(共26张PPT)
第5节 三角形全等的判定
第1课时 用三边关系判定三角形全等
第1章 三角形的初步认识
浙教版 八年级上
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C
C
D
D
B
C
SSS
证明见习题
A
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图略
(1)证明见习题；
(2)37°
(1)理由见习题；
(2)在题图②中AB∥ED，BC和EF在同一条直线上，题图③中上面的结论仍成立
(1)证明见习题；
(2)构造全等三角形
(1)相等,理由见习题；(2)AD＝13 cm，BC＝10 cm.
1．如图，下列三角形中，与△ABC全等的是( )
C
2．【中考·宜昌】如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
3．如图，AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，则∠D等于( )
A．30° B．50°
C．60° D．100°
D
4．如图，建筑工人砌墙，在加入门框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法是利用( )
A．长方形的四个角都是直角
B．两点之间线段最短
C．长方形的对称性
D．三角形的稳定性
D
5．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，依据“SSS”还需要添加一个条件是( )
A．AD＝CD B．AD＝CF
C．BC∥EF D．DC＝CF
B
6．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以点E，F为圆心，大于 EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线AG交CD于点H.若∠C＝140°，则∠AHC的度数是( )
A．20° B．25°
C．30° D．40°
A
7．【中考·厦门】如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F.若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于( )
A．∠EDB B．∠BED
C. ∠AFB D．2∠ABF
C
8．用直尺和圆规作一个角的平分线，示意图如图所示，则说明图中两个三角形全等的依据是___________．
SSS
9．【中考·福州】一个平分角的仪器如图所示，其中AB＝AD，BC＝DC.求证：∠BAC＝∠DAC.
10．如图，已知线段a，b，c，用直尺和圆规画△ABC，使得AB＝a，AC＝b，BC＝c，并画出△ABC的角平分线BD.(不要求写作法)
解：如图所示．
11．【2018·桂林】如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．
解：因为∠A＝55°，∠B＝88°，
所以∠ACB＝180°－∠A－∠B
＝180°－55°－88°＝37°.
因为△ABC≌△DEF，
所以∠F＝∠ACB＝37°.
12．如图，已知线段AB，CD相交于点O，AD，CB的延长线交于点E，OA＝OC，EA＝EC.
(1)求证：∠A＝∠C；
解：构造全等三角形．
(2)在(1)的证明过程中，需要作辅助线，它的作用是什么？
【点拨】本题运用了构造法，通过连结OE，构造△OAE，△OCE，将欲证的∠A，∠C分别置于这两个三角形中，然后通过证全等可得∠A＝∠C.
13．如图①，点A，C，F，D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF.
(1)试说明AB∥ED，BC∥EF的理由；
(2)把图①中的△DEF沿直线AD平移到两个不同位置，如图②③，仍有上面的结论吗？
解：在题图②中AB∥ED，BC和EF在同一条直线上，题图③中上面的结论仍成立．
14．如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连结，就能构成一个平面图形．
(1)若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB＝AD＝2 cm，BC＝5cm，如图，量得第四根木条CD＝5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，
并说明理由．
解：相等．理由：连结AC，
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC，∴∠B＝∠D.
(2)若固定一根木条AB不动，AB＝2 cm，量得木条CD＝5 cm.如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A，C，D能构成周长为30 cm的三角形．求出木条AD，BC的长度．
(共29张PPT)
第5节 三角形全等的判定
第2课时 用两边夹角关系判定三角形全等
第1章 三角形的初步认识
浙教版 八年级上
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A
C
B
D
B
A
∠ABD＝∠CBD
(答案不唯一)
①②③
B
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12
证明见习题
证明见习题
证明见习题
(1)证明见习题;
(2)∠BDC＝75°
AB的长为8 cm，AC的长为6 cm.
(1)，作图略，证明见习题；
(2) BE＝CD,理由见习题
1．【中考·莆田】如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的( )
A．AB＝CD B．EC＝BF
C．∠A＝∠D D．AB＝BC
A
【点拨】添加条件AB＝CD可证明AC＝BD，然后再根据AE∥FD，可得∠A＝∠D，再利用SAS定理证明△EAC≌△FDB即可．
2．如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是( )
A．BC＝ED B．∠BAD＝∠EAC
C．∠B＝∠E D．∠BAC＝∠EAD
C
3．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，若要得到“△ABD≌△ACE”，必须添加一个条件，则下列所添条件不成立的是( )
A．BD＝CE
B．∠ABD＝∠ACE
C．∠BAD＝∠CAE
D．∠BAC＝∠DAE
B
4．下列能判定△ABC≌△A′B′C′的是( )
A．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠C＝∠C′
B．∠B＝135°，∠B′＝135°，AB＝B′C′，BC＝C′A′
C．AB＝BC＝CA，A′B′＝B′C′＝C′A′，∠A＝∠A′
D．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′＝135°
D
5．【中考·黄石】如图，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC等于( )
A．50° B．100°
C．120° D．130°
B
6．【中考·天门】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为( )
A．13 B．15 C．17 D．19
【点拨】∵AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，∴AD＝DC，AE＝CE＝4，即AC＝8.∵△ABC的周长为23，∴AB＋BC＋AC＝23，∴AB＋BC＝23－8＝15，∴△ABD的周长为AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋CD＝AB＋BC＝15.
