2020春华师版九下数学26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第4课时课件（44张ppt）

课件44张PPT。第4课时 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象
在坐标系中画出函数y=x2+2x+3的图象
由于y=x2+2x+3可化为y=(x+1)2+2，所以y=x2+2x+3的图象的开口
向上，对称轴为x=-1，顶点坐标为(-1,2).①列表26②描点、连线 观察表格和图象：
(1)从图象可以看出函数y=(x+1)2+2的图象是一条_______，开口
方向向___，对称轴是x=___，顶点坐标为(___，2)；
(2)当x<___时，函数值y随x的增大而减小；当x>-1时，函数值
y随x的增大而_____；当x=-1时，函数有最___值，最小值为y=__.抛物线上-1-1-1增大小22.二次函数y=ax2+bx+c的性质
(1)把y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式.
y=ax2+bx+c______________________________由于y=ax2+bx+c可变形为 ,具有y=a(x-
h)2+k的形式，所以它的图象是_______，h= ,k= .抛物线____________(2)函数y=ax2+bx+c与函数y=ax2的联系及它的对称轴和顶点坐
标.
①函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线，形状与y=ax2相同，只
是位置不同；
②函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线 ，顶点坐标为
.____________(3)函数y=ax2+bx+c的性质上小减小下大增大【点拨】对于二次函数y=ax2+bx+c，它的顶点坐标和对称轴只
与a，b，c有关.
【预习思考】二次函数y=ax2+bx+c中的c的值能决定它的抛物线
的什么位置？
提示：抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标为(0，c),所以二次函
数y=ax2+bx+c中的c的值能决定抛物线与y轴的交点的位置. 抛物线y=ax2+bx+c的图象与性质
【例1】已知抛物线y=-x2+2x+2.
(1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标是______；
(2)选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画
出该抛物线的图象；(3)若该抛物线上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)的横坐标满足
x1>x2>1，试比较y1与y2的大小.【解题探究】(1)把抛物线y=-x2+2x+2化成y=a(x-h)2+k(a≠0)
的形式为y=-(x-1)2+3，所以抛物线y=-x2+2x+2的对称轴是
x=1，顶点坐标是(1,3). (2)由于抛物线y=-x2+2x+2的对称轴是x=1，所以选取适当的x值
时要以1为中心,左右再各取两个值，最少取5个值,因此可填表
如下：描点、连线，可得到如图所示的抛物线： (3)因为抛物线上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)的横坐标满足
x1>x2>1，所以这两点在对称轴x=1的右侧.由抛物线y=-x2+2x+2
的性质可知，在对称轴x=1右侧，y随x的增大而减小，又因为
x1>x2>1，所以y1在画二次函数的图象及理解图象性质时应注意的问题
1.画函数图象时，若抛物线与x轴有交点，最好选取交点描点，
尤其是在作抛物线草图时应抓住以下五个关键点：开口方向，
对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.
2.列表时应以对称轴为中心选值，间距要适当，描点画图时要
依据已知抛物线的特点，一般先找出特殊点，并用虚线画出
对称轴，然后再对称描点连线.
3.在理解和记忆二次函数的性质时，要结合图象，做到数形结合.【跟踪训练】
1.对于二次函数y=2(x+1)(x-3),下列说法
正确的是( )
(A)图象的开口向下
(B)当x>1时,y随x的增大而减小
(C)当x<1时,y随x的增大而减小
(D)图象的对称轴是直线x=-1【解析】选C.二次函数y=2(x+1)(x-3)可化为y=2x2-4x-6的形式,
可得二次函数的对称轴为
∵此二次函数中a=2>0,∴抛物线开口向上,故A选项错误;∵由二
次函数的关系式可知,此抛物线开口向上,对称轴为x=1,∴当x>1
时,y随x的增大而增大,故B选项错误;∵由二次函数的关系式可
知,此抛物线开口向上,对称轴为x=1,∴当x<1时,y随x的增大而
减小,故C选项正确;二次函数的对称轴为x=1,故D选项错误.2.抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是______.
【解析】方法一：对于一般形式的抛物线方程，通过配方可化
为顶点式y=a(x+h)2+k的形式，从而得到顶点坐标；具体变形为
y=(x-1)2-4，所以顶点坐标为(1，-4).
方法二：直接用抛物线的顶点坐标
答案：(1，-4)3.已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1，那么m的值是_____.
【解析】函数的最小值即顶点的纵坐标,
因为a=1,b=-6,c=m,所以
即
答案：10 抛物线y=ax2+bx+c与a,b,c的符号的关系
【例2】(8分)如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，试判断a,b,c
及b2-4ac的正负.【规范解答】∵抛物线开口向上，∴a>0.………………2分
∵对称轴 ………………………………4分
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c<0.…………………6分
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴当y=0时，方程ax2+bx+c=0有两个不同的解，
即b2-4ac>0.…………………………………………………8分【互动探究】1.通过观察抛物线y=ax2+bx+c在坐标系中的位
置，当x=1时，可以确定的数值是什么？
提示：通过观察抛物线y=ax2+bx+c在坐标系中的位置，当x=1
时，可以确定a+b+c的值.2.通过观察抛物线y=ax2+bx+c在坐标系中的位置，当x=-1时，
可以确定的数值是什么？
提示：通过观察抛物线y=ax2+bx+c在坐标系中的位置，当x=-1
时，可以确定a-b+c的值.【规律总结】
二次函数y=ax2+bx+c的图象的特征与a，b，c的符号之间的关系
1.a决定开口方向和大小:
(1)a>0?开口向上;
(2)a<0?开口向下;
(3)|a|相同时,抛物线形状相同,|a|越大,抛物线开口越小.2.a，b决定对称轴位置:
(1)b=0?对称轴为y轴;
(2)a,b同号?对称轴在y轴左侧;
(3)a,b异号?对称轴在y轴右侧.
