(共26张PPT)
第3节 证明
第1课时 证明
第1章 三角形的初步认识
浙教版 八年级上
答案显示
习题链接
D
B
D
D
B
C
C
A
D
答案显示
习题链接
90°；垂直的定义；已知；90°；垂直的定义；等量代换；AB；EF；同位角相等，两直线平行；EF；CD；内错角相等，两直线平行
EF；内错角相等，两直线平行；∥；平行于同一条直线的两直线平行；C；两直线平行，内错角相等；C；同旁内角互补，两直线平行
OA∥BC，OB∥AC，理由见习题
证明见习题
是假命题．理由见习题
(1)命题1：①②?③；
命题2：①③?②；命题3：②③?①
(2)答案不唯一
1．关于证明，下列说法不正确的是( )
A．证明是说明命题是真命题的过程
B．要判定一个命题是真命题常常通过推理的方式
C．要说明一个命题是假命题常采用举反例的方式
D．真命题与假命题都可以通过举反例来说明
D
2．下列说法错误的是( )
A．命题是判断一件事情的句子
B．基本事实的正确性必须得到证明
C．证明假命题举一个反例即可
D．推理的过程叫做证明
B
3．能作为证明依据的是( )
A．定义 B．基本事实
C．定理及其推论 D．以上三种都对
D
4．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( )
A．垂线段最短
B．经过一点有无数条直线
C．经过两点，有且仅有一条直线
D．两点之间，线段最短
D
5．如图，若AO⊥CO，BO⊥DO，则∠AOB＝∠COD，推理的理由是( )
A．同角的补角相等 B．同角的余角相等
C．AO⊥CO D．BO⊥DO
B
6．如图，下列条件能证明AD∥BC的是( )
A．∠A＝∠C B．∠B＝∠D
C．∠B＝∠C D．∠A＋∠B＝180°
D
【点拨】要证明AD∥BC，要看AD，BC被AB所截形成的∠A与∠B的位置和数量关系，或被CD所截形成的∠C与∠D的位置和数量关系．显然∠A与∠B，∠C与∠D是同旁内角，当同旁内角互补时，AD∥BC，故选D.
7．【2017·深圳】如图，由下列选项中的条件，不可以得到l1∥l2的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠3＝∠5 D．∠3＋∠4＝180°
C
8．【2018?浙江宁波余姚期中】有一条直的宽纸带，按如图所示的方式折叠，则∠α的度数等于( )
A．50° B．60°
C．75° D．85°
C
9．【2018?浙江杭州余杭片区月考】某校七年级决定开展校园环境保护的实践活动，(1)班与(3)班均想报名参加．(1)班有50名同学，(3)班有53名同学．老师有个想法：让两班分别进行一个举手表决，想参加的同学举手．当举手的人数和没有举手的人数之差是一个奇数时，该班就不参加；如果是偶数，该班就参加．老师的想法是( )
A．(1)班参加 B．(3)班参加
C．两班都参加 D．两班都不参加
【点拨】∵(1)班有50名同学，
∴(1)班举手的人数和没有举手的人数是同奇或同偶，
∴(1)班举手的人数和没有举手的人数之差是一个偶数．
∵(3)班有53名同学，
∴(3)班举手的人数和没有举手的人数是一奇一偶，
∴(3)班举手的人数和没有举手的人数之差是一个奇数．
∵当举手的人数和没有举手的人数之差是一个奇数时，该班就不参加活动；如果是偶数，该班就参加活动，
∴(3)班不参加活动，(1)班参加活动．
【答案】 A
10．补充完成下列证明，并填上推理的依据．
已知：如图，AB⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2.
求证：AB∥CD.
证明：∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝________( )．
90°
垂直的定义
∵EF⊥BC( )，
∴∠FEC＝________( )．
∴∠ABC＝∠FEC( )．
∴________∥________( )．
∵∠1＝∠2，
∴________∥________( )．
∴AB∥CD.
