的两个根，则 1 2( 1)( 1)x x? ? 的值是 ．
14．某种植物主干长出若干数目的枝干，每个分支又长出同样数目的小分支，主干、枝干、
小分支的总数是 91，每个枝干长出 小分支．
15．已知一个两位数，它的十位数字比个位数字小 3，个位数字的平方恰好等于这个两位数，
则这个两位数是 ．
16．如图，EF 是一面长 18米的墙，用总长为 32米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场
地 ABCD，中间用栅栏隔成同样三块．若要围成的矩形面积为 60 平方米，则 AB 的长为
米．
17．定义运算“△”：对于任意实数 a， b且 a b? 时，都有 a△ 2 2b a ab b? ? ? ，如 5△
2 24 5 5 4 4 21? ? ? ? ? ，若 ( 3)x ? △ 4 21? ，则实数 x的值为 ．
18．我们知道，一元二次方程 2 1x ? ? 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于 1? ，如果
我们规定一个新数“ i”，使它满足 2 1i ? ? （即 2 1x ? ? 有一个根为 )i ，并且进一步规定：一
切实数可以与新数“ i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：1i i? ，
2 1i ? ? ， 3 2 ( 1)i i i i i? ? ? ? ?? ? ， 4 2 2 2( ) ( 1) 1i i? ? ? ? ， 从 而 对 任 意 正 整 数 n ， 由 于
4 4( ) 1 1n n ni i? ? ? ， 4 1 4 1n ni i i i i? ? ? ?? ? ，同理可得 4 2 1ni ? ? ? ， 4 3ni i? ? ? ，那么， 9i ? ；
2018i ? ．
三．解答题（共 7小题）
19．解方程．
（1） 2(2 1) 25 0x ? ? ?
（2） 2( 3) 3 ( 3) 0x x x? ? ? ?
（3） 2 3 1 0x x? ? ?
20．求证：无论 k取何值时，方程 2 ( 3) 2 1 0x k x k? ? ? ? ? 都有两个不相等的实数根．
21．已知实数 a，b，c满足 2 2 22 1 (2 3 1) | ( 2)( 1) 2 | 0a a b b c c c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，求关于 x
的方程 2 2 0ax bx c? ? ? ? 的根．
22．商场某种商品平均每天可销售 30件，每件盈利 50 元，为了尽快减少库存，商场决定
采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价 1元，商场平均每天可多售出 2件．
（1）若某天该商品每件降价 3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价 x元，则商场日销售量增加 件，每件商品，盈利 元（用含 x的
代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2000元？
23．如图，一块长 10米宽 8米的地毯，为了美观设计了两横、四纵的配色条纹（图中阴影
部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的
3
10
．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价 40元，其余部分每平方米造价 30元，求地毯的
总造价．
24．阅读材料：把形如 2ax bx c? ? 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫
配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 2 2 22 ( )a ab b a b? ? ? ? ．请根据阅读
材料解决下列问题：
（1）填空：分解因式 2 4 4a a? ? ? ；
（2）若 2| 1| 6 9 0a b b? ? ? ? ? ，求 a b? 的值；
（3）若 a、b、c分别是 ABC? 的三边，且 2 2 24 2 6 2 4 0a b c ab b c? ? ? ? ? ? ? ，试判断 ABC?
的形状，并说明理由．
25．【问题背景】解方程： 4 25 4 0x x? ? ? ．
分析：这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，我们可以借助“换元法”将高次方程
“降次”，进而解得未知数的值．
解：设 2x y? ，那么 4 2x y? ，于是原方程可变为 2 5 4 0y y? ? ? ，解得 1 1y ? ， 2 4y ? ．
当 1 1y ? 时，
2 1x ? ， 1x ? ? ；当 2 4y ? 时，
2 4x ? ， 2x ? ? ；
原方程有四个根： 1 1x ? ， 2 1x ? ? ， 3 2x ? ， 4 2x ? ? ．
【触类旁通】参照例题解方程： 2 2 2( ) 4( ) 12 0x x x x? ? ? ? ? ；
【解决问题】已知实数 x， y满足 (2 2 3)(2 2 3) 27x y x y? ? ? ? ? ，求 x y? 的值；
【拓展迁移】分解因式： 2 2( 4 3)( 4 5) 1x x x x? ? ? ? ? ? ．
参考答案
一．选择题（共 10小题）
1．下列方程是一元二次方程的是 ( )
A． 2 3 0x
x
? ? B． 25 6 3 0x y? ? ? C． 2 2 0ax x? ? ? D． 2 5 2x x? ?
