八年级（下） 第2章 一元二次方程 单元测试卷
一、选择题
1．下列方程中，是一元二次方程的是
A． B． C． D．
2．方程的解是
A． B．、 C．和 D．或
3．解方程最适当的方法是
A．直接开平方法 B．配方法 C．因式分解法 D．公式法
4．已知是方程的一个根，则代数式的值是
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
5．关于的一元二次方程中，根的判别式的值为
A．8 B．12 C． D．
6．已知，是方程的两个实数根，则的值为
A． B． C． D．
7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是
A． B．
C． D．
8．某水果园2017年水果产量为50吨，2019年水果产量为70吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为
A． B． C． D．
9．为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请个好友转发，每个好友转发之后，又邀请个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则的值为
A．9 B．10 C．11 D．12
10．若是方程的一个根，设，，则与的大小关系为
A． B． C． D．不能确定
二．填空题（共8小题）
11．一元二次方程的根是 ．
12．若关于的方程有四个不同的解，则的取值范围是 ．
13．已知两个数的差等于2，积等于15，则这两个数中较大的是 ．
14．关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为 ．
15．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则 ．
16．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，该厂四、五、六月份的月平均增长率相同，那么六月份的产量为 辆．
17．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用，现在欲砌长的墙，砌成一个面积的矩形花园，则的长为 ．
18．规定：用表示大于的最小整数，例如，，等；用表示不大于的最大整数，例如，，，如果整数满足关系式：，则 ．
三．解答题（共7小题）
19．解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
20．已知关于的一元二次方程
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根为正数，求实数的取值范围．
21．已知、、为实数， 且，求方程的根 ．
22．阅读：对于所有的一元二次方程中，对于两根，，存在如下关系：，．试着利用这个关系解决问题．
设方程的两根为，，不解方程，求下列式子的值：．
23．如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为，另外三边利用学校现有总长的铁栏围成．
（1）若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽；
（2）能围成的面积为自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
24．某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台．设每台电风扇降价元．
（1）分别用含的代数式表示降价后平均每天的销售量和每台的利润．
（2）若要使每天销售利润达到1540元，求的值．
（3）请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由．
25．阅读下面的材料：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，则．
原方程可化为．
，，．
△．
．
解得，．
当时，，．
当时，，．
原方程有四个根是：，，，．
以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程：；
（2）已知实数，满足，试求的值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中，是一元二次方程的是
A． B． C． D．
解：、是一元一次方程，故不合题意；
、是二元二次方程，故不合题意；
、是分式方程，故不合题意；
、是一元二次方程，故符合题意．
故选：．
2．方程的解是
A． B．、 C．和 D．或
解：方程移项得：，
分解因式得：，
解得：或，
故选：．
3．解方程最适当的方法是
A．直接开平方法 B．配方法 C．因式分解法 D．公式法
解：先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
故选：．
4．已知是方程的一个根，则代数式的值是
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
解：由题意可知：，
，
原式
，
，
故选：．
5．关于的一元二次方程中，根的判别式的值为
A．8 B．12 C． D．
解：，
，，，
△．
故选：．
6．已知，是方程的两个实数根，则的值为
A． B． C． D．
解：、是方程两个实数根，
，，
，
故选：．
7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是
A． B．
C． D．
解：有两个不相等的实数根，
△，
解得，
．，，即，故不正确；
．，，即，故正确；
．，，即，故不正确；
．，，即，故不正确．
故选：．
8．某水果园2017年水果产量为50吨，2019年水果产量为70吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为
A． B． C． D．
解：2018年的产量为，
2019年的产量为，
即所列的方程为．
故选：．
9．为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请个好友转发，每个好友转发之后，又邀请个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则的值为
