(共29张PPT)
第3节 等腰三角形的性质
第1课时 等腰三角形的性质定理1
第2章 特殊三角形
浙教版 八年级上
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D
A
D
C
C
A
A
D
D
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20°
15°
45°或36°
证明见习题
证明见习题
(1)证明见习题
(2) ∠DFC＝60°
(1)证明见习题
(2) ∠BDE＝69°
(1) ∠β＝90°
(2) ∠α＋∠β＝180°，理由见习题
1．【中考?盐城】若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
D
2．【 2018·兰州】如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝65°，则∠2的度数是( )
A．50° B．60°
C．65° D．70°
A
3．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为( )
A．25° B．60°
C．85° D．95°
D
4．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是( )
A．180° B．220°
C．240° D．300°
C
5．【 2017·台州】如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( )
A．AE＝EC B．AE＝BE
C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
C
6．【中考·泰安】如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK.若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( )
A．44° B．66°
C．88° D．92°
7．【中考·枣庄】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC的延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线交于点D，则∠D等于( )
A．15° B．17.5°
C．20° D．22.5°
A
8．如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于( )
A．20° B．30°
C．35° D．40°
B
9．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是( )
A．30° B．60°
C．150° D．30°或150°
【点拨】如图①，当△ABC为锐角三角形时，BD⊥AC，∠ABD＝60°.由三角形内角和为180°，可得等腰三角形的顶角为30°.如图②，当△ABC为钝角三角形时，BD⊥AC，交CA的延长线于点D，∠ABD＝60°.由三角形内角和为180°，可得∠BAD＝30°，所以等腰三角形的顶角为150°.故选D.
10．【中考·泰州】如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于________．
20°
11．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________．
15°
12．【中考·宿迁】如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.
证明：因为AB＝AD＝AC，
所以∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D.
又因为AD∥BC，
所以∠DBC＝∠D.所以∠ABD＝∠DBC.
所以∠C＝∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝2∠D.
13．【 2018·浙江杭州上城期中】已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，连结AD.若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数为____________．
【点拨】如图①，当AD＝BD，AD＝CD时，∵AB＝AC，
∴△ADB≌△ADC.∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∴∠C＝45°.
如图②，当AB＝BD，CD＝AD时，∠BDA＝∠BAD，∠C＝∠DAC.
∴∠BDA＝∠C＋∠DAC＝2∠C.∴∠BAD＝2∠C.
∴∠B＝180°－∠BAC－∠C
＝180°－(∠BAD＋∠DAC)－∠C
＝180°－(2∠C＋∠C)－∠C
＝180°－4∠C.
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴180°－4∠C＝∠C.∴∠C＝36°.
【答案】45°或36°
证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF.∴∠FAD＝∠ADF.
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠CAD.
∵∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，∠ADF＝∠B＋∠DAB，
∴∠FAC＝∠B. ∴∠BAC＋∠FAC＝∠B＋∠BAC，
即∠BAF＝∠ACF.
14．如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连结AF.
求证：∠BAF＝∠ACF.
15．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.
(1)求证：AD＝CE；
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠EAC＝∠B＝60°，AC＝BA.
又∵AE＝BD，
∴△AEC≌△BDA(SAS)．
∴AD＝CE.
(2)求∠DFC的度数．
解：(1)知△AEC≌△BDA，
∴∠ACE＝∠BAD.
∴∠DFC＝∠FAC＋∠ACE＝∠FAC＋∠BAD＝60°.
16．【 2017·苏州】如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.
(1)求证：△AEC≌△BED；
(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．
解：∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.
在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，
∴∠C＝∠EDC＝69°，
∴∠BDE＝∠C＝69°.
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝∠α，点D是边BC上一动点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转∠α后到达AE位置，连结DE，CE，设∠BCE＝∠β.
(1)如图①，若∠α＝90°，求∠β的大小；
解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°.
∵∠DAB＝∠α－∠DAC，∠EAC＝∠α－∠DAC，
∴∠DAB＝∠EAC.
又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC.
∴∠ECA＝∠B＝45°.
∴∠β＝∠ACB＋∠ECA＝90°.