解： A、 2 3 0x
x
? ? ，不是一元二次方程，不合题意；
B、 25 6 3 0x y? ? ? ，含有两个未知数，不合题意；
C、 2 2 0ax x? ? ? ， a有可能等于 0，故此选项不合题意；
D、 2 5 2x x? ? ，是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
2．方程 2 3x x? 的解为 ( )
A． 3x ? B． 0x ? C． 1 0x ? ， 2 3x ? ? D． 1 0x ? ， 2 3x ?
解： 2 3 0x x? ?? ，
( 3) 0x x? ? ? ，
则 0x ? 或 3 0x ? ? ，
解得： 0x ? 或 3x ? ，
故选：D．
3．解方程 2(5 3) 2(5 3)x x? ? ? ，选择最适当的方法是 ( )
A． .直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
解： 2(5 3) 2(5 3) 0x x? ? ? ? ，
(5 3)(5 3 2) 0x x? ? ? ? ，
(5 3)(5 3 2) 0x x? ? ? ?
解得： 1
3
5
x ? ， 2 1x ? ．
故选：D．
4．关于 x的一元二次方程 2 2 0x x a? ? ? 的一个根是 1，则实数 a的值为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解：把 1x ? 代入方程 2 2 0x x a? ? ? 得：
1 2 0a? ? ? ，
解得： 3a ? ．
故选：D．
5．若一元二次方程 2 2 0x mx? ? ? 有两个相等的实数根，则m的值是 ( )
A．2 B． 2? C． 8? D． 2 2?
解：根据题意得△ 2 4 1 2 0m? ? ? ? ? ，
解得 2 2m ? ? ．
故选：D．
6．已知 a、 b是一元二次方程 2 0x x c? ? ? 的两根，且 2 5a b ab? ? ? ，那么 c等于 ( )
A．3 B． 3? C．2 D． 2?
解： a? 、 b是一元二次方程 2 0x x c? ? ? 的两根，
1a b? ? ? ? ， ab c? ? ，
2 5a b ab? ? ?? ，
1 2 5c?? ? ? ，
解得 3c ? ．
故选： A．
7．若关于 x的一元二次方程 2 2 1 0nx x? ? ? 无实数根，则一次函数 ( 1)y n x n? ? ? 的图象不
经过 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：一元二次方程 2 2 1 0nx x? ? ? 无实数根，说明△ 2 4 0b ac? ? ? ，即 2( 2) 4 ( 1) 0n? ? ? ? ? ? ，
解得 1n ? ? ，所以 1 0n ? ? ， 0n? ? ，故一次函数 ( 1)y n x n? ? ? 的图象不经过第三象限．
故选：C．
8．我市某家快递公司，今年 8月份与 10月份完成投递的快递总件数分别为 6 万件和 8.64
万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为 x，则下列方程正确的是 ( )
A． 6(1 ) 8.64x? ? B． 6(1 2 ) 8.64x? ?
C． 26(1 ) 8.64x? ? D． 26 6(1 ) 6(1 ) 8.64x x? ? ? ? ?
解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为 x，
根据题意得： 26(1 ) 8.64x? ? ．
故选：C．
9．如图，把长 40cm，宽 30cm的长方形纸板剪掉 2个小正方形和 2个小长方形（阴影部分
即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为 xcm（纸
板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是 2950cm ，则 x的值是 ( )
A． 3cm B． 4cm C． 4.8cm D． 5cm
【分析】观察图形可知小长方形的长为
40 2( )
2
xx cm?? ，根据去除阴影部分的面积为
2950cm ，即可得出关于 x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：依题意，得： 2
40 240 30 2 2 ( ) 950
2
xx x x ?? ? ? ? ?? ，
整理，得： 2 20 125 0x x? ? ? ，
解得： 1 5x ? ， 2 25x ? ? （不合题意，舍去）．
故选：D．
10．若 1x 是方程
2 2 0( 0)ax x c a? ? ? ? 的一个根，设 21( 1)M ax? ? ， 2N ac? ? ，则M 与 N
的大小关系为 ( )
A．M N? B．M N? C．M N? D．不能确定
【分析】把 1x 代入方程
2 2 0ax x c? ? ? 得 21 12ax x c? ? ? ，作差法比较可得．
解： 1x? 是方程
2 2 0( 0)ax x c a? ? ? ? 的一个根，
2
1 12 0ax x c? ? ? ? ，即
2
1 12ax x c? ? ? ，
则 21( 1) (2 )M N ax ac? ? ? ? ?