故选B.
7．【中考·恩施州】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19 cm，△ABD的周长为13 cm，则AE的长为( )
A．3 cm B．6 cm C．12 cm D．16 cm
A
8．【中考·娄底】如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌ △CBD，还需要加一个条件，你添加的条件是________________．(只需写一个，不添加辅助线)
∠ABD＝∠CBD
(答案不唯一)
9．【中考·南京】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO.下列结论：
①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；
④DA＝DC.其中所有正确结论的序号是________．
10．【2018·浙江杭州上城期中】如图，在△ABC中，EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，如果BC＝12 cm，那么△FAN的周长为______cm.
12
11．【2018·广州】如图，AB与CD相交于点E，AE＝CE，DE＝BE.求证：∠A＝∠C.
12．【中考·泉州】如图，△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.
证明：∵△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD.
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE，
即∠ECB＝∠DCA.
13．【中考·杭州】如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：DM＝DN.
14．【中考·菏泽】如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE＝BD，连结AE，DE，DC.
(1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
解：在△ABC中，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°.
∵∠CAE＝30°，
∴∠BEA＝∠ACB＋∠CAE＝75°.
∵△ABE≌△CBD，∴∠BDC＝∠BEA＝75°.
?15．如图，已知：AB－AC＝2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长为14 cm，求AB，AC的长．
【点拨】本题运用方程思想，设未知数，利用线段垂直平分线的性质及题目已知条件列方程组求解．
16．【中考·天水】(1)如图①，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE，CD，请你完成图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，并证明：BE＝CD.
解：完成作图，如图所示．
证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，
∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，
即∠CAD＝∠EAB.
∴△CAD≌△EAB.∴CD＝EB，即BE＝CD.
(2)如图②，已知△ABC，以AB，AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连结BE，CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由．
解：BE＝CD.理由如下：
∵四边形ABFD和四边形ACGE都是正方形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，
即∠CAD＝∠EAB.
∴△CAD≌△EAB.
∴CD＝EB，即BE＝CD.
(共31张PPT)
第5节 三角形全等的判定
第3课时 用两角夹边关系判定三角形全等
第1章 三角形的初步认识
浙教版 八年级上
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C
D
A
C
A
4
∠B；∠DEF；CE；CE；△DEF；∠B；∠DEF；BC；EF；∠ACB；∠F；△ABC
证明见习题
D
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4
证明见习题
(1)证明见习题；
(2)证明见习题
证明见习题
证明见习题
(1)可行；用边角边证明△ABC≌△DEC后，可知AB＝DE
(2)可行；用角边角证明△ABC≌△EDC后，可知AB＝ED
(3)使∠ABC＝∠EDC＝90°；成立
1．如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中一定和△ABC全等的图形是( )
A．甲、乙 B．甲、丙
C．乙、丙 D．乙
C
2．【中考·永州】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A．∠B＝∠C B．AD＝AE
C．BD＝CE D．BE＝CD
【点拨】选项A中，∠A＝∠A，AB＝AC，∠B＝∠C，所以△ABE≌△ACD(ASA)；选项B中，AE＝AD，∠A＝∠A，AB＝AC，所以△ABE≌△ACD(SAS)；选项C中，由BD＝CE及AB＝AC可得AD＝AE，所以AE＝AD，∠A＝∠A，AB＝AC，所以△ABE≌△ACD(SAS)；选项D中，BE＝CD，AB＝AC，∠A＝∠A，不能判定两个三角形全等，故选D.
3．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么省事的办法是( )
A．带①去 B．带②去
C．带③去 D．带④去
A
4．如图，已知AD，BC相交于点O，∠1＝∠2，∠CAB＝∠DBA，下列结论中错误的是( )
A．∠C＝∠D B．AC＝BD
C．OC＝OB D．OA＝OB
C
5．如图，能直接运用“ASA”定理证明△AOB≌△DOC 的是( )
A．AO＝DO，∠A＝∠D
B．AO＝DO，∠B＝∠C
C．AO＝DO，BO＝CO
D．AO＝DO，AB＝CD
A
6．如图，E是BC上一点，AB⊥CB于点B，CD⊥CB于点C，AB＝CB，∠A＝∠CBD，AE与BD相交于点O，则下列结论中，正确的有( )
①AE＝BD；②AE⊥BD；③EB＝CD；
④S△ABO＝S四边形CDOE.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】 D
7．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，DE＝CE，AE＝4，则BE＝________．
【点拨】 ∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠AED＝∠2＋∠AED，即∠BED＝∠AEC，
又∵DE＝CE，∠3＝∠4，
∴△BED≌△AEC(ASA)，
∴BE＝AE＝4.
