第4章 平行四边形单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，不属于中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．等边三角形
2．（3分）已知一个多边形的外角和比它的内角和少540°，则该多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（3分）在研究多边形的几何性质时．我们常常把它分割成三角形进行研究．从八边形的一个顶点引对角线，最多把它分割成三角形的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（3分）如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（ ）
A．24 B．26 C．28 D．20
5．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形对边平行
B．两组对边平行的四边形是平行四边形
C．平行四边形对角相等
D．一组对角相等的四边形是平行四边形
6．（3分）用一批完全相同的正多边形能镶嵌成一个平面图案的是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
7．（3分）用反证法证明“在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么AB≠AC“时，应假设（ ）
A．AB＝AC B．∠B＝∠C． C．AB≠AC D．∠B≠∠C
8．（3分）下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
9．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、DC的中点，则图中共有平行四边形的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC边上任一点，点F，G，E分别是AD，BF，CF的中点，连结GE，若△FGE的面积为8，则△ABC的面积为（ ）
A．32 B．48 C．64 D．72
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）过m边形的一个顶点有9条对角线，n边形没有对角线，则mn的值为 ．
12．（4分）在△ABC中，AB＝3，AC＝4，点D是BC边的中点，则中线AD的长度的取值范围是 ．
13．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠AED的度数为 ．
14．（4分）已知一个正n边形的每个内角都为144°，则边数n为 ．
15．（4分）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是 ．
16．（4分）如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60度．
18．（6分）一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的，这个正多边形是几边形？
19．（8分）如图，在?ABCD中，点E是BC上的一点，连接DE，在DE上取一点F使得∠AFE＝∠ADC．若DE＝AD，求证：DF＝CE．
20．（8分）如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD＝CA，CF平分∠ACB，AE＝EB，求证：EF＝BD．
21．（8分）如图，先研究下面三角形、四边形、五边形、六边形…多边形的边数n及其对角线条数t的关系，再完成下面问题：
（1）若一个多边形是七边形，它的对角线条数为 ，n边形的对角线条数为t＝ （用n表示）．
（2）求正好65条对角线的多边形是几边形．
22．（10分）如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD．
（1）求证：AD⊥AC；
（2）探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD．若AC＝2，CE＝4；
（1）求证：四边形ACED是平行四边形．
（2）求BC的长．
24．（10分）在△ABC中，AB＝AC，点M在BA的延长线上，点N在BC的延长线上，过点C作CD∥AB交∠CAM的平分线于点 D．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，连接BD，过点D作DE⊥BD，交BN于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形（不包含△CDE），使写出的每个三角形的面积与△CDE的面积相等．
第4章 平行四边形单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，不属于中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．等边三角形
解：A、平行四边形是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、菱形是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、矩形是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、等边三角形不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）已知一个多边形的外角和比它的内角和少540°，则该多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
解：设多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2）?180°﹣360°＝540°，
解得n＝7．
故选：A．
3．（3分）在研究多边形的几何性质时．我们常常把它分割成三角形进行研究．从八边形的一个顶点引对角线，最多把它分割成三角形的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
解：过八边形的一个顶点可以引（8﹣1﹣2）＝5条对角线，
所以可组成6个三角形．
故选：B．
4．（3分）如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（ ）
A．24 B．26 C．28 D．20
解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，AE＝CF，
∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴AB+BC＝×36＝18，
∴四边形ABFE的周长为：
AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE
＝AB+BC+2×3
＝18+6
＝24
故选：A．
5．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形对边平行
B．两组对边平行的四边形是平行四边形
C．平行四边形对角相等
D．一组对角相等的四边形是平行四边形
解：A、正确；
B、正确；
C、正确；
D、一组对角相等而另一组对角不相等的四边形不是平行四边形，故命题错误．
故选：D．
6．（3分）用一批完全相同的正多边形能镶嵌成一个平面图案的是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
解：根据密铺的条件可知3个正六边形能密铺，
故选：B．
7．（3分）用反证法证明“在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么AB≠AC“时，应假设（ ）
A．AB＝AC B．∠B＝∠C． C．AB≠AC D．∠B≠∠C
解：反证法证明“在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么AB≠AC“时，应假设AB＝AC，
故选：A．
8．（3分）下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
解：A、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
C、根据AB＝CD，AD∥BC可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形ABCD是平行四边形，错误，故本选项正确；
D、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
故选：C．