2 2
1 12 1 2a x ax ac? ? ? ? ?
2
1 1( 2 ) 1a ax x ac? ? ? ?
1ac ac? ? ? ?
1? ? ，
1 0? ?? ，
0M N? ? ? ，
M N? ? ．
故选： B．
二．填空题（共 8小题）
11．若 2 9 0x ? ? ，则 x ? 3? ．
【分析】直接利用开平方法解方程得出答案．
解： 2 9 0x ? ?? ，
2 9x? ? ，
3x? ? ? ．
故答案为： 3? ．
12．如果关于 x的一元二次方程 2 2 1 0ax x? ? ? 有实数根，则实数 a的取值范围是 1a? 且
0a ? ．
【分析】先根据关于 x的一元二次方程 2 2 1 0ax x? ? ? 有实数根得出△ 0? ， 0a ? ，求出 a的
取值范围即可．
解：?关于 x的一元二次方程 2 2 1 0ax x? ? ? 有实数根，
?
4 4 0
0
a
a
? ??
? ??
? ?
，解得 1a? 且 0a ? ．
故答案为： 1a? 且 0a ? ．
13．若 1x ， 2x 是一元二次方程
2 2 1 0x x? ? ? 的两个根，则 1 2( 1)( 1)x x? ? 的值是 2? ．
【分析】由根与系数的关系可求得 1 2x x? 与 1 2x x 的值，再代入计算即可．
解：
1x? ， 2x 是一元二次方程
2 2 1 0x x? ? ? 的两个根，
1 2 2x x? ? ? ? ， 1 2 1x x ? ? ，
1 2 1 2 1 2( 1)( 1) 1 1 ( 2) 1 2x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
故答案为： 2? ．
14．某种植物主干长出若干数目的枝干，每个分支又长出同样数目的小分支，主干、枝干、
小分支的总数是 91，每个枝干长出 9 小分支．
【分析】设每个枝干长出 x个小分支，则主干上长出了 x个枝干，根据主干、枝干和小分支
的总数是 91，即可得出关于 x的一元二次方程，此题得解．
解：设每个枝干长出 x个小分支，则主干上长出了 x个枝干，
根据题意得： 2 1 91x x? ? ? ．
整理，得
( 10)( 9) 0x x? ? ? ，
解得 1 10x ? ? （舍去）， 2 9x ? ．
即每个枝干长出 9小分支．
故答案是：9．
15．已知一个两位数，它的十位数字比个位数字小 3，个位数字的平方恰好等于这个两位数，
则这个两位数是 25 或 36 ．
【分析】设这个两位数的个位数字是 x，则十位数字是 ( 3)x ? ，根据个位数字的平方恰好
等于这个两位数列出方程解答即可．
解：设这个两位数的个位数字是 x，则十位数字是 ( 3)x ? ，由题意得
2 10( 3)x x x? ? ?