A．9 B．10 C．11 D．12
解：依题意，得：，
解得：，．
故选：．
10．若是方程的一个根，设，，则与的大小关系为
A． B． C． D．不能确定
解：是方程的一个根，
，
则
，
，
．
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．一元二次方程的根是 ， ．
解：，
，
所以，．
故答案为，．
12．若关于的方程有四个不同的解，则的取值范围是 ．
解：关于的方程有四个不同的解，
△，
即，
解得或，
而时，的值不可能等于0，
所以．
故填空答案：．
13．已知两个数的差等于2，积等于15，则这两个数中较大的是 5或 ．
解：设这两个数中的大数为，则小数为，由题意，得
，
解得：，，
这两个数中较大的数是5或
故答案为：5或
14．关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为 ．
解：关于的一元二次方程有实数根，
△，
解得：，
故答案为：．
15．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则 0 ．
解：
，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
，
，解得，
故答案为：0．
16．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，该厂四、五、六月份的月平均增长率相同，那么六月份的产量为 1331 辆．
解：设四、五月份的月平均增长率为，根据题意得：
，
解得，（不合题意，舍去），
则该厂四、五月份的月平均增长率为．
所以 六月份的产量为：（辆
故答案是：1331．
17．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用，现在欲砌长的墙，砌成一个面积的矩形花园，则的长为 20 ．
解：设米，则米．
根据题意可得，，
解得：，，
当，，
故（不合题意舍去），
．
故的长为20 ．
故答案为：20．
18．规定：用表示大于的最小整数，例如，，等；用表示不大于的最大整数，例如，，，如果整数满足关系式：，则 或2 ．
解：，
，
整理得，
，
或，
所以，．
即的值为或2．
故答案为或2．
三．解答题（共7小题）
19．解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）
；
（2）
或
，；
（3）
或
，．
20．已知关于的一元二次方程
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根为正数，求实数的取值范围．
解：（1）△
，
方程总有两个实数根．
（2），
，．
方程有一个根为正数，
，
．
21．已知、、为实数， 且，求方程的根 ．
解：，
，，，
原方程为，
这里，，，
．
22．阅读：对于所有的一元二次方程中，对于两根，，存在如下关系：，．试着利用这个关系解决问题．
设方程的两根为，，不解方程，求下列式子的值：．
解：方程的两个根为，，
，，
即，，
原式
，
原式．
23．如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为，另外三边利用学校现有总长的铁栏围成．
（1）若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽；
（2）能围成的面积为自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
解：（1）设，则；
根据题意列方程的，
，
解得，；
当，（米，
当，（米，而墙长，不合题意舍去，
答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为10米，18米；
（2）根据题意列方程的，
，
整理得出：；
△，
故此方程没有实数根，
答：因此如果墙长，满足条件的花园面积不能达到．
24．某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台．设每台电风扇降价元．
（1）分别用含的代数式表示降价后平均每天的销售量和每台的利润．
（2）若要使每天销售利润达到1540元，求的值．
（3）请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由．
解：（1）降价后平均每天的销售量：，
降价后销售的每台利润：；
（2）依题意，可列方程：
，
解方程得：，．
答：的值为1或5．
（3）依题意，可列方程：
，
化简得，
△．
故方程无实数根．
故该电风扇每天销售利润不能达到2000元．
25．阅读下面的材料：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，则．
原方程可化为．
，，．
△．
．
解得，．
当时，，．
当时，，．
原方程有四个根是：，，，．
以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程：；
（2）已知实数，满足，试求的值．
解：（1）设，则，
整理，得
，
解得，，
当即时，
解得：；
当即时，
解得：；
综上所述，原方程的解为，；
（2）设，则，
整理，得
，
解得，（舍去），
故．
八年级（下） 第 2章 一元二次方程 单元测试卷
一、选择题
1．下列方程中，是一元二次方程的是 ( )
A． 2 3 0x ? ? B． 2 2 0x y? ? C． 2 1 3x
x
? ? ? D． 2 0x ?
2．方程 ( 1)x x x? ? 的解是 ( )
A． 0x ? B． 0x ? 、 1x ? C． 0x ? 和 2x ? D． 0x ? 或 2x ?
3．解方程 23(2 1) 4(2 1)x x? ? ? 最适当的方法是 ( )
A．直接开平方法 B．配方法 C．因式分解法 D．公式法
4．已知 a是方程 2 1 0x x? ? ? 的一个根，则代数式 3 22 2019a a? ? 的值是 ( )
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
5．关于 x的一元二次方程 2 4 2 0x x? ? ? 中，根的判别式 2 4b ac? 的值为 ( )
A．8 B．12 C． 8? D． 12?
