5.2 菱形（2） 同步训练（含解析）

初中数学浙教版八年级下册5.2 菱形（2） 同步训练
一、基础夯实
1.如图在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（ ??）
A.?AB=AC???????????????????????????B.?AD=BD???????????????????????????C.?BE⊥AC???????????????????????????D.?BE平分∠ABC
2.如图,矩形A BCD的对角线AC,BD相交于点O,CE//BD,DE//AC.若AC=4,则四边形CODE的周长是(?? ).
?
A.?4???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?10
3.已知四边形ABCD中， ，对角线AC，BD相交于点O.下列结论一定成立的是（??? ）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
4.如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（??? ） 21·cn·jy·com
A.?3种???????????????????????????????????????B.?4种???????????????????????????????????????C.?5种???????????????????????????????????????D.?6种
5.下列条件中，能判断四边形是菱形的是（?? ）
A.?对角线互相垂直且相等的四边形?????????????????????????B.?对角线互相垂直的四边形C.?对角线相等的平行四边形????????????????????????????????????D.?对角线互相平分且垂直的四边形
6.如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD=________°．
7.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，要使四边形ABCD为菱形，需要增加的一个条件是：________.（只填一个你认为正确的条件即可，不添加任何线段与字母）
8.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ACBD一定是________．

9.两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE如图放置，AB＝BF.
求证：四边形BNDM为菱形.
10.如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＞AB．
（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 2·1·c·n·j·y
（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．
二、提高特训
11.如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结 ，作 的垂直平分线 分别交 ， ， 于 ， ， ，连结 ， ，则四边形 是（??? ） 【来源：21·世纪·教育·网】
A.?菱形?????????????????????????????????B.?矩形?????????????????????????????????C.?正方形?????????????????????????????????D.?无法判断
12.如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下： 2-1-c-n-j-y
甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形.
乙：分别作 与 的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形.
对于甲、乙两人的作法，可判断(???? )
A.?甲正确，乙错误????????????????B.?甲错误，乙正确????????????????C.?甲、乙均正确????????????????D.?甲、乙均错误
13.如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，小红按如下步骤作图：
①分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．则四边形ADCE的周长为（?? ）
A.?10?????????????????????????????????????????B.?20?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?24
14.如图，在 中，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ， ， ，且 ，过点 作 交 的延长线于点 . 21*cnjy*com
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中与 面积相等的所有三角形（不包括 ）. 21*cnjy*com
15.如图，等腰△ABC中，已知AC＝BC＝2， AB＝4，作∠ACB的外角平分线CF，点E从点B沿着射线BA以每秒2个单位的速度运动，过点E作BC的平行线交CF于点F．
（1）求证：四边形BCFE是平行四边形；
（2）当点E是边AB的中点时，连接AF，试判断四边形AECF的形状，并说明理由；
（3）设运动时间为t秒，是否存在t的值，使得以△EFC的其中两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形？不存在的，试说明理由；存在的，请直接写出t的值．答：t＝________．

答案解析部分
一、基础夯实
1. D
解：添加条件，BE平分∠ABC ∵DE∥BC ∴∠DEB=∠EBC ∵∠EBC=∠EBD ∴∠EBD=∠DEB ∴BD=DE ∵DE∥BC，EF∥AB ∴四边形DBEF为平行四边形 ∵BD=DE ∴平行四边形DBEF为菱形。 www.21-cn-jy.com
故答案为：D. 【分析】根据菱形的判定定理，分别进行判断即可得到答案。
2. C
解：∵ CE//BD,DE//AC ， ∴ 四边形CODE是平行四边形， 在矩形A BCD中，AC =4, ∴OD=OC=AC=2， ∴四边形CODE是菱形， ∴ 四边形CODE的周长：4OC=8. 故选:C. www-2-1-cnjy-com
【分析】利用两组对边分别平行可证四边形CODE是平行四边形，根据矩形的性质可得OC=OD=AC=2，利用一组邻边相等的平行四边形可证四边形CODE是菱形，利用菱形的性质即可求出结论.