已知
90°
垂直的定义
等量代换
AB
EF
同位角相等，两直线平行
EF
CD
内错角相等，两直线平行
11．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．
如图，AB∥EF，∠D＝∠E，∠B＋∠D＝180°，
求证：BC∥DE.
证明：∵∠D＝∠E(已知)，
∴CD∥________( )．
EF
内错角相等，两直线平行
∵AB∥EF(已知)，
∴AB________CD( )．
∴∠B＝∠______( )．
∵∠B＋∠D＝180°(已知)，
∴∠______＋∠D＝180°(等量代换)，
∴BC∥DE( )．
∥
平行于同一条直线的两直线平行
C
两直线平行，内错角相等
C
同旁内角互补，两直线平行
12．已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1.求证：AD平分∠BAC.
解：如图，∵AD⊥BC，EG⊥BC(已知)，
∴∠4＝∠5＝90°(垂直的定义)，
∴AD∥EG(同位角相等，两直线平行)，
∴∠3＝∠E(两直线平行，同位角相等)，∠2＝∠1(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠E＝∠1(已知)，∴∠3＝∠2(等量代换)，
∴AD平分∠BAC(角平分线的定义)．
13．【中考?淄博】如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，并说明理由．
【点拨】根据同位角相等，两直线平行证得OB∥AC；根据同旁内角互补，两直线平行证得OA∥BC.
解：OA∥BC，OB∥AC.
理由：∵∠1＝50°，∠2＝50°，∴∠1＝∠2，
∴OB∥AC.
∵∠2＝50°，∠3＝130°，
∴∠2＋∠3＝180°，
∴OA∥BC.
14．命题“若a是自然数，则代数式(5a＋2)(5a＋1)＋4的值是5的倍数”是真命题还是假命题？如果认为是假命题，请说明理由；如果认为是真命题，请给出证明．
解：是假命题．理由：
(5a＋2)(5a＋1)＋4
＝25a2＋5a＋10a＋2＋4
＝25a2＋15a＋6
＝5(5a2＋3a＋1)＋1.
∵若a是自然数，
∴5(5a2＋3a＋1)是5的倍数，
∴5(5a2＋3a＋1)＋1不是5的倍数．
∴命题“若a是自然数，则代数式(5a＋2)(5a＋1)＋4的值是5的倍数”是假命题．
15．如图，∠ACD是∠ACB的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题．
①CE∥AB；②∠A＝∠B；③CE平分∠ACD.
解：由题中条件可得三个正确命题，分别是命题1：①②?③；命题2：①③?②；命题3：②③?①.
(1)由上述条件可得哪几个正确命题？请按“????”的形式一一书写出来；
(2)请根据(1)中的正确命题，选择一个加以证明．
解：(答案不唯一)选择命题2：①③?②.
证明：∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠A，∠DCE＝∠B.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE.
∴∠A＝∠B.
(共29张PPT)
第3节 证明
第2课时 证明的表达格式
第1章 三角形的初步认识
浙教版 八年级上
答案显示
习题链接
D
A
C
C
C
C
45°
15°
B
答案显示
习题链接
已知；CD；同位角相等，两直线平行；已知；EF；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行
证明见习题
80°
D
(1)110°；(2)35°
证明见习题
(1)
(2) ，理由见习题
1．如图，下列关于△ABC的外角的说法正确的是( )
A．∠HBA是△ABC的外角
B．∠HBG是△ABC的外角
C．∠DCE是△ABC的外角
D．∠GBA是△ABC的外角
D
2．【中考·桂林】如图，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD的度数是( )
A．110° B．120°
C．130° D．140°
A
3．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝( )
A．35° B．95°
C．85° D．75°
C
【点拨】∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACD＝60°×2＝120°，又∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B，∴∠A＝∠ACD－∠B＝120°－35°＝85°，故选C
4．若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．钝角三角形或锐角三角形
C
【点拨】由已知条件、三角形的一个外角和与它相邻的内角互为邻补角，可知该内角大于90°，所以这个三角形为钝角三角形．
5．如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝20°，∠2＝40°，则∠3等于( )
A．50° B．30° C．20° D．15°
C
6．如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是( )
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A
C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
B
7．【中考·营口】如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为( )
A．85° B．70°
C．75° D．60°
【点拨】∵AB∥OC，∴∠A＋∠AOC＝180°.