解得： 1 5x ? ， 2 6x ? ，
当 5x ? 时， 3 2x ? ? ，
当 6x ? 时， 3 3x? ? ．
答：这个两位数是 25 或 36．
故答案为：25 或 36．
16．如图，EF 是一面长 18米的墙，用总长为 32米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场
地 ABCD，中间用栅栏隔成同样三块．若要围成的矩形面积为 60平方米，则 AB的长为
12 米．
【分析】由与墙头垂直的边 AD长为 x米，四边形 ABCD是矩形，根据矩形的性质，即可求
得 AB 的长；根据题意可得方程 (32 4 ) 60x x? ? ，解此方程即可求得 x 的值，又由
32AB x? ? （米 )，即可求得 AB的值，注意 EF 是一面长 18米的墙，即 18AB ? 米．
解：?与墙头垂直的边 AD长为 x米，四边形 ABCD是矩形，
BC MN PQ x? ? ? ? 米，
32 32 4AB AD MN PQ BC x? ? ? ? ? ? ? ? （米 )，
根据题意得： (32 4 ) 60x x? ? ，
解得： 3x ? 或 5x ? ，
当 3x ? 时， 32 4 20 18AB x? ? ? ? （舍去）；
当 5x ? 时， 32 4 12AB x? ? ? （米 )，
AB? 的长为 12米．
故答案为：12．
17．定义运算“△”：对于任意实数 a， b且 a b? 时，都有 a△ 2 2b a ab b? ? ? ，如 5△
2 24 5 5 4 4 21? ? ? ? ? ，若 ( 3)x ? △ 4 21? ，则实数 x的值为 8 ．
【 分 析 】 根 据 新 定 义 得 出 关 于 x 的 方 程 2( 3) 4( 3) 16 21x x? ? ? ? ? ， 整 理 得
2( 3) 4( 3) 5 0x x? ? ? ? ? ，将 3x ? 看做整体因式分解法求解得出 x的值，再结合 3 4x ? ? 取
舍即可得．
解：根据题意得 2( 3) 4( 3) 16 21x x? ? ? ? ? ，
即 2( 3) 4( 3) 5 0x x? ? ? ? ? ，
( 3 1)( 3 5) 0x x? ? ? ? ? ? ，即 ( 2)( 8) 0x x? ? ? ，
解得： 2x ? 或 8x ? ，
又 3 4x ?? ? ，即 7x? ，
8x? ? ，
故答案为：8．
18．我们知道，一元二次方程 2 1x ? ? 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于 1? ，如果
我们规定一个新数“ i”，使它满足 2 1i ? ? （即 2 1x ? ? 有一个根为 )i ，并且进一步规定：
一切实数可以与新数“ i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是
有： 1i i? ， 2 1i ? ? ， 3 2 ( 1)i i i i i? ? ? ? ?? ? ， 4 2 2 2( ) ( 1) 1i i? ? ? ? ，从而对任意正整数 n，
由于 4 4( ) 1 1n n ni i? ? ? ， 4 1 4 1n ni i i i i? ? ? ?? ? ，同理可得 4 2 1ni ? ? ? ， 4 3ni i? ? ? ，那么， 9i ?
i ； 2018i ? ．
【分析】利用幂的运算法则得到 9 4 2( )i i i? ? ； 2018 4 504 2( )i i i? ? ，然后把 4 1i ? ， 2 1i ? ? 代入计
算即可．
解： 9 4 2 2( ) 1i i i i i? ? ?? ? ；
2018 4 504 2( ) 1 ( 1) 1i i i? ? ? ? ?? ? ．
故答案为 i， 1? ．
三．解答题（共 7小题）
19．解方程．
（1） 2(2 1) 25 0x ? ? ?
（2） 2( 3) 3 ( 3) 0x x x? ? ? ?
（3） 2 3 1 0x x? ? ?
【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得；
（3）利用公式法求解可得．
解：（1） 2(2 1) 25 0x ? ? ?? ，
2(2 1) 25x? ? ? ，
则 2 1 5x ? ? 或 2 1 5x ? ? ? ，
解得： 1 3x ? ， 2 2x ? ? ；
（2） 2( 3) 3 ( 3) 0x x x? ? ? ?? ，
( 3)( 3 3 ) 0x x x? ? ? ? ? ，即 ( 3)( 2 3) 0x x? ? ? ? ，
则 3 0x ? ? 或 2 3 0x? ? ? ，
解得： 1 2
33,
2
x x? ? ? ；
（3） 1a ?? ， 3b ? ? ， 1c ? ，
?△ 2( 3) 4 1 1 5 0? ? ? ? ? ? ? ，
则
3 5
2
x ?? ，
即 1
3 5
2
x ?? ， 2
3 5
2
x ?? ．
20．求证：无论 k取何值时，方程 2 ( 3) 2 1 0x k x k? ? ? ? ? 都有两个不相等的实数根．
【分析】表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于 0，进而确定出方程总有两个不相
等的实数根．
【解答】证明：△ 2 2 2 2( 3) 4(2 1) 6 9 8 4 2 13 ( 1) 12k k k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
2( 1) 0k ?? ? ，
2( 1) 12 0k? ? ? ? ，
则无论 k取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根．
21．已知实数 a，b，c满足 2 2 22 1 (2 3 1) | ( 2)( 1) 2 | 0a a b b c c c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，求关于 x
的方程 2 2 0ax bx c? ? ? ? 的根．
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性得出方程组，求出方程组的解，再代入方程
2 2 0ax bx c? ? ? ? ，求出方程的解即可．
解：由题可知：
2
2
2 1 0
2 3 1 0
( 2)( 1) 2 0
a a
b b
c c c
? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ? ? ? ??