6．已知 1x ， 2x 是方程
2 7 3 0x x? ? ? 的两个实数根，则
1 2
1 1
x x
? 的值为 ( )
A． 7
3
? B． 3
7
? C． 7
3
D． 3
7
7．若关于 x 的一元二次方程 2 2 1 0x x kb? ? ? ? 有两个不相等的实数根，则一次函数
y kx b? ? 的大致图象可能是 ( )
A． B．
C． D．
8．某水果园 2017年水果产量为 50吨，2019年水果产量为 70吨，求该果园水果产量的年
平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为 x，则根据题意可列方程为 ( )
A． 250(1 ) 70x? ? B． 250(1 ) 70x? ? C． 270(1 ) 50x? ? D． 270(1 ) 50x? ?
9．为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下
的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 n个好友转发，每个好友转发之后，又
邀请 n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有 111个人参与了宣传
活动，则 n的值为 ( )
A．9 B．10 C．11 D．12
10．若 1x 是方程
2 2 0( 0)ax x c a? ? ? ? 的一个根，设 21( 1)p ax? ? ， 1.5q ac? ? ，则 p与 q的
大小关系为 ( )
A． p q? B． p q? C． p q? D．不能确定
二．填空题（共 8小题）
11．一元二次方程 24 9 0x ? ? 的根是 ．
12．若关于 x的方程 2 | | 4 0x k x? ? ? 有四个不同的解，则 k的取值范围是 ．
13．已知两个数的差等于 2，积等于 15，则这两个数中较大的是 ．
14．关于 x的一元二次方程 2 0x k? ? 有实数根，则实数 k的取值范围为 ．
15．已知 1x ， 2x 是关于 x的一元二次方程
2 5 0x x a? ? ? 的两个实数根，且 1 2| | 5x x? ? ，则
a ? ．
16．某电动自行车厂三月份的产量为 1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提
高到 1210辆，该厂四、五、六月份的月平均增长率相同，那么六月份的产量为 辆．
17．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD（围
墙MN 最长可利用 25 )m ，现在欲砌 50m长的墙，砌成一个面积 2300m 的矩形花园，则 BC
的长为 m．
18．规定：用{ }M 表示大于M 的最小整数，例如 5{ } 3
2
? ，{5} 6? ，{ 1.3} 1? ? ? 等；用 [ ]M
表示不大于M 的最大整数，例如 7[ ] 3
2
? ，[4] 4? ，[ 1.5] 2? ? ? ，如果整数 x满足关系式：
2{ } 4[ ] 17x x? ? ，则 x ? ．
三．解答题（共 7小题）
19．解下列方程：
（1） 2 6 9 0x x? ? ? ；
（2） 2 4 12x x? ? ；
（3） 3 (2 5) 4 10x x x? ? ? ．
20．已知关于 x的一元二次方程 2 ( 1) 2 0x k x k? ? ? ? ?
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根为正数，求实数 k的取值范围．
21．已知 a、b、 c为实数， 且 21 | 1| ( 3) 0a b c? ? ? ? ? ? ，求方程 2 0ax bx c? ? ? 的
根 ．
22．阅读：对于所有的一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ? 中，对于两根 1x ， 2x ，存在如下
关系： 1 2
bx x
a
? ? ? ， 1 2
cx x
a
? ．试着利用这个关系解决问题．
设方程 22 5 3 0x x? ? ? 的两根为 1x ， 2x ，不解方程，求下列式子的值：
2 2
1 2 12 4 5x x x? ? ．
23．如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的
后墙（可利用的墙长为19 )m ，另外三边利用学校现有总长 38m的铁栏围成．
（1）若围成的面积为 2180m ，试求出自行车车棚的长和宽；
（2）能围成的面积为 2200m 自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说
明理由．
24．某商店销售一款电风扇，平均每天可售出 24 台，每台利润 60元．为了增加利润，商
店准备适当降价，若每台电风扇每降价 5元，平均每天将多售出 4台．设每台电风扇降价 5x
元．
（1）分别用含 x的代数式表示降价后平均每天的销售量和每台的利润．
（2）若要使每天销售利润达到 1540元，求 x的值．
（3）请问该电风扇每天销售利润能否达到 2000元吗？请说明理由．
25．阅读下面的材料：
解方程 4 27 12 0x x? ? ? ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 2x y? ，则 4 2x y? ．
?原方程可化为 2 7 12 0y y? ? ? ．
1a? ? ， 7b ? ? ， 12c ? ．
?△ 2 24 ( 7) 4 1 12 1b ac? ? ? ? ? ? ? ? ．
2 4 ( 7) 1
2 2
b b acy
a
? ? ? ? ? ?
