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等腰三角形的分类讨论问题
第2章 特殊三角形
浙教版 八年级上
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B
A
C
D
16或17
8cm和5cm或6cm和9cm.
(1)∠A＝36°，∠B＝72°
(2)①BD＝AD＝BC. ②存在3个点P
(1)证明见习题
(2)图略
(3)
40°或70°
1．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是( )
A．80° B．80°或20°
C．80°或50° D．20°
B
2．已知等腰三角形ABC的底边BC＝8 cm，|AC－BC|＝2 cm，则腰AC的长为( )
A．10 cm或6 cm B．10 cm
C．6 cm D．8 cm或6 cm
A
3．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( )
A．6个 B．7个
C．8个 D．9个
C
4．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为( )
A．32.5° B．57.5°
C．65°或57.5° D．32.5°或57.5°
D
5．一个等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是____________．
16或17
6．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的顶角应该为____________．
40°或70°
7．等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成12 cm，9 cm两部分，求这个等腰三角形的腰长和底边长．
解：在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的腰AC上的中线，中线把△ABC的周长分成12 cm和9 cm两部分，有可能是AB＋AD＝12 cm，也有可能是AB＋AD＝9 cm，所以要分情况讨论．
8．如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A.
(1)求∠A和∠B的度数．
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
又∵∠B＝2∠A，
∴2∠A＋2∠A＋∠A＝180°，
∴∠A＝36°，∴∠B＝72°.
(2)如图②，BD是△ABC中∠ABC的平分线．
①写出图中与BD相等的线段，并说明理由．
②直线BC上(除点B，C外)是否存在点P，使△BDP为等腰三角形．如果存在，请在图③中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠BDP的度数；如果不存在，请说明理由．
9．若经过等腰三角形某一个顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，那么我们称原等腰三角形为和合等腰三角形，简称和合三角形．
(1)如图，已知等腰直角三角形ABC，∠A＝90°.求证：等腰直角三角形ABC是和合三角形；
(2)如果等腰三角形DEF有一个内角等于36°，那么请你画出简图说明△DEF是和合三角形并标注出图中等腰三角形的顶角、底角的度数；
解：如图，△DEG与△EFG都是等腰三角形，△DEF是和合三角形．
(3)请直接写出一个和合三角形各内角的度数：____________________________．
(共13张PPT)
活用“三线合一”巧解题
第2章 特殊三角形
浙教版 八年级上
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∠B＝∠C＝40°，
∠BAD＝∠CAD＝50°
AE＝7
△DEF为等腰直角三角形
证明见习题
证明见习题
证明见习题
1．如图，已知∠BAC＝100°，AD⊥BC，AB＝AC.求∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E.若BC＝10，且△BDC的周长为24，求AE的长．
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别为AB，CA的延长线上的点，且BE＝AF.请判断△DEF的形状，并说明理由．
【点拨】本题证明△BDE≌△ADF，进而得到DE＝DF，∠EDB＝∠FDA.再运用角的转化得到∠EDF＝90°，故可判断△DEF为等腰直角三角形．
解：△DEF为等腰直角三角形．理由如下．
连结AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°.∴∠EBD＝135°.
∵D为BC的中点，∴AD⊥BC.
易得∠ABC＝∠BAD＝∠DAC＝∠C＝45°，
∴BD＝AD，∠FAD＝135°，
∴∠EBD＝∠FAD.
又∵BE＝AF，
∴△BDE≌△ADF，
∴DE＝DF，∠EDB＝∠FDA，
∴∠EDF＝∠EDB＋∠BDF＝∠FDA＋∠BDF＝∠ADB＝90°.
∴△DEF为等腰直角三角形．
4．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.
5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D.求证：BF＝2CD.
证明：如图，延长BA，CD交于点E.
∵BF平分∠ABC，∴∠CBD＝∠EBD.
∵CD⊥BD，∴∠BDC＝∠BDE＝90°.
又∵BD＝BD，∴△BDC≌△BDE.∴BC＝BE.
又∵BD⊥CE，∴CE＝2CD.
∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF＝∠DCF.
又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，
∴△ABF≌△ACE(ASA)．∴BF＝CE.∴BF＝2CD.
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C.求证：CD＝AB＋BD.
证明：如图，以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连结AE，则AE＝AB，所以∠AEB＝∠ABC.
因为AD⊥BC，所以在△ABE中，AD是BE边上的中线，即DE＝BD.
又因为∠ABC＝2∠C，所以∠AEB＝2∠C.
而∠AEB＝∠CAE＋∠C，所以∠CAE＝∠C.
所以CE＝AE＝AB，故CD＝AB＋BD.
(共9张PPT)
轴对称与线段垂直平分线的应用
第2章 特殊三角形
浙教版 八年级上
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D
证明见习题
图略
OI⊥BC，证明见习题
1．如图，将一个正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去一个三角形和一个形如“ ”的图形，将纸片展开，得到的图形是( )
D
2．把一张长方形纸片ABCD按图中的方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合(E，F两点均在BD上)，折痕分别为BH，DG.
求证：△BHE≌△DGF.
【点拨】用轴对称的性质解决折叠问题的关键是折叠前后重合的部分全等，所以对应角相等、对应线段相等．
3．如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试在图中确定购物中心的位置，使得它到三个住宅小区的距离相等．
【点拨】解作图选点问题，若要找到某两个点的距离相等的点，一般在这两点所连线段的垂直平分线上去找；若要找到某两条不平行的直线的距离相等的点，则一般在这两条直线
相交所成的角的平分线上去找．
解：连结AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF，两直线交于点M，则点M就是所要确定的购物中心的位置．如图．
4．如图，OE，OF分别是△ABC中AB，AC边的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置关系，并给出证明．
解：OI⊥BC.
证明：连结AO，延长OI交BC于点M.
∵OE，OF分别为AB，AC的垂直平分线，
∴OA＝OB，OA＝OC，∴OB＝OC.
又∵BI，CI分别为∠OBC，∠OCB的平分线，
∴易得点I必在∠BOC的平分线上，
∴OM是等腰三角形OBC顶角的平分线，∴OI⊥BC.