(2)如图②，当点D在线段BC上运动时，试探究∠α与∠β之间的数量关系，并说明理由．
解： ∠α＋∠β＝180°.
理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝∠α，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.
又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE.
∴∠B＝∠ACE，∴∠B＋∠ACB＝∠ACE＋∠ACB.
又∵∠ACE＋∠ACB＝∠BCE＝∠β，
∴∠B＋∠ACB＝∠β.
∵∠α＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴∠α＋∠β＝180°.
(共25张PPT)
第3节 等腰三角形的性质
第2课时 等腰三角形的性质定理2
第2章 特殊三角形
浙教版 八年级上
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C
D
A
D
D
B
37°
130°或90°
C
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步骤见习题，图略
AF⊥CD，理由见习题
证明见习题
(1)证明见习题
(2)证明见习题
(1)证明见习题
(2)相等，理由见习题
10个
1．【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，若∠BAD＝35°，则∠C的度数为( )
A．35° B．45° C．55° D．60°
C
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，点E在AD上，那么下列结论不一定正确的是( )
A．AD⊥BC
B．∠EBC＝∠ECB
C．∠ABE＝∠ACE
D．AE＝BE
D
3．【2018·福建】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
A
4．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC等于( )
A．30° B．20°
C．25° D．15°
D
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下列结论：
①∠BAD＝∠CAD；②BD＝CD；
③AD上任意一点到AB，AC的距离相等；
④若点P在直线AD上，则PB＝PC.
其中正确的是( )
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④
D
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，连结AD，AE.如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为( )
A．BD＝CE B．AD＝AE
C．DA＝DE D．BE＝CD
C
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，直线MN分别交AB，AC于点M，N，连结BN，且AN＝BN，ND⊥BC于点D，则∠BND的度数为( )
A．65° B．60° C．55° D．50°
B
8．【 2018·遵义】如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点，若∠CAE＝16°，则∠B＝________．
37°
9．【 2018·哈尔滨】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连结AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为____________．
130°或90°
10．作一个等腰三角形，使它的底边长为2.1 cm，顶角的平分线长为2.4 cm.
解：如图．
(1)作线段BC＝2.1 cm.
(2)作线段BC的垂直平分线DE交BC于D.
(3)在射线DE上截取DA＝2.4 cm.
(4)连结AB，AC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．
11．如图，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，点F是CD的中点，你知道AF与CD之间具有怎样的位置关系吗？请说明理由．
12．【中考·南充】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AE＝CE.求证：
(1)△AEF≌△CEB；
证明：因为AD⊥BC，CE⊥AB，
所以∠AEF＝∠CEB＝90°.
又因为∠EAF＋∠AFE＝∠BAD＋∠B＝90°，
所以∠AFE＝∠B.
在△AEF与△CEB中，
∠AFE＝∠B，∠AEF＝∠CEB，AE＝CE，
所以△AEF≌△CEB(AAS)．
(2)AF＝2CD.
证明：由(1)中△AEF≌△CEB得AF＝CB，
因为在△ABC中，AB＝AC，且AD⊥BC，
所以AD是△ABC的BC边上的中线，
所以BC＝2CD，所以AF＝2CD.
13．如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，AD＝BD.求证：CD⊥AC.
证明：取AB的中点为E，连结DE，则AB＝2AE，
∵AB＝2AC，∴AE＝AC.
∵AD＝BD，E为AB的中点，
∴DE⊥AB，即∠AED＝90°.
∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC.
证明：∵D是BC的中点，
∴AD是等腰三角形ABC的中线．
∴AD也是等腰三角形ABC的角平分线．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
(1)求证：DE＝DF；
(2)由(1)可以得到的结论是：等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等．问：如果DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，它们还相等吗？
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC，△ABC所在的平面上有一点P(如图中所画的点P1)，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，问满足条件的点P有几个？
解：如图，∵在△ABC中，AB＝AC＝BC，
∴边BC的垂直平分线上，有P1，P2，P3和P4四个点满足条件.
易知边上的垂直平分线为△ABC的对称轴，而这样的对称轴有三条，且三条对称轴都经过点P1，所以满足
条件的点P共有10个.