9．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、DC的中点，则图中共有平行四边形的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB＝CD
∵E，F分别AB，CD的中点
∴AE＝EB＝DF＝FC
∴四边形AEFD是平行四边形，四边形EFCB是平行四边形，四边形AFCE是平行四边形，四边形EDFB是平行四边形，四边形GEHF是平行四边形．
∴平行四边形的个数共有6对．
故选：D．
10．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC边上任一点，点F，G，E分别是AD，BF，CF的中点，连结GE，若△FGE的面积为8，则△ABC的面积为（ ）
A．32 B．48 C．64 D．72
解：∵G，E分别是BF，CF的中点，
∴GE是△BFC的中位线，
∴GE＝BC，
∵△FGE的面积为8，
∴△BFC的面积为32，
∵点F是AD的中点，
∴S△ABF＝S△BDF，S△FDC＝S△AFC，
∴△ABC的面积＝2△BFC的面积＝64，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）过m边形的一个顶点有9条对角线，n边形没有对角线，则mn的值为 36 ．
解：∵过m边形的一个顶点有9条对角线，
∴m＝12，
∵n边形没有对角线，
∴n＝3，
∴mn＝36，
故答案为：36．
12．（4分）在△ABC中，AB＝3，AC＝4，点D是BC边的中点，则中线AD的长度的取值范围是 0.5＜AD＜3.5 ．
解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB＝AC＝4，
∵AB＝3，
∴1＜AE＜7，
∴0.5＜AD＜3.5．
故答案为：0.5＜AD＜3.5．
13．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠AED的度数为 85° ．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B．
∴∠B＝∠DAE．
∵在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△EAD（SAS），
∴∠AED＝∠BAC，
∵AE平分∠DAB（已知），
∴∠BAE＝60°．
∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝85°，
∴∠AED＝85°．
故答案为：85°
14．（4分）已知一个正n边形的每个内角都为144°，则边数n为 十 ．
解：由题意得，（n﹣2）?180°＝144°?n，
解得n＝10．
故答案为：十．
15．（4分）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是 ．
解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝3，AC＝DC＝1，
∴AD＝2，
∵∠D＝90°，
∴AE＝＝＝，
故答案为．
16．（4分）如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是 14 ．
解：∵F，G分别为BC，CD的中点，
∴FG＝BD＝4，FG∥BD，
∵E，H分别为AB，DA的中点，
∴EH＝BD＝4，EH∥BD，
∴FG∥EH，FG＝EH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝GH＝AC＝3，
∴四边形EFGH的周长＝3+3+4+4＝14，
故答案为：14
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60度．
证明：假设一个三角形中没有内角大于或等于60°，
则∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°；
∴∠A+∠B+∠C＜180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾，
故一个三角形中至少有一个内角大于或等于60度．
18．（6分）一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的，这个正多边形是几边形？
解：设外角为x°，则内角为3x°，由题意得：
x+3x＝180，
解得：x＝45，
360°÷45°＝8，
答：这个正多边形为八边形．
19．（8分）如图，在?ABCD中，点E是BC上的一点，连接DE，在DE上取一点F使得∠AFE＝∠ADC．若DE＝AD，求证：DF＝CE．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠ADC，
∴∠AFD＝∠C，
在△AFD和△DEC中，，
∴△AFD≌△DCE（AAS），
∴DF＝CE．
20．（8分）如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD＝CA，CF平分∠ACB，AE＝EB，求证：EF＝BD．
证明：∵CD＝CA，CF平分∠ACB，
∴F是AD中点，
∵AE＝EB，
∴E是AB中点，∴EF是△ABD的中位线，
∴EF＝BD．
21．（8分）如图，先研究下面三角形、四边形、五边形、六边形…多边形的边数n及其对角线条数t的关系，再完成下面问题：
（1）若一个多边形是七边形，它的对角线条数为 14 ，n边形的对角线条数为t＝ （用n表示）．
（2）求正好65条对角线的多边形是几边形．
解：（1）若一个多边形是七边形，它的对角线条数为＝14，n边形的对角线条数为t＝（用n表示）．
（2）设正好65条对角线的多边形是x边形，依题意有
＝65，
解得x1＝13，x2＝﹣10．
故正好65条对角线的多边形是13边形．
故答案为：14，．
22．（10分）如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD．
（1）求证：AD⊥AC；
（2）探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．
解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
在△ABD中，
∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°，
∵∠ABD+∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACB+∠BAD＝180°，
即∠ACB+∠BAC+∠CAD＝180°，
∴∠CAD＝90°，
∴AD⊥AC．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD．若AC＝2，CE＝4；
（1）求证：四边形ACED是平行四边形．
（2）求BC的长．
解：（1）证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE
又∵CE∥AD
∴四边形ACED是平行四边形．
（2）∵四边形ACED是平行四边形．
∴DE＝AC＝2．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD＝＝＝2．
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝4．
24．（10分）在△ABC中，AB＝AC，点M在BA的延长线上，点N在BC的延长线上，过点C作CD∥AB交∠CAM的平分线于点 D．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，连接BD，过点D作DE⊥BD，交BN于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形（不包含△CDE），使写出的每个三角形的面积与△CDE的面积相等．
（1）证明：∵AB＝AC，
∠ABC＝∠ACB，
∴∠CAM＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC，
∵AD平分∠CAM，
∴∠CAM＝∠MAD，
∴∠ABC＝∠MAD，
∴AD∥BC，
∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵∠ABC＝60°，AC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DE⊥BD，
∴AC∥DE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴BC＝AD＝CE，
∴图中所有与△CDE 面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．
