(共24张PPT)
浙教版
初中数学
1.1二次函数
导入新课
目前我们已经学习了那几种类型的函数？
一次函数
y=kx+b(k≠0)
正比例函数
y=kx(k≠0)
反比例函数
导入新课
一个长方形温室的占地面积为y（m2），周长为120
m，
一边长为x（m）
.你能得出y与x的函数关系吗？
y=x(60-x)
合作学习
用适当的函数表达式表示下列问题中两个变量y与x之间的关系
(1)圆的面积
y
(
)与圆的半径
x
(
Cm
)
y
=πx2
(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为
x,
两年后王先生共得本息y元;
y
=
2(1+x)2=2x2+4x+2
合作学习
(
3）一个温室连同外围通道的矩形平面图如图
1-1这个矩形的周长为
120m，设一条边长为x（m），种植用地面积为y（m2）
y
=
(60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112
这些关系中
y是x的什么函数？
新知讲解
1、y
=πx2
2、y
=
2(1+x)2
3、y
=
(60-x-4)(x-2)
=2x2+4x+2
=-x2+58x-112
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征
想一想一次函数的定义，那么二次函数是怎样定义的呢？
(1)右边都是关于x的整式.
(2)自变量x的最高次数是2
新知讲解
我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
y=ax2
+bx
+c
二次项系数
一次项系数
常数项
二次函数的一般式
自主练习
下列函数中，哪些是二次函数？
是
不是
是
是
不是
判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二次项的系数是否为0．
新知讲解
分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)二次项系数：1，一次项系数：0，常数项：1
(2)二次项系数：-3，一次项系数：7，常数项：-12
(3)二次项系数：-2，一次项系数：2，常数项：0
例题解析
例、m取何值时，函数y=(m+1)是二次函数？
解：∵函数是二次函数
∴0
∴m=3
自主练习
1、如果函数y=是二次函数，则k的值一定是
。
2、如果函数y=(k-3)是二次函数，则k的值一定是
。
0或3
0
新知讲解
想一想:
函数y=a当a，b，c满足什么条件时：
(1)它是二次函数？
(2)它是一次函数？
(3)它是正比例函数？
解：(1)a≠0，它是二次函数
(2)a=0，b≠0，它是一次函数
(3)a=0，
b≠0，c=0，它是正比例函数
例题解析
例1、如图
1-2，一
张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去
4
个全等的直角三角形（图中阴影部分）
,设AE＝BF＝CG＝DH＝X（cm），四边形EFGH的面积为y（cm2）
.
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.
（2）当x分别为
0.25，
0.5，
1，
1.5，
1.75
时，求对应的四边形EFGH的面积，
并列表表示.
解：(1)由题意，0y=
即所求函数表达式为：
例题解析
解：(2)当x=0.25cm时，
y=2×
依次计算可得，
当x=0.5cm时，y=2.5(cm2)；当x=1cm时，y=2(cm2)
当x=1.5cm时，
y=2.5(cm2)；当x=1.75cm时，y=3.125(cm2)
列表如下：
X(cm)
0.25
0.5
1
1.5
1.75
y(cm2)
3.125
2.5
2
2.5
3.125
例题解析
例2:已知二次函数y=x +bx+c,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为-
5,
求这个二次函数的解析式.
解：把x=1，y=4和x=2，y=-5分别代入函数y=
解得，b=-12，c=15
∴所求的二次函数是y=
待定系数法
自主练习
已知函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x=0时，y=-5；当x=1时，y=-8；当x=-1时，y=0，求函数解析式。
解：依题意，得
解得
∴二次函数解析式是y=x2-4x-5
课堂练习
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y=3x-1
B．y=a+bx+c
C．s=2-2t+1
D．y=+
2、下列函数关系中，可以看做二次函数y=a
+bx+c模型的是（
）
A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B．我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与半径之间的关系
C
C
课堂练习
3．(温州中考)如果函数y=（a-1）x2是二次函数，那么a的取值范围是
.
4.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为
y=
．
a＞1或a＜1
a（1+x）2
课堂练习
5．如图2
-
4所示，长方形ABCD的长为5
cm，宽为4
cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)上述函数是什么函数
(3)自变量x的取值范围是什么
课堂练习
解：(1)根据长方形的面积公式，得
y＝(5－x
)·(4－x)＝x2－9x＋20，
所以y与x的函数关系式为y＝x2－9x＋20．
(
2)上述函数是二次函数．
(3)自变量x的取值范围是0＜x＜4．
课堂练习
6、一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xcm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12cm时，计算菜园的面积。
解：由题意得：y=x(40-2x)
即：y=-2x2+40x(0当x=12m时，菜园的面积为：(40-2x)m
课堂小结
1.二次函数的概念
2.待定系数法求二次函数的方法
形如y=ax +bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.称：a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项
分别将a，b，c的值代入函数解析式的一般形式，解方程组即可
布置作业
基础作业
教材第6页作业题A组第1、2、3题
能力作业
教材第7页作业题B组第5、6题
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1.1二次函数导学案
课题
二次函数
单元
1
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式；
2、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围；
3、会用待定系数法求二次函数的解析式.
