浙教版八上数学第2章特殊三角形的探究性问题课件（28张）

(共28张PPT)
特殊三角形的探究性问题
第1章 三角形的初步认识
浙教版 八年级上
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130°
5个
1或2
约为18.44
(1)60°；AD＝BE
(2) ∠AEB＝90°, AD＝BE
(1) 见习题
(2)①是　②是,证明见习题
【例】在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，点D是AB上的一点，点P是BC上的一点(不与B，C重合)，∠PAC＝∠BPD，若△APD是等腰三角形，求∠PAD的度数．
【解题秘方】本题考查的是等腰三角形的性质定理1.根据△APD是等腰三角形分三种情况进行讨论．
解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝50°.
∵∠APB＝∠BPD＋∠APD＝∠PAC＋∠C，∠PAC＝∠BPD，∴∠APD＝∠C＝50°.
由△APD是等腰三角形，可分三种情况讨论：
①若AD＝AP，则∠ADP＝∠APD＝50°，
∵∠B＝50°，∠ADP＞∠B，
∴∠ADP＝50°不成立，∴AD≠AP；
②若AD＝DP，则∠PAD＝∠APD＝50°；
③若PD＝AP，则∠PAD＝∠PDA＝(180°－50°)÷2＝65°.
综上所述，∠PAD的度数为50°或65°.
1．如图，在长方形ABCD的对称轴l上找一点P，使得△PAB，△PBC，△PDC，△PAD均为等腰三角形，则满足条件的点P有________．
5个
2．如图，已知△ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止．设它们运动的时间为t s当t＝________时，△PBQ是直角三角形．
1或2
3．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝115°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别为BC，CD上的一个动点．当△AMN的周长最小时，∠AMN＋∠ANM的度数为________．
【点拨】如图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连结A′A″，交BC于M，交CD于N，则线段A′A″的长为△AMN的周长的最小值．
易知∠A′＝∠BAM，∠A″＝∠DAN，
∵∠BAD＝115°，∴∠A′＋∠A″＝180°－115°＝65°.
∴∠BAM＋∠DAN＝65°.∴∠MAN＝115°－65°＝50°.
∴∠AMN＋∠ANM＝180°－50°＝130°.
4．【 中考·贵阳】如图，在第1个△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B.在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D……按此作法进行下去，第n个三角形以An为顶点的内角的度数为________．
5．如图，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE，且点A，D，E在同一直线上，连结BE.
(1)若∠ACB＝60°，如图①，则∠AEB的度数为__________；线段AD，BE之间的数量关系是__________．
60°
AD＝BE
(2)若∠ACB＝∠DCE＝90°，如图②，求∠AEB的度数，并判断AD，BE之间的数量关系．
∴△ACD≌△BCE.
∴∠CDA＝∠CEB，AD＝BE.
易得△CDE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°.
∴∠CEB＝∠CDA＝180°－45°＝135°.
∴∠AEB＝135°－45°＝90°.
6.(1)如图①，点M，N分别在等边△ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q.试说明：∠BQM＝60°.
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°.
∵BM＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS)．
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝60°.
(2)①若将题中“BM＝CN”与“∠BQM＝60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点M，N分别移动BC，CA的延长线上，如图②，是否仍能得到∠BQM＝60°？
请你进行判断，在下列横线上填写“是”或“否”：
①________；②________．并对②给出证明．
是
是
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAN＝∠ACM＝120°，
又CN＝BM，∴AN＝CM.
∴△ANB≌△CMA.∴∠N＝∠M.
∵∠NAQ＝∠MAC，
∴∠BQM＝∠ACB＝60°.
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝16厘米，BC＝10厘米，点D为AB的中点．
(1)如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
解：∵AB＝AC＝16厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝8厘米，∠B＝∠C，
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
解：∵AB＝AC＝16厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝8厘米，∠B＝∠C，
设当点Q的运动速度为a厘米/秒时，经过t秒，能够使△BPD与△CQP全等，
∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP和CQ不是对应边，则BD＝CQ，BP＝CP，
∴2t＝10－2t，解得t＝2.5，
∵BD＝CQ，∴8＝2.5a，
解得a＝3.2，即当点Q的运动速度为3.2厘米/秒时，经过2.5秒，能够使△BPD与△CQP全等．
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
8．有一个长方体纸盒，如图所示，小明所在数学小组研究从长方体的底面A点沿长方体表面到与A点相对的B点的最短距离．若长方体的长为12，宽为9，高为5，请你帮助该小组求出在长方体表面上由A点到B点的最短距离．(参考数据：21.592≈466，19.242≈370，18.442≈340)
解：将四边形ACDF与四边形FDBG展开在同一平面上，如图①，连结AB.
在直角三角形ACB中，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝122＋(9＋5)2＝340.
将四边形AHGF与四边形FDBG展开在同一平面上，如图②，连结AB.
在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得AB2＝AD2＋DB2＝(12＋5)2＋92＝370.
将四边形ACDF与四边形DCEB展开在同一平面上，如图③，连结AB.
在直角三角形AEB中，根据勾股定理，得AB2＝AE2＋EB2＝(12＋9)2＋52＝466.
因为340<370<466，
所以在长方体表面上由A点到B点的最短距离是如图①的情况，
此时AB≈18.44.
所以在长方体表面上由A点到B点的最短距离约为18.44.