，
解得：
1
1
2
a
b
c
??
? ??
? ??
或
1
1
2
2
a
b
c
??
?? ??
?
???
，
即方程为 2 0x x? ? 或 2 1 0
2
x x? ? ，
解得： 1 0x ? ， 2 1x ? ? ， 3
1
2
x ? ? ．
22．商场某种商品平均每天可销售 30件，每件盈利 50 元，为了尽快减少库存，商场决定
采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价 1元，商场平均每天可多售出 2件．
（1）若某天该商品每件降价 3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价 x元，则商场日销售量增加 2x 件，每件商品，盈利 元（用含
x的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2000元？
【分析】（1）根据“盈利 ?单件利润?销售数量”即可得出结论；
（2）根据“每件商品每降价 1元，商场平均每天可多售出 2 件”结合每件商品降价 x元，
即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利 50元，即可得出降价后的每件盈利额；
（3）根据“盈利 ?单件利润?销售数量”即可列出关于 x的一元二次方程，解之即可得出 x
的值，再根据尽快减少库存即可确定 x的值．
解：（1）当天盈利： (50 3) (30 2 3) 1692? ? ? ? ? （元 )．
答：若某天该商品每件降价 3元，当天可获利 1692元．
（2）?每件商品每降价 1元，商场平均每天可多售出 2件，
?设每件商品降价 x元，则商场日销售量增加 2x件，每件商品，盈利 (50 )x? 元．
故答案为： 2x； 50 x? ．
（3）根据题意，得： (50 ) (30 2 ) 2000x x? ? ? ? ，
整理，得： 2 35 250 0x x? ? ? ，
解得： 1 10x ? ， 2 25x ? ，
?商城要尽快减少库存，
25x? ? ．
答：每件商品降价 25元时，商场日盈利可达到 2000元．
23．如图，一块长 10米宽 8米的地毯，为了美观设计了两横、四纵的配色条纹（图中阴影
部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的
3
10
．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价 40元，其余部分每平方米造价 30元，求地毯的
总造价．
【分析】（1）设配色条纹的宽度为 x米，根据等量关系：配色条纹所占面积 ?整个地毯面积
的
3
10
，列出方程即可．
（2）根据总价 ?单价?数量，即可求出结论．
解：（1）设配色条纹的宽度为 x米，
根据题意得：
7(10 4 )(8 2 ) 10 8
10
x x? ? ? ? ? ，
解得： 1 6x ? （不符合题意，舍去）， 2
1
2
x ? ．
答：配色条纹的宽度为
1
2
米．
（2）配色条纹总造价为： 3 10 8 40 960
10
? ? ? ? （元 )．
其余部分的造价为：
3(1 ) 10 8 30 1680
10
? ? ? ? ? （元 )
总造价为： 960 1680 2640? ? （元 )
答：地毯的总造价为 2640元．
24．阅读材料：把形如 2ax bx c? ? 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫
配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 2 2 22 ( )a ab b a b? ? ? ? ．请根据阅读
材料解决下列问题：
（1）填空：分解因式 2 4 4a a? ? ? 2( 2)a ? ；
（2）若 2| 1| 6 9 0a b b? ? ? ? ? ，求 a b? 的值；
（3）若 a、b、c分别是 ABC? 的三边，且 2 2 24 2 6 2 4 0a b c ab b c? ? ? ? ? ? ? ，试判断 ABC?