又∵∠A＝60°，∴∠AOC＝120°.
∴∠BOC＝120°－90°＝30°.
∴∠DEO＝∠C＋∠BOC＝45°＋30°＝75°.
故选C.
8．如图，点D，B，C在同一直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，则∠1＝________．
45°
9．【2017·泰州】将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________．
15°
10．命题：如图，如果∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，那么AB∥EF.
已知：如图，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°.
求证：AB∥EF.
证明：∵∠1＝∠2( )，
∴AB∥________( )．
已知
CD
同位角相等，两直线平行
∵∠3＋∠4＝180°( )，
∴CD∥________( )．
∴AB∥EF( )．
已知
EF
同旁内角互补，两直线平行
平行于同一条直线的两条直线平行
11．如图，在△ABC中，线段AD，BE相交于点F.求证：∠AFB＝∠1＋∠2＋∠C.
证明：∵∠AFB是△AEF的外角，∴∠AFB＝∠1＋∠AEF (三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)．
∵∠AEF是△BCE的外角，∴∠AEF＝∠2＋∠C(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)．
∴∠AFB＝∠1＋∠2＋∠C.
12．【2018·浙江杭州上城期中】如图，在△ABC中，∠A＝50°，点E，F在AB，AC上，沿EF向内折叠△AEF得到△DEF，则∠1＋∠2等于( )
A．130° B．120°
C．65° D．100°
【点拨】设∠AEF＝x，∠AFE＝y，则∠DEF＝x，∠DFE＝y，
∵∠A＝50°，∴x＋y＝180°－50°＝130°，
∵∠AEB＝∠AFC＝180°，
∴∠1＋∠2＋2(x＋y)＝360°，
∴∠1＋∠2＝100°.
【答案】D
13．如图，已知∠BDC＝142°，∠B＝34°，∠C＝28°，则∠BAC＝________．
【点拨】连结AD并延长，如图，∵∠1＝∠DAC＋∠C，∠2＝∠DAB＋∠B，
∴∠1＋∠2＝∠DAC＋∠C＋∠DAB＋∠B，
∴∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C.
∵∠BDC＝142°，∠B＝34°，∠C＝28°，
∴142°＝∠BAC＋34°＋28°，
∴∠BAC＝142°－34°－28°＝80°.
【答案】80°
14．【2017·长春期末】如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，点E在BD上，点F在CA的延长线上，EF∥AD.
(1)求∠BAF的度数；
解：∵∠BAF＝∠B＋∠C，∠B＝40°，∠C＝70°，∴∠BAF＝110°.
(2)求∠F的度数．
解：∵∠BAF＝110°，
∴∠BAC＝70°.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC＝ ∠BAC＝35°.
∵EF∥AD，
∴∠F＝∠DAC＝35°.
15．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠AEF＝∠AFE，EF与BC的延长线交于点G.求证：∠G＝ (∠ACB－∠B)．
证明：因为∠AEF＝∠AFE，∠AFE＝∠GFC，
所以∠AEF＝∠GFC.
因为∠AEF＝∠B＋∠G，
所以∠GFC＝∠B＋∠G.
又因为∠ACB＝∠GFC＋∠G，
所以∠ACB＝∠B＋2∠G.
所以∠G＝ (∠ACB－∠B)．
16．【中考·内江】问题引入：
(1)如图①，在△ABC中，O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝______________________ (用含α的式子表示)；
