5.1 矩形（2） 同步训练（含解析）

初中数学浙教版八年级下册5.1 矩形（2） 同步训练
一、基础夯实
1.在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（　　） 21世纪教育网版权所有
A.?测量对角线是否相互平分????????????????????????????????????B.?测量两组对边是否分别相等C.?测量一组对角线是否垂直????????????????????????????????????D.?测量其内角是否有三个直角www.21-cn-jy.com
2.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（? ）
A.?矩形??????????????????B.?菱形??????????????????C.?对角线相等的四边形??????????????????D.?对角线互相垂直的四边形
3.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ??）
A.?AB=CD??????????????????????????????B.?AB=BC??????????????????????????????C.?AC⊥BD??????????????????????????????D.?AC=BD
4.如图，连接四边形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，则对角线AC、BD应满足（?? ） 2·1·c·n·j·y
A.?AC= BD???????????????????????B.?AC平分BD????????????????????C.?AC= BD且AC⊥BD???????????????????????D.?AC⊥BD
5.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是(??? )21·世纪*教育网
A.?①②③????????????????????????????????B.?②③④????????????????????????????????C.?②⑤⑥????????????????????????????????D.?④⑤⑥
6.如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，要使四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需要满足的条件是 ??? 【来源：21·世纪·教育·网】
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
7.如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是(??? )21教育名师原创作品
A.?2 ??????????????????????????????????????B.?3 ??????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????D.?4
8.在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，如果再添加一个条件，可以得到四边形ABCD是矩形，那么可以添加的条件是：________．(不再添加线或字母，写出一种情况即可) 21*cnjy*com
9.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D、C分别作AC、BD的平行线，交于点E.
求证：四边形ODEC为矩形；
10.如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF.
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.
二、提高特训
11.如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，那么线段AD与AB的比等于(?? )

A.?25：24???????????B.?16：15?????? ???C.?5：4????????????D.?4：3
12.如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ成为矩形．
13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P为AB边上不与A，B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是________．
14.如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点.若AC＝8,BD＝6,则四边形EFGH的面积为________.

15.如图，在?ABCD中，AC＝8，BD＝12，点E、F在对角线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形．
（2）求t为何值时，四边形AECF为矩形．