? ?? ? ? ．
解得 1 3y ? ， 2 4y ? ．
当 3y ? 时， 2 3x ? ， 3x ? ? ．
当 4y ? 时， 2 4x ? ， 2x ? ? ．
?原方程有四个根是： 1 3x ? ， 2 3x ? ? ， 3 2x ? ， 4 2x ? ? ．
以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列
问题．
（1）解方程： 2 2 2( ) 5( ) 4 0x x x x? ? ? ? ? ；
（2）已知实数 a， b满足 2 2 2 2 2( ) 3( ) 10 0a b a b? ? ? ? ? ，试求 2 2a b? 的值．
参考答案
一．选择题（共 10小题）
1．下列方程中，是一元二次方程的是 ( )
A． 2 3 0x ? ? B． 2 2 0x y? ? C． 2 1 3x
x
? ? ? D． 2 0x ?
解： A、是一元一次方程，故 A不合题意；
B、是二元二次方程，故 B不合题意；
C、是分式方程，故C 不合题意；
D、是一元二次方程，故D符合题意．
故选：D．
2．方程 ( 1)x x x? ? 的解是 ( )
A． 0x ? B． 0x ? 、 1x ? C． 0x ? 和 2x ? D． 0x ? 或 2x ?
解：方程移项得： ( 1) 0x x x? ? ? ，
分解因式得： ( 2) 0x x ? ? ，
解得： 0x ? 或 2x ? ，
故选：D．
3．解方程 23(2 1) 4(2 1)x x? ? ? 最适当的方法是 ( )
A．直接开平方法 B．配方法 C．因式分解法 D．公式法
解：先移项得到 23(2 1) 4(2 1) 0x x? ? ? ? ，然后利用因式分解法解方程．
故选：C．
4．已知 a是方程 2 1 0x x? ? ? 的一个根，则代数式 3 22 2019a a? ? 的值是 ( )
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
解：由题意可知： 2 1 0a a? ? ? ，
2 1a a? ? ? ，
?原式 3 2 2 2019a a a? ? ? ?
2 2( ) 2019a a a a? ? ? ?
2 2019a a? ? ? ，
1 2019? ?
2020? ，
故选：C．
5．关于 x的一元二次方程 2 4 2 0x x? ? ? 中，根的判别式 2 4b ac? 的值为 ( )
A．8 B．12 C． 8? D． 12?
解： 2 4 2 0x x? ? ? ，
1a ?? ， 4b ? ? ， 2c ? ，
?△ 2 24 ( 4) 4 1 2 16 8 8b ac? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ．
故选： A．
6．已知 1x ， 2x 是方程
2 7 3 0x x? ? ? 的两个实数根，则
1 2
1 1
x x
? 的值为 ( )
A． 7
3
? B． 3
7
? C． 7
3
D． 3
7
解： 1x? 、 2x 是方程
2 7 3 0x x? ? ? 两个实数根，
1 2 7x x? ? ? ， 1 2 3x x ? ，
? 1 2
1 2 1 2
1 1 7
3
x x
x x x x
?
? ? ? ，
故选：C．
7．若关于 x 的一元二次方程 2 2 1 0x x kb? ? ? ? 有两个不相等的实数根，则一次函数
y kx b? ? 的大致图象可能是 ( )
A． B．
C． D．
解： 2 2 1 0x x kb? ? ? ?? 有两个不相等的实数根，
?△ 4 4( 1) 0kb? ? ? ? ，
解得 0kb ? ，
A． 0k ? ， 0b ? ，即 0kb ? ，故 A不正确；
B． 0k ? ， 0b ? ，即 0kb ? ，故 B正确；
C． 0k ? ， 0b ? ，即 0kb ? ，故C不正确；
D． 0k ? ， 0b ? ，即 0kb ? ，故 D不正确．
故选： B．
8．某水果园 2017年水果产量为 50吨，2019年水果产量为 70吨，求该果园水果产量的年
平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为 x，则根据题意可列方程为 ( )
A． 250(1 ) 70x? ? B． 250(1 ) 70x? ? C． 270(1 ) 50x? ? D． 270(1 ) 50x? ?