3.c决定抛物线与y轴的交点位置:
(1)c=0?过原点;
(2)c>0?交点在y轴的正半轴上;
(3)c<0?交点在y轴的负半轴上. 【跟踪训练】
4.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面
直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )
(A)a>0 (B)b<0
(C)c<0 (D)a+b+c>0【解析】选D.因为抛物线开口向下，二次项系数a<0，所以A
项错误；根据对称轴方程x ，a<0，所以b>0，所以B项
错误；因为抛物线与y轴的交点在x轴上方，所以c>0，所以C
项错误；因为直线x=1与抛物线的交点在x轴上方，所以x=1时，
函数值y=a+b+c>0，所以D项正确．5.小强从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出
了下面五条信息：(1)a＜0；(2)c＞1；(3)b＞0；(4)a+b+c＞
0；(5)a-b+c＞0．你认为其中正确的信息有( )
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个【解析】选C.(1)由抛物线的开口向下知a＜0，故正确；(2)由
抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上且大于1，可推出c＞1，故
正确；(3)由图可知对称轴为 ，可推出a，b异号，又
∵a＜0，∴b＞0，故正确；
(4)由抛物线与x轴的交点可以看出，当x=1时，y＞0，所以
a+b+c＞0，故正确；
(5)由抛物线与x轴的交点可以看出，当x=-1时，y＜0，所以
a-b+c＜0，故错误.【变式训练】如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x= ,小亮通
过观察得出了下面四条信息：
①c＜0，②abc＜0，③a-b+c＞0，④2a-3b=0．你认为其中正确
的有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个【解析】选B.①由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，可知
c＜0，正确；
②由抛物线的开口向上知，a＞0，对称轴为 ,a,b异
号，即b＜0,∴abc＞0，错误；
③当x=-1时，y=a-b+c＞0，正确；
④由对称轴为 得2a+3b=0，错误．6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1，0)，且顶点在第一
象限．有下列三个结论：①a＜0；②a+b+c＞0；③ 把
正确结论的序号填在横线上______________.【解析】由抛物线开口向下可推出a＜0；因为对称轴在y轴右，
对称轴为
由图象可知：当x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0．
∴①②③都正确.
答案：①②③ 1.如图,二次函数的图象经过(-2,-1),(1,1)
两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是( )
(A)y的最大值小于0 (B)当x=0时,y的值大于1
(C)当x=-1时,y的值大于1 (D)当x=-3时,y的值小于0【解析】选D.由图象知,点(1,1)在图象的对称轴的左边,所以y
的最大值大于1,不小于0，故A项错误;由图象知,当x=0时,y的值
就是函数图象与y轴的交点,而图象与y轴的交点在(1,1)点的左
边,故y<1，故B项错误;对称轴在(1,1)的右边,在对称轴的左边y
随x的增大而增大,∵-1<1,∴x=-1时,y的值小于1，故C项错误;
当x=-3时,函数图象上的点在点(-2,-1)的左边,所以y的值小于
0，故D项正确.2.若二次函数y=x2-6x+c的图象过A(-1,y1),
B(2,y2),C(3+ ,y3) 三点，则y1,y2,y3的大小关系正确的是
( )
(A)y1>y2>y3 (B)y1>y3>y2
(C)y2>y1>y3 (D)y3>y1>y2【解析】选B.方法一：y=x2-6x+c=
(x-3)2-9+c，对称轴为直线
x=3．如图可得出y1>y3>y2.
方法二：把A,B,C三点坐标分别代入关系
式,化简得：y1=7+c，y2=-8+c，y3=-7+c．
所以y1>y3>y2．故选B.3.将二次函数y=x2-4x+5化为y=(x-h)2+k的形
式，则y=______________.
【解析】y=x2-4x+5=x2-4x+4-4+5=(x-2)2+1.
答案：(x-2)2+14.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P(a，bc)在
第_____象限.【解析】∵抛物线的开口向下，∴a＜0，
∵对称轴在y轴左边，
∴a，b同号即b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，∴bc＜0，
∴点P(a，bc)在第三象限.
答案：三5.已知抛物线
(1)确定此抛物线的顶点在第几象限;
(2)确定此抛物线的对称轴;
(3)假设抛物线经过原点，求抛物线的顶点坐标.【解析】(1)
其顶点坐标为 而
所以顶点在第二象限.
(2)其对称轴为直线x=-1.
(3)若抛物线过原点(0，0),
则
∴顶点坐标为(-1，1).