3. A
解：在四边形ABCD中， ，
∴四边形ABCD是菱形，
∴ ；
故答案为：A.
【分析】根据菱形的判定和性质，即可得到答案.
4. D
解：共有6种拼接法，如图所示．
故答案为：D．
【分析】根据菱形的性质，找出各种拼接法，即可求解。
5. D
解：A、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；
B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；
C、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；
故答案为：D.
【分析】利用菱形的判定定理，对各选项逐一判断，可得答案。
6. 70．
解：∵CD与BE互相垂直平分，∴四边形BDEC是菱形．∴DB=DE．
∵∠BDE=70°，∴∠ABD= =55°．
∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°﹣55°=35°．
根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，
?∴∠BAC=∠BAD=35°．∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．
【分析】先证明四边形BDEC是菱形，然后求出∠ABD的度数，再利用三角形内角和等于180°求出∠BAD的度数，然后根据轴对称性可得∠BAC=∠BAD，然后求解即可．21教育网
7. 答案不唯一，AB=AD，或AC⊥BD
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴当AB=AD，或AC⊥BD时，?ABCD为菱形，
故答案为：AB=AD（答案不唯一）. 【分析】此题答案不唯一.可根据菱形的判定方法分别从边或对角线上添加即可.
8. 菱形
解：根据垂直平行线可得AB和CD互相垂直平分，根据作图的方法可得AC=BC，则四边形为菱形. 【来
【分析】由作法可知四边相等，即四边形是菱形。
9. 证明：∵两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE，根据矩形的对边平行，
∴BC∥AD，BE∥DF，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵∠ABM+∠MBN＝90°，∠MBN+∠FBN＝90°，
∴∠ABM＝∠FBN.
在△ABM和△FBN中，
?，
∴△ABM≌△FBN，（ASA）.
∴BM＝BN，
∴四边形BNDM是菱形.
解：易证四边形BNDM是平行四边形；根据AB＝BF，运用AAS可证明Rt△ABM≌Rt△FBN，得BM＝BN.根据有一邻边相等的平行四边形是菱形得证.21·世纪*教育网
10. （1）解：如下图所示， （2）四边形ABEF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB，由（1）得：AF=AB，∴BE=AF，又∵BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AF=AB，∴四边形ABEF是菱形. 【出处：21教育名师】
解：（1）由尺规作图作已知角的平分线、作一条线段等于已知线段的作法，连接EF作答即可；（2）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB，得出BE=AB，由（1）得，AF=AB，进而得出AF=AB，得证.【版权所有：21教育】
二、提高特训
11. A
解：证明：
∵MN垂直平分AC，
∴AO=CO，∠AOM=90°，
又∵AD∥BC，
∴∠MAC=∠NCA，
在△AOM和△CON中，
∴△AOM≌△CON，
∴OM=ON，
∴AC和MN互相垂直平分，
∴四边形ANCM是菱形；
故答案为：A.
【分析】利用MN垂直平分AC得到AO=CO，∠AOM=90°，再由AD∥BC得到∠MAC=∠NCA，则可证明△AOM≌△CON，所以OM=ON，于是根据菱形的判定方法可判断四边形ANCM是菱形；
12. C
解：甲的作法如图所示，
四边形ABCD是平行四边形
?
?
又 垂直平分AC
又 ?
?
四边形AFCE为平行四边形
又
? 四边形AFCE为菱形
所以甲的作法正确.