重点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c）是常数，且a≠0）的概念
难点：本课时中的“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的抽象概括能力
教学过程
知识链接
问题：
1.目前我们已经学习了那几种类型的函数？
一次函数和反比例函数
2.一个长方形温室的占地面积为y（m2），周长为120
m，
一边长为x（m）
.你能得出y与x的函数关系吗？
合作探究
一、教材4页
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中
的两个变量
y
与
X
之间的关系·
(1)圆的面积
y
(cm2)与圆的半径
x
(cm)
(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文
x
两年后王先生共得本息y元;
(3)一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om
,
室内通道的尺寸如图,设一条边长为
x
(cm),
种植面积为
y
(m2)
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征
总结：我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做
,称：a为
，b为
，c为常数项，
二、教材58页做一做
1.下列函数中,哪些是二次函数
⑴y=x2；⑵y=-；⑶y=2x2-x-1；⑷y=x(1-x)；⑸y=(x-1)2-(x+1)(x-1)；
2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项？
⑴y=x2+1⑵
y=-3x2+7x-12
⑶y=2x(1-x)
三、教材5页例题
例1、如图
1-2，一
张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去
4
个全等的直角三角形（图中阴影部分）
,设AE＝BF＝CG＝DH＝X（cm），四边形EFGH的面积为y（cm2）
.
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.
（2）当x分别为
0.25，
0.5，
1，
1.5，
1.75
时，求对应的四边形EFGH的面积，
并列表表示.
例2:已知二次函数y=x +bx+c,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为-
5,
求这个二次函数的解析式.
待定系数法求二次函数解析式的基本步骤：
;
.
自主尝试
1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是(
)
A.
y＝
B.
y＝2x＋1
C.
y＝x2＋x－2
D.
y2＝x2＋3x
2.
函数y＝(m－n)x2＋mx＋n是二次函数的条件是(
)
A.
m,n为常数，且m≠0
B.
m,n为常数，且m≠n
C.
m,n为常数，且n≠0
D.
m,n可以为任何常数
3.
正方形的边长为3，若边长增加x时，面积增加y，则y关于x的函数表达式为(
)
A.
y＝x2＋9
B.
y＝(x＋3)2
C.
y＝x2＋6x
D.
y＝9－3x2[w
【方法宝典】
利用二次函数的定义解答即可。
当堂检测
1.下列四个函数：①y=-x；②y=x；③y=；④y=x2.其中二次函数的个数为(
).
A.1
B.2
C.3
D.4
2.下列函数中，当x=0时，y=0的是(
).
A.y=
B.
y=x2-1
C.y=5x2-3x
D.y=-3x+7
3.二次函数y=2x(x-3)的二次项系数与一次项系数之和为(
).
A.2
B.-2
C.-1
D.-4
4.某工厂第一年的利润为20万元，第三年的利润为y万元.设该公司利润的平均年增长率为x,则y关于x的二次函数的表达式为(
).
A.y=20(1-x)2
B.y=20(1+x)2
C.y=(1-x)2+2
D.y=(1-x)2-20
5.已知函数y=kxk2+k是关于x的二次函数，那么k=
．
6.对于二次函数
y＝2x2－bx＋3，当x＝1时，y=1，则b的值为
．
7.已知函数y=x2-6x+9，当x=
时，函数值为0．
8.小汽车刹车距离s(m)关于速度v(km/h)的二次函数表达式为s=v2.一辆小汽车正以100km/h的速度行驶，突然发现前方80m处停着一辆故障车，此时小汽车刹车
(填“会”或“不会”)有危险．
9.已知y=(m－4)xm2-3m-2+2x－3是二次函数，求m的值．
10.已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=0时，y=7;当x=1时，y=0;当x=-2时，y=9.求它的函数表达式.
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
二次函数的概念以及待定系数法求解析式
参考答案：
当堂检测：
1．A
2.C
3.D
4.B
5．1或－2
6．4
7.
3
8.会
9.
由题意得，解得m=－1.
10．根据题意得，,解得.
∴它的函数表达式为y=-2x2-5x+7.
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精品试卷·第
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