解：2018年的产量为 50(1 )x? ，
2019年的产量为 250(1 )(1 ) 50(1 )x x x? ? ? ? ，
即所列的方程为 250(1 ) 70x? ? ．
故选： B．
9．为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下
的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 n个好友转发，每个好友转发之后，又
邀请 n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有 111个人参与了宣传
活动，则 n的值为 ( )
A．9 B．10 C．11 D．12
解：依题意，得： 21 111n n? ? ? ，
解得： 1 10n ? ， 2 11n ? ? ．
故选： B．
10．若 1x 是方程
2 2 0( 0)ax x c a? ? ? ? 的一个根，设 21( 1)p ax? ? ， 1.5q ac? ? ，则 p与 q的
大小关系为 ( )
A． p q? B． p q? C． p q? D．不能确定
解： 1x? 是方程
2 2 0( 0)ax x c a? ? ? ? 的一个根，
2
1 12ax x c? ? ? ，
则 21( 1) ( 1.5)p q ax ac? ? ? ? ?
2 2
1 12 1 1.5a x ax ac? ? ? ? ?
2
1 1( 2 ) 0.5a ax x ac? ? ? ?
0.5ac ac? ? ?
0.5? ? ，
0p q? ? ? ，
p q? ? ．
故选： A．
二．填空题（共 8小题）
11．一元二次方程 24 9 0x ? ? 的根是 1
3
2
x ? ， 2
3
2
x ? ? ．
解： 24 9x ? ，
2 9
4
x ? ，
所以 1
3
2
x ? ， 2
3
2
x ? ? ．
故答案为 1
3
2
x ? ， 2
3
2
x ? ? ．
12．若关于 x的方程 2 | | 4 0x k x? ? ? 有四个不同的解，则 k的取值范围是 4k ? ．
解：?关于 x的方程 2 | | 4 0x k x? ? ? 有四个不同的解，
?△ 2 24 16 0b ac k? ? ? ? ? ，
即 2 16k ? ，
解得 4k ? ? 或 4k ? ，
而 4k ? ? 时， 2 | | 4x k x? ? 的值不可能等于 0，
所以 4k ? ．
故填空答案： 4k ? ．
13．已知两个数的差等于 2，积等于 15，则这两个数中较大的是 5或 3? ．
解：设这两个数中的大数为 x，则小数为 2x ? ，由题意，得
( 2) 15x x ? ? ，
解得： 1 5x ? ， 2 3x ? ? ，
?这两个数中较大的数是 5或 3?
故答案为：5或 3?
14．关于 x的一元二次方程 2 0x k? ? 有实数根，则实数 k的取值范围为 0k? ．
解：?关于 x的一元二次方程 2 0x k? ? 有实数根，
?△ 20 4 1 0k? ? ? ? ? ，
解得： 0k? ，
故答案为： 0k? ．
15．已知 1x ， 2x 是关于 x的一元二次方程
2 5 0x x a? ? ? 的两个实数根，且 1 2| | 5x x? ? ，则 a ?