乙的作法如图所示
AE平分
同理可得
又
四边形ABEF为平行四边形
四边形ABEF为菱形
所以乙的作法正确
故答案为：C
【分析】由甲乙的做法，根据菱形的判定方法可知正误
13. A
解：∵分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N，
∴MN是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=CE，
∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠CAD=∠ACE，
∴∠ACD=∠CAE，
∴CD∥AE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形；
∴OA=OC= AC=2，OD=OE，AC⊥DE，
∵∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD= BC= ×3=1.5，
∴AD= =2.5，
∴菱形ADCE的周长=4AD=10．
故答案为：A．
【分析】根据题意得：MN是AC的垂直平分线，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CE∥AB，可证得CD∥AE，继而证得四边形ADCE是菱形，再根据勾股定理求出AD，进而求出菱形ADCE的周长．
14. （1）证明：∵ 、 分别是 、 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ， ，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形
（2）△FEC、△AEB、△ADC、△BDC．
解：（2）解：①∵由（1）知，四边形BCFE是菱形，
∴BC＝FE，BC∥EF，
∴△FEC与△BEC是等底等高的两个三角形，
∴S△FEC＝S△BEC；
②△AEB与△BEC是等底同高的两个三角形，则S△AEB＝S△BEC；
③S△ADC＝ S△ABC ， S△BEC＝ S△ABC ， 则S△ADC＝S△BEC；
④S△BDC＝ S△ABC ， S△BEC＝ S△ABC ， 则S△BDC＝S△BEC ． 21世纪教育网版权所有
综上所述，与△BEC面积相等的三角形有：△FEC、△AEB、△ADC、△BDC．
【分析】（1）由题意易得，EF与BC平行，结合 ，可得四边形BCFE是平行四边形，然后求出邻边 ，则四边形BCFE是菱形；（2）根据等底等高的两个三角形面积相等以及三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分进行求解即可．21教育名师原创作品
15. （1）证明：如图1，∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC，
∵CF平分∠ACH，
∴∠ACF＝∠FCH，
∵∠ACH＝∠B+∠BAC＝∠ACF+∠FCH，
∴∠FCH＝∠B，
∴BE∥CF，
∵EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形
（2）解：四边形AECF是矩形，理由是：
如图2，∵E是AB的中点，AC＝BC，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
由（1）知：四边形BCFE是平行四边形，
∴CF＝BE＝AE，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是矩形
（3）秒或5秒或2秒
解：（3）解：分三种情况：
①以EF和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图3，
∴BE＝BC，即2t＝2 ，
t＝ ；
②以CE和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图4，过C作CD⊥AB于D，
∵AC＝BC，AB＝4，
∴BD＝2，
由勾股定理得：CD＝ ＝ ＝6，
∵EG2＝EC2 ， 即（2t）2＝62+（2t﹣2）2 ，
t＝5；
③以CE和EF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图5，CA＝AF＝BC，此时E与A重合，
∴t＝2，
综上，t的值为 秒或5秒或2秒；
故答案为： 秒或5秒或2秒．
【分析】（1）已知EF∥BC，结合已知条件利用两组对边分别平行证明BCFE是平行四边形；因为AC=BC，等角对等边，得∠B＝∠BAC，CF平分∠ACH，则∠ACF＝∠FCH，结合∠ACH＝∠B+∠BAC＝∠ACF+∠FCH，等量代换得∠FCH＝∠B，则同位角相等两直线平行，得BE∥CF，结合EF∥BC，证得四边形BCFE是平行四边形；（2）先证∠AED=90°，再证四边形AECF是平行四边形，则四边形AECF是平行四边形是矩形；?AC＝BC，E是AB的中点，由等腰三角形三线合一定理知CE⊥AB，因为四边形BCFE是平行四边形，得CF＝BE＝AE，AE∥CF，一组对边平行且相等，且有一内角是直角，则四边形AECF是矩形；（3）分三种情况进行①以EF和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，则邻边BE=BC，这时根据S=vt=2t=, 求出t即可；②以CE和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，过C作CD⊥AB于D，AC=BC，三线合一则BD的长可求，在Rt△BDC中运用勾股定理求出CD的长，把ED长用含t的代数式表示出来，现知EG=CF=EC=EB=2t，在Rt△EDC中，利用勾股定理列式即可求出t；③以CE和EF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，则CA＝AF＝BC，此时E与A重合，则2t=AB=4, 求得t值即可。21cnjy.com