的形状，并说明理由．
【分析】（1）直接利用完全平方公式变形得出答案；
（2）直接利用非负数的性质进而得出 a， b的值，即可得出答案；
（3）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出 a， b， c的关系，进而得出 ABC? 的形
状．
解：（1） 2 24 4 ( 2)a a a? ? ? ? ；
故答案为： 2( 2)a ? ；
（2） 2| 1| 6 9 0a b b? ? ? ? ?? ，
2| 1| ( 3) 0a b? ? ? ? ? ，
1 0a? ? ? ， 3 0b ? ? ，
1a? ? ? ， 3b ? ，
1 3 2a b? ? ? ? ? ? ；
（3） 2 2 24 2 6 2 4 0a b c ab b c? ? ? ? ? ? ?? ，
2 2 2 2( 2 ) ( 2 1) (3 6 3) 0a ab b c c b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
即 2 2 2 2( 2 ) ( 2 1) 3( 2 1) 0a ab b c c b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
2 2 2( ) ( 1) 3( 1) 0a b c b? ? ? ? ? ? ? ，
0a b? ? ? ， 1 0c ? ? ， 1 0b ? ? ，
a b? ? ， 1c ? ， 1b ? ，
a b c? ? ? ，
a? 、 b、 c分别是 ABC? 的三边，
ABC?? 是等边三角形．
25．【问题背景】解方程： 4 25 4 0x x? ? ? ．
分析：这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，我们可以借助“换元法”将高次方程
“降次”，进而解得未知数的值．
解：设 2x y? ，那么 4 2x y? ，于是原方程可变为 2 5 4 0y y? ? ? ，解得 1 1y ? ， 2 4y ? ．
当 1 1y ? 时，
2 1x ? ， 1x ? ? ；当 2 4y ? 时，
2 4x ? ， 2x ? ? ；
原方程有四个根： 1 1x ? ， 2 1x ? ? ， 3 2x ? ， 4 2x ? ? ．
【触类旁通】参照例题解方程： 2 2 2( ) 4( ) 12 0x x x x? ? ? ? ? ；
【解决问题】已知实数 x， y满足 (2 2 3)(2 2 3) 27x y x y? ? ? ? ? ，求 x y? 的值；
【拓展迁移】分解因式： 2 2( 4 3)( 4 5) 1x x x x? ? ? ? ? ? 4( 2)x ? ．
【分析】 [触类旁通 ]：设 2x x y? ? ，则原方程化为 2 4 12 0y y? ? ? ，求出 y，再求出 x即
可；
[解决问题 ]：设 2 2x y a? ? ，则原方程化为 ( 3)( 3) 27a a? ? ? ，求出 a，再求出 x y? 即可；
[拓展迁移 ]：设 2 4 3x x a? ? ? ，得出 2 2( 4 3)( 4 5) 1 ( 2) 1x x x x a a? ? ? ? ? ? ? ? ，根据完全平
方公式分解因式，最后得出答案即可．
解：[触类旁通 ] :
2 2 2( ) 4( ) 12 0x x x x? ? ? ? ? ，
设 2x x y? ? ，则原方程化为： 2 4 12 0y y? ? ? ，
解得： 1 6y ? ， 2 2y ? ? ，
当 6y ? 时， 2 6x x? ? ，解得： 3x ? ? 或 2；
当 2y ? ? 时， 2 2x x? ? ? ，
2 2 0x x? ? ? ，
?此方程中的△ 21 4 1 2 7 0? ? ? ? ? ? ? ，
?此方程无解；
所以原方程的解为： 1 3x ? ? ， 2 2x ? ；
[解决问题 ] :
(2 2 3)(2 2 3) 27x y x y? ? ? ? ? ，
设 2 2x y a? ? ，则原方程化为： ( 3)( 3) 27a a? ? ? ，
整理得： 2 36a ? ，
解得： 6a ? ? ，
即 2 2 6x y? ? ? ，
所以 3x y? ? ? ；
[拓展迁移 ] :
设 2 4 3x x a? ? ? ，
则 2 2( 4 3)( 4 5) 1x x x x? ? ? ? ?
( 2) 1a a? ? ?
2 2 1a a? ? ?
2( 1)a? ?
2 2( 4 3 1)x x? ? ? ?
2 2( 4 4)x x? ? ?
4( 2)x? ? ，
故答案为： 4( 2)x ? ．