4
8．完成下面的解题过程．
已知，如图，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F.求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵AB∥DE(已知)，
∴______＝________(两直线平行，同位角相等)．
∠B
∠DEF
CE
CE
△DEF
∠B
∠DEF
BC
EF
∠ACB
∠F
△ABC
9．【2018·柳州】如图，AE和BD相交于点C，∠A＝∠E，AC＝EC.求证：△ABC≌△EDC.
10．如图，AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝9 cm，CF＝5 cm，则BD＝________cm.
4
11．【中考·孝感】如图， BD⊥AC于点D, CE⊥AB于点E, AD＝AE. 求证：BE＝CD.
12．如图，点D在BC上，DE与AC相交于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE.求证：△ABC≌△ADE.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE.
∵∠3＝∠2，∠DFC＝∠AFE，∴∠C＝∠E.
又∵AC＝AE，∴△ABC≌△ADE.
13．【中考·南充】已知△ABN和△ACM位置如图，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.求证：
(1)BD＝CE；
(2)∠M＝∠N.
14．如图，在△ABC中，∠B＝60°.角平分线AE，CF分别交BC，AB于E，F两点．AE，CF相交于点O.
求证：AC＝AF＋CE.
15．某校八(4)班的学生到野外活动，为测量一池塘两端点A，B的距离，设计了如下方案：
方案一：如图①，先在平地取一个可以直接到达A，B的点C，连结AC，BC，并延长AC到D，延长BC到E，使CD＝AC，CE＝BC，最后测出DE的长
即为A，B之间的距离．
方案二：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，测出ED的长即为两端点A，B的距离．
【点拨】间接测量两点间距离的方法：当
两点间有障碍物，不能直接测量时，可以把两点
相连所成的线段作为三角形的一边构造全等三角形，
把要测量的线段转化到可以直接测量的地方来测量．
阅读后回答下列问题：
(1)方案一是否可行？______，
理由是___________________________________________．
(2)方案二是否可行？________，
理由是____________________________________________．
可行
用边角边证明△ABC≌△DEC后，可知AB＝DE
可行
用角边角证明△ABC≌△EDC后，可知AB＝ED
(3)方案二中作BF⊥AB，DE⊥BD的目的是_______________________；若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案二是否成立？________.
使∠ABC＝∠EDC＝90°
成立
(共25张PPT)
第5节 三角形全等的判定
第4课时 用两角及其中一角的对边关系判定三角形全等
第1章 三角形的初步认识
浙教版 八年级上
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B
D
C
C
D
D
A
C
B
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D
0.9 cm
(1)证明见习题
(2)证明见习题
18
(1)证明见习题;
(2)相等,理由见习题
证明见习题
证明见习题
1．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD＝2，则P到OA的距离是( )
A．1 B．2 C．3 D．4.
B
2．【中考·莆田】如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是( )
A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝OD
C．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD
D
3．【中考·黔西南州】如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE B．AC＝DF
C．∠A＝∠D D．BF＝EC
C
4．【2018·成都】如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是( )
A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC
C．AC＝DB D．AB＝DC
C
5．【中考·新疆】如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF的是( )
A．∠A＝∠D B．BC＝EF
C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF
D
6．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D.下列结论错误的是( )
A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOP
C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
B
7．如图，OP是∠AOB的平分线，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( )
A．PA＝PB
B．PO平分∠APB
C．OA＝OB
D．AB垂直平分OP
D
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E.若AB＝6 cm，则△DBE的周长是( )
A．6 cm B．7 cm
C．8 cm D．9 cm
A
9．【中考·湖州】如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是( )
A．8 B．6 C．4 D．2
C
10．【中考·绍兴】如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，
这样就有∠QAE＝∠PAE.说明这两个三角形全等
的依据是( )
A．SAS B．ASA
C．AAS D．SSS
D
11．【2017·浙江宁波镇海八校期末】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是1.98 cm2，AB＝2.3 cm，AC＝2.1 cm，则DE＝________．
0.9 cm
12．【2017·陕西】如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连结AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．
【答案】18
13．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.求证：
(1)AM⊥DM；
解：∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°.
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°，
∴∠MAD＋∠ADM＝90°，
∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM.
(2)M为BC的中点．
解：过点M作MN⊥AD于N.
∵∠B＝90°，AB∥CD，∴∠C＝90°.
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM＝MN，MN＝CM，∴BM＝CM，
即M为BC的中点．
14．【中考·怀化】如图，已知AD＝BC，AC＝BD.
(1)求证：△ADB≌△BCA.
证明：∵AD＝BC，
BD＝AC，AB＝BA，
∴△ADB≌△BCA(SSS).
(2)OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．
解：相等．理由：
由△ADB≌△BCA可得∠D＝∠C.
又∵∠AOD＝∠BOC，AD＝BC，
∴△AOD≌△BOC，
∴OA＝OB.
15．【2018·恩施州】如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O.求证：AD与BE互相平分．
16．已知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易知：DB＝DC.
探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°.求证： DB＝DC.
证明：如图，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠F＝∠DEB＝90°.
∵∠B＋∠ACD＝180°，
∠ACD＋∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD.
