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三角形三边关系的巧用
第1章 三角形的初步认识
浙教版 八年级上
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D
A
D
A
D
B
D
(1)12;(2)△ABC是等腰三角形
B
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7
说明见习题
1．【中考?西宁】下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是( )
A．3 cm，4 cm，8 cm
B．8 cm，7 cm，15 cm
C．5 cm，5 cm，11 cm
D．13 cm，12 cm，20 cm
D
2．【中考?河池】下列长度的三条线段不能组成三角形的是( )
A．5，5，10 B．4，5，6
C．4，4，4 D．3，4，5
A
3．已知下列四组三条线段的长度比，则能组成三角形的是( )
A．1?2?3 B．1?1?2
C．1?3?4 D．2?3?4
D
4．【中考·盐城】若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a－4|＋＝0，则c的值可以为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
A
5．如果三角形的两边长分别为7和5，则周长l的取值范围是( )
A．10＜l＜19 B．10＜l＜24
C．15＜l＜21 D．14＜l＜24
【点拨】设第三边的长为x，则2＜x＜12，所以周长l的取值范围是7＋5＋2＜l＜7＋5＋12，即14＜l＜24.故选D.
D
6．一个三角形的两边长分别为5 cm和3 cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是( )
A．2 cm或4 cm B．4 cm或6 cm
C．4 cm D．2 cm或6 cm
B
7．【中考?宿迁】若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为( )
A．9 B．12
C．7或9 D．9或12
B
8．【中考?衡阳】已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为( )
A．11 B．16
C．17 D．16或17
D
9．已知在△ABC中，AB＝5，BC＝2，且AC的长为奇数．
(1)求△ABC的周长；
解：因为AB＝5，BC＝2，所以3＜AC＜7.
又因为AC的长为奇数，所以AC＝5.
所以△ABC的周长为5＋5＋2＝12.
(2)判断△ABC的形状(不用说明理由)．
解：△ABC是等腰三角形．
10．已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长．
解：因为(b－2)2≥0，|c－3|≥0，
且(b－2)2＋|c－3|＝0，
所以(b－2)2＝0，|c－3|＝0，
解得b＝2，c＝3.
由a为方程|x－4|＝2的解，可知a－4＝2或a－4＝－2，
即a＝6或a＝2.
当a＝6时，有2＋3＜6，不能组成三角形，故舍去；
当a＝2时，有2＋2＞3，符合三角形的三边关系．
所以a＝2，b＝2，c＝3.
所以△ABC的周长为2＋2＋3＝7.
11．如图，已知D，E为△ABC内两点，试说明：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
解：如图，将DE向两边延长分别交AB，AC于点M，N，
在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE，①
在△BDM中，MB＋MD＞BD，②
在△CEN中，CN＋NE＞CE，③
①＋②＋③，得AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE，
所以AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
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证明三角形全等的方法
第1章 三角形的初步认识
浙教版 八年级上
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证明见习题
不能，
证明见习题
证明见习题
证明见习题
证明见习题
1．如图，AC＝BD，AB＝DC.求证：∠B＝∠C.
2．【2017·黄冈】已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM.求证：∠B＝∠ANM.
3．如图，AC与BD相交于点O，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
求证：AC＋AB＝CD＋BD.
4．如图，在四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，其中AD∥BC，∠DAF＝∠BCE，AD＝CB.求证：AF∥CE.
5．如图，点F，B，E，C在同一条直线上，并且BF＝CE，∠ABC＝∠DEF.能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．
提供的三个条件：①AB＝DE；②AC＝DF；
③AC∥DF.
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三角形的三种重要线段的应用
第1章 三角形的初步认识
浙教版 八年级上
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AB；DC
图略
说明见习题
B
A
10 cm，10 cm，1 cm
4
A
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(1)a; (2)2a理由见习题； (3)6a
(1)△ABC和△ADF;
(2)∠3＝15°,AE是△DAF的角平分线．
∠DAE＝20°
1．如图，已知AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，AC与BD交于点E，△ADE的边DE上的高为________，边AE上的高为________．
AB
DC
2．【动手操作题】画出图中△ABC的三条高．(要标明字母，不写画法)
解：如图．
3．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4.求：
(1)△ABC的面积及AC边上的高BE的长；
(2)AD:BE的值．
解：AD:BE＝4: ＝ .