0 ．
解：
1x? ， 2x 是关于 x的一元二次方程
2 5 0x x a? ? ? 的两个实数根，
1 2 5x x? ? ? ? ， 1 2x x a? ，
2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 ( 5) 4 25 4x x x x x x a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
1 2| | 5x x? ?? ，
2
1 2 1 2( ) 4 25x x x x? ? ? ? ，
25 4 25a? ? ? ，解得 0a ? ，
故答案为：0．
16．某电动自行车厂三月份的产量为 1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提
高到 1210辆，该厂四、五、六月份的月平均增长率相同，那么六月份的产量为 1331 辆．
解：设四、五月份的月平均增长率为 x，根据题意得：
21000(1 ) 1210x? ? ，
解得 1 0.1x ? ， 2 2.1x ? ? （不合题意，舍去），
则该厂四、五月份的月平均增长率为10%．
所以 六月份的产量为：1210 (1 10%) 1331? ? ? （辆 )
故答案是：1331．
17．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD（围
墙MN 最长可利用 25 )m ，现在欲砌 50m长的墙，砌成一个面积 2300m 的矩形花园，则 BC
的长为 20 m．
解：设 AB x? 米，则 (50 2 )BC x? ? 米．
根据题意可得， (50 2 ) 300x x? ? ，
解得： 1 10x ? ， 2 15x ? ，
当 10x ? ， 50 10 10 30 25BC ? ? ? ? ? ，
故 1 10x ? （不合题意舍去），
50 2 50 30 20x? ? ? ? ．
故 BC的长为 20 m．
故答案为：20．
18．规定：用{ }M 表示大于M 的最小整数，例如 5{ } 3
2
? ，{5} 6? ，{ 1.3} 1? ? ? 等；用 [ ]M
表示不大于M 的最大整数，例如 7[ ] 3
2
? ，[4] 4? ，[ 1.5] 2? ? ? ，如果整数 x满足关系式：
2{ } 4[ ] 17x x? ? ，则 x ? 8? 或 2 ．
解： 2{ } 4[ ] 17x x? ?? ，
2( 1) 4 17x x? ? ? ? ，
整理得 2 6 16 0x x? ? ? ，
( 8)( 2) 0x x? ? ? ，
8 0x ? ? 或 2 0x ? ? ，
所以 1 8x ? ? ， 2 2x ? ．
即 x的值为 8? 或 2．
故答案为 8? 或 2．
三．解答题（共 7小题）
19．解下列方程：
（1） 2 6 9 0x x? ? ? ；
（2） 2 4 12x x? ? ；
（3） 3 (2 5) 4 10x x x? ? ? ．
解：（1） 2 6 9 0x x? ? ?
2( 3) 0x ? ?
3 0x ? ?
1 2 3x x? ? ? ；
（2） 2 4 12x x? ?
2 4 12 0x x? ? ?
( 2)( 6) 0x x? ? ?
2 0x ? ? 或 6 0x ? ?
1 2x? ? ? ， 2 6x ? ；
（3） 3 (2 5) 4 10x x x? ? ?
3 (2 5) 2(2 5) 0x x x? ? ? ?
(2 5)(3 2) 0x x? ? ?
2 5 0x ? ? 或 3 2 0x ? ?
1
5
2
x? ? ， 2
2
3
x ? ．
20．已知关于 x的一元二次方程 2 ( 1) 2 0x k x k? ? ? ? ?
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根为正数，求实数 k的取值范围．
解：（1）△ 2 2 2( 1) 4( 2) 2 1 4 8 ( 3)k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2( 3) 0k ?? ? ，
?方程总有两个实数根．
（2）?
2( 1) ( 3)
2
k k
x
? ? ? ?
? ，
1 1x? ? ? ， 2 2x k? ? ．
?方程有一个根为正数，
2 0k? ? ? ，
2k ? ．
21．已知 a、b、 c为实数， 且 21 | 1| ( 3) 0a b c? ? ? ? ? ? ，求方程 2 0ax bx c? ? ? 的
根 ．
解：? 21 | 1| ( 3) 0a b c? ? ? ? ? ? ，
1a? ? ， 1b ? ? ， 3c ? ? ，
原方程为 2 3 0x x? ? ? ，
这里 1a ? ， 1b ? ? ， 3c ? ? ，
1 13
2
x ?? ? ．
22．阅读：对于所有的一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ? 中，对于两根 1x ， 2x ，存在如下
关系： 1 2
bx x
a
? ? ? ， 1 2
cx x
a
? ．试着利用这个关系解决问题．
设方程 22 5 3 0x x? ? ? 的两根为 1x ， 2x ，不解方程，求下列式子的值：
2 2
1 2 12 4 5x x x? ? ．
解：?方程 22 5 3 0x x? ? ? 的两个根为 1x ， 2x ，
2
1 12 5 3 0x x? ? ? ? ，
2
2 22 5 3 0x x? ? ? ，
即 21 12 5 3x x? ? ，
2
2 22 5 3x x? ? ，
?原式 1 2 15 3 2(5 3) 5x x x? ? ? ? ?