答案解析部分
一、基础夯实
1. D
解：A．对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B．两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C．一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D．其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
逐个分析可得答案.
2. D
解：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH ∥ FG ∥ BD，EF ∥ AC ∥ HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，即对角线互相垂直，
故答案为：D.
【分析】由题意画出图形，因为E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，所以EF、FG、GH、HE分别是三角形ABC、三角形BCD、三角形ACD、三角形ABD的中位线，根据三角形的中位线定理可得：EH ∥ FG ∥ BD，EF ∥ AC ∥ HG；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形EFGH是平行四边形；由矩形的性质可得∠HEF=， 于是由平行线的性质可得∠AOB=， 即对角线互相垂直。
3. D
解：四边形的对角线互相平分，即可得出四边形为平行四边形 添加AC=BD，可根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，判定四边形为矩形。
故答案为：D
【分析】根据矩形的判定定理可添加条件。
4. D
解：∵E，F，G，H分别是AB,BC,CD,AD的中点，
故FG∥AC∥EH,EF∥BD∥GH，
故四边形EFGH是平行四边形，
要使平行四边形为矩形，需EF⊥EH
故AC⊥BD
故答案为：D.
【分析】根据中位线的性质及矩形的判定方法即可求解判断.
5. C
解：A、①AB∥CD；②AB=DC可判定四边形是平行四边形，在加上③AC=BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断，故不符合题意；B、②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°，可根据题意判断出△BCD≌△CBA(SSS),进而得出四边形是矩形进行判定，故不符合题意；C、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形，故符合题意；D、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定，故不符合题意。故答案为：C【版权所有：21教育】
【分析】选项A，①AB∥CD，②AB=DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断；选项B，可根据题意判断出△BCD≌△CBA(SSS),进而得出四边形是矩形；选项C，⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形；选项D，⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定.
6. B
解：当 时，四边形EFGH是矩形，
， ， ，
，
即 ，
四边形EFGH是矩形；
故答案为：B
【分析】由三角形的中位线定理易得四边形EFGH是平行四边形，再证其中一个角是直角即可得解，由题意可知，只需四边形ABCD的对角线互相垂直即可。21·cn·jy·com
7.A
解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，
∴AB=4，
∴AC= =2 ．
∴BE=CD= ．
∴四边形BCDE的面积为：2× =2 ．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的中位线定理得到DF∥BC，由∠C=90°，得到四边形BCDE是矩形；根据勾股定理求出BE=CD的值，求出四边形BCDE的面积.21教育网
8. AD＝BC(答案不唯一)
解：添加条件AD=BC ∵AD∥BC，AD=BC ∴四边形ABCD为平行四边形 ∵∠D=90° ∴四边形ABCD为矩形。 故答案为：AD=BC。 【分析】根据题意添加一个条件，根据现有条件证明四边形ABCD为平行四边形，根据∠D=90°，证明矩形即可。21*cnjy*com
9. 证明：∵过点D、C分别作AC、BD的平行线，相交于点E.∴DE∥OC，DO∥CE，∴四边形ODEC是平行四边形.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠DOC=90°，∴四边形ODEC是矩形.
解：根据平行四边形的判定得出四边形ODEC是平行四边形.根据菱形的性质求出∠DOC=90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证.
10. （1）解：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）解：连接DF，
∵AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵△AEF≌△DEB，
∴BE=FE，
∵AE=DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB，
∵AB=AC，
∴DF=AC，
∴四边形ADCF是矩形.
解：（1）由AF∥BC得∠AFE=∠EBD，继而结合∠EAF=∠EDB、AE=DE即可判定全等；（2）根据AB=AC，且AD是BC边上的中线可得∠ADC=90°，由四边形ADCF是矩形可得答案.
二、提高特训
11. A
解：如图 ∵将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝又无重叠的四边形EFGH， ∴∠A=∠ENH=∠D=∠GMF=90°，∠AEH=∠HEN，∠NEF=∠BEF，AE=EN=BE，AH=HN，HD=HM ∴AB=2EN ∵∠AEH+∠HEN+∠NEF+∠BEF=180°， ∴∠HEF=90°， 同理可证∠EFG=∠HGF=90° ∴四边形EHGF是矩形， ∴EH=FG，EH∥FG ∴∠EHN=∠MFG 在△HEN和△FGM中 ∴△HEN≌△FGM（AAS） ∴HN=FM=AH HF=HN+MN+FM=AH+MN+HN=AH+HM=AH+HD=AD 在Rt△HEF中，EH=3，EF=4 ∴ ∴AD=5; ∵ ∴5EN=3×4 解之： ∴ ∴, ∴AD：AB=25：24. 故答案为：A. 【分析】利用折叠的性质，易证AE=EN=BE，AH=HN，HD=HM，∠HEF=∠EFG=∠HGF=90°，利用矩形的判定定理可证得四边形EHGF是矩形，利用矩形的性质可得到EH=FG，EH∥FG，从而可推出∠EHN=∠MFG，再利用AAS证明△HEN≌△FGM，利用全等三角形的对应边相等，可得到HN=FM=AH，继而可以推出AD=HF，利用勾股定理可得到AD的长；然后利用直角三角形的两个面积公式求出EN的长，即可得到AB的长，再求出AD与AB的比值即可。21cnjy.com
12. 4
解：解：设ts后，四边形ABPQ成为矩形。此时BP=3t cm，DQ=2t cm，则AQ=（20-2t） cm . ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=90°，AQ∥BP ∴当AQ=BP时，四边形ABPQ成为矩形。 所以有20-2t=3t 解得t=4 ∴最快4s后，四边形ABPQ成为矩形． 【分析】先利用”路程=速度×时间“表示出线段BP、DQ，进而表示出线段AQ；然后利用矩形的判定可得当AQ=BP时，四边形ABPQ成为矩形，由此列出方程解出t值即可。2-1-c-n-j-y
13. 4.8
解：如图，连接CP，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝ ＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFPE是矩形，
∴EF＝CP，
由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝ BC?AC＝ AB?CP，
即 ×8×6＝ ×10?CP，
解得CP＝4.8．
故答案为：4.8
【分析】连接CP, PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，可得到四边形CFPE为矩形，则EF=CP，当CP⊥AB时有最小值，则求出CP的最小值即可.【来源：21cnj*y.co*m】
14. 12
解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，
∴EF∥BD，且EF= BD=3．
同理求得EH∥AC∥GF，且EH=GF= AC=4，
又∵AC⊥BD，
∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG．
四边形EFGH是矩形．
∴四边形EFGH的面积=EF?EH=3×4=12，即四边形EFGH的面积是12．
故答案是：12．
【分析】根据三角形中位线平行且等于第三边的一半，可得EF∥BD，且EF= BD=3，EH∥AC∥GF，且EH=GF= AC=4，从而利用矩形的判定方法可证四边形EFGH是矩形，由矩形的面积=长×宽计算即得
15. （1）证明：在?ABCD中，∵AD∥BC，AD=BC，∴∠EBC=∠ADF，由题意知，BE=DF，在△BEC与DFA中，， ∴△BEC≌△DFA中（SAS），∴CE=AF，同理：AE=CF，∴四边形AECF为平行四边形． （2）解：如下图， 由矩形的性质知OE=OF，OA=OC，由（1）知，要使四边形AECF为矩形即∠EAF是直角即可，这时只需OE=OF=OA=AC=4 cm，则∠1＝∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90° ，即∠EAF=90°，此时BE=DF=（BD-EF）=×（12-8）=2 cm或BE=DF=12-2=10 cm.即t=2或t=10时，四边形AECF为矩形．
解：（1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证出四边形AECF为平行四边形；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得OE=OF=OA=AC=4 cm，再根据等腰三角形的性质求BE的长即可. 注意分两种情况.