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G.
试说明：DE＋DF＝BG.
5．【中考·淄博】如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD＝ BC，点G是AB边上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形．则图中阴影部分的面积是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【点拨】设△ABC的边BC上的高为h，△AGH的边GH上的高为h1，△CGH的边GH上的高为h2，则有h＝h1＋h2. S△ABC＝ BC·h＝16，S阴影＝S△AGH＋S△CGH＝ GH·h1＋ GH·h2＝GH·(h1＋h2)＝ GH·h.
∵四边形BDHG是平行四边形，且BD＝BC，
∴GH＝BD＝ BC.
∴S阴影＝ × BC·h＝ ×（ ）＝S△ABC＝4.故选B.
6．如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
A
7．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为( )
A．40 B．46
C．50 D．56
【点拨】因为△AEC的周长为24，所以AE＋CE＋AC＝24.因为BE＝CE，所以AE＋BE＋AC＝AB＋AC＝24.因为ED为△EBC的中线，所以BC＝2BD＝2×8＝16.所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝24＋16＝40.故选A.
8．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分，求这个等腰三角形的三边长．
解：设AD＝CD＝x cm，则AB＝2x cm，BC＝(21－4x)cm.
依题意，有AB＋AD＝15 cm或AB＋AD＝6 cm，
则有2x＋x＝15或2x＋x＝6，解得x＝5或x＝2.
当x＝5时，三边长为10 cm，10 cm，1 cm；
当x＝2时，三边长为4 cm，4 cm，13 cm，
而4＋4＜13，故此时三角形不存在．
所以这个等腰三角形的三边长为10 cm，10 cm，1 cm.
9．如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG:GD＝2:1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是________．
【答案】 4
10．操作与探索：在图①～③中，△ABC的面积为a.
(1)如图①，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连结DA，若△ACD的面积为S1，则S1＝________(用含a的代数式表示)；
a
(2)如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连结DE，若△DEC的面积为S2，则S2＝________(用含a的代数式表示)，请说明理由；
2a
理由：连结AD，由题意可知S△ABC＝S△ACD
＝S△AED＝a，所以S△DEC＝2a，即S2＝2a.
(3)如图③，在图②的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连结FD，FE，得到△DEF，若阴影部分的面积为S3，则S3＝________．(用含a的代数式表示)
6a
11．(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有______________________；
△ABC和△ADF
(2)如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．
解：因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠CAE.
因为∠1＝∠2＝15°，
所以∠BAE＝∠1＋∠2＝15°＋15°＝30°.
所以∠CAE＝∠BAE＝30°，
即∠CAE＝∠4＋∠3＝30°.
又因为∠4＝15°，所以∠3＝15°.
所以∠2＝∠3＝15°.所以AE是△DAF的角平分线．
12．如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．
【点拨】灵活运用三角形内角和为180°，结合三角形的高及角平分线是求有关角的度数的常用方法．
在△ABD中，∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°.
又因为AD是高，所以∠BDA＝90°，
所以∠BAD＝180°－∠B－∠BDA＝180°－20°－ 90°＝70°.
所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝70°－50°＝20°.
解：在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝60°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－20°－60°＝100°.
又因为AE是∠BAC的平分线，
所以∠BAE＝ ∠BAC＝ ×100°＝50°.
13．如图，在△ABC中，BE，CD为三角形的两条角平分线且交于点O.
(1)当∠A＝60°时，求∠BOC的度数；
解：因为∠A＝60°，所以∠ABC＋∠ACB＝120°.
因为BE，CD为△ABC的角平分线，
所以∠EBC＋∠DCB＝60°，
所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－60°＝120°.
(2)当∠A＝100°时，求∠BOC的度数；
解：因为∠A＝100°，
所以∠ABC＋∠ACB＝80°.
因为BE，CD为△ABC的角平分线，
所以∠EBC＋∠DCB＝40°，
所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－40°＝140°.
(3)当∠A＝α时，求∠BOC的度数．
【点拨】第(1)问很容易解决，第(2)问是对前一问的一个变式，第(3)问就是类比前面解决问题的方法用含α的代数式表示．