1 210( ) 9x x? ? ?
1 2
5
2
x x? ?? ，
?原式
510 9 34
2
? ? ? ? ．
23．如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的
后墙（可利用的墙长为19 )m ，另外三边利用学校现有总长 38m的铁栏围成．
（1）若围成的面积为 2180m ，试求出自行车车棚的长和宽；
（2）能围成的面积为 2200m 自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说
明理由．
解：（1）设 AB x? ，则 38 2BC x? ? ；
根据题意列方程的，
(38 2 ) 180x x? ? ，
解得 1 10x ? ， 2 9x ? ；
当 10x ? ， 38 2 18x? ? （米 )，
当 9x ? ， 38 2 20x? ? （米 )，而墙长19m，不合题意舍去，
答：若围成的面积为 2180m ，自行车车棚的长和宽分别为 10米，18米；
（2）根据题意列方程的，
(38 2 ) 200x x? ? ，
整理得出： 2 19 100 0x x? ? ? ；
△ 2 4 361 400 39 0b ac? ? ? ? ? ? ? ，
故此方程没有实数根，
答：因此如果墙长19m，满足条件的花园面积不能达到 2200m ．
24．某商店销售一款电风扇，平均每天可售出 24 台，每台利润 60元．为了增加利润，商
店准备适当降价，若每台电风扇每降价 5元，平均每天将多售出 4台．设每台电风扇降价 5x
元．
（1）分别用含 x的代数式表示降价后平均每天的销售量和每台的利润．
（2）若要使每天销售利润达到 1540元，求 x的值．
（3）请问该电风扇每天销售利润能否达到 2000元吗？请说明理由．
解：（1）降价后平均每天的销售量： 24 5 5 4 24 4x x? ? ? ? ? ，
降价后销售的每台利润： 60 5x? ；
（2）依题意，可列方程：
(60 5 )(24 4 ) 1540x x? ? ? ，
解方程得： 1 1x ? ， 2 5x ? ．
答： x的值为 1或 5．
（3）依题意，可列方程：
(60 5 )(24 4 ) 2000x x? ? ? ，
化简得 2 6 28 0x x? ? ? ，
△ 2( 6) 4 1 28 76 0? ? ? ? ? ? ? ? ．
故方程无实数根．
故该电风扇每天销售利润不能达到 2000元．
25．阅读下面的材料：
解方程 4 27 12 0x x? ? ? ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 2x y? ，则 4 2x y? ．
?原方程可化为 2 7 12 0y y? ? ? ．
1a? ? ， 7b ? ? ， 12c ? ．
?△ 2 24 ( 7) 4 1 12 1b ac? ? ? ? ? ? ? ? ．
2 4 ( 7) 1
2 2
b b acy
a
? ? ? ? ? ?
? ?? ? ? ．
解得 1 3y ? ， 2 4y ? ．
当 3y ? 时， 2 3x ? ， 3x ? ? ．
当 4y ? 时， 2 4x ? ， 2x ? ? ．
?原方程有四个根是： 1 3x ? ， 2 3x ? ? ， 3 2x ? ， 4 2x ? ? ．
以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列
问题．
（1）解方程： 2 2 2( ) 5( ) 4 0x x x x? ? ? ? ? ；
（2）已知实数 a， b满足 2 2 2 2 2( ) 3( ) 10 0a b a b? ? ? ? ? ，试求 2 2a b? 的值．
解：（1）设 2y x x? ? ，则 2 5 4 0y y? ? ? ，
整理，得
( 1)( 4) 0y y? ? ? ，
解得 1 1y ? ， 2 4y ? ，
当 2 1x x? ? 即 2 1 0x x? ? ? 时，
解得：
1 5
2
x ? ?? ；
当 2 4x x? ? 即 2 4 0x x? ? ? 时，
解得：
1 17
2
x ? ?? ；
综上所述，原方程的解为 1,2
1 5
2
x ? ?? ， 3,4
1 17
2
x ? ?? ；
（2）设 2 2x a b? ? ，则 2 3 10 0x x? ? ? ，
整理，得
( 5)( 2) 0x x? ? ? ，
解得 1 5x ? ， 2 2x ? ? （舍去），
故 2 2 5a b? ? ．
