第二章 一元二次方程常规考题（含答案）

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一元二次方程常规考题
——选自2019年全国中考试题
同学们，网课作为新生事物，对传统课堂带来的不仅是冲击，更是严峻的挑战。许多学生脱离课堂后，学业处于半荒废状态。留给学校学习的时间不多，教学任务不会比往年减少，为此，老师准备了这些高频考题，希望对你有所帮助！
客观题部分
一、解一元二次方程
1. （2019四川南充）是关于x的一元二次方程的解，则的值是（ ）
A．-2 B．-3 C．-1 D．-6
2. （2019山东滨州，8，3分）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
3. （ 2019湖南怀化）一元二次方程x2+2x+1=0的解是（ ）
A.x1=1，x2=-1 B.x1=x2=1 C.x1=x2=-1 D.x1=-1，x2=2
4.若一元二次方程的一根为，则k的值为( )
A．-1 B．0 C．1或-1 D．2或0
5.（2019?怀化）一元一次方程的解是( )
A． B． C． D．

6. (2019山东省济宁市)已知x＝1是方程x2＋bx－2＝0的一个根，则方程的另一个根是 ．

7.（2019广西桂林）一元二次方程的根是 ．
8 （2019吉林省）若关于x的一元二次方程（x+3)2=c有实数根，则c的值可以为 （写出一个即可）
9 （2019浙江嘉兴）在的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根．
10（2019江苏南京）已知是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝ ．
二、方程根的判别式

1. （2019湖北荆州）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
2. 一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3. (2019湖北咸宁)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
4. (2019山东聊城)若关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx+k＝6有实数根,则k的取值范围为
A.k≥0 B.k≥0且k≠2 C.k≥ D.k≥且k≠2
5. （2019四川省自贡市）关于x的一元二次方程x2-2x+m=0无实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A.m＜1 B.m≥1 C.m≤1 D.m＞1
6. (2019浙江宁波) 能说明命题”关于x的方程x2－4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例为
A.m＝－1 B.m＝0 C.m＝4 D.m＝5
7.（2019?河南）一元二次方程（x+1）（x–1）=2x+3的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
8.（2019?河北）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=–1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2，则原方程的根的情况是 ( )
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x=–1 D．有两个相等的实数根
9. （2019·江苏镇江）若关于x的方程x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于 ．
10. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的取值为 ．
11. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于 ．

12. （2019宁夏）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．

13. (2019山东枣庄)已知关于x的方程ax2+2x－3＝0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是________.

三、韦达定理（部分地区选学）
1. 已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
A．x1≠x2 B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1?x2＝2
2. （2019广西省贵港市）若是关于x的一元二次方程的两实根，且，则m等于
A．-2 B．-3 C．2 D．3
3. （2019?广东）已知x1，x2是一元二次方程x2–2x=0的两个实数根，下列结论错误的是
A．x1≠x2 B．x12–2x1=0　　　 C．x1+x2=2 D．x1?x2=2




四、应用
1. 已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0,a+2b+c<0，，则有（ ）
A． B．
C． D．
2.（2019.安徽）一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程： 即为例加以说明．数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得.那么下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是 (只填序号)．








3. 扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上画出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm．则可列方程为
A. B.
C. 　　 D.

4. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是
A．4 　　　　　B．5 　　　　C．6 　　　　D．7
5. （2019?新疆）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为
　　A． 　　　B．
　　C．x（x–1）=36 　　　D．x（x+1）=36
6. （2019?山西）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为__________．


解答题部分：

一、解方程
1. （2019?安徽）解方程：（x–1）2=4．



2. （2019?呼和浩特）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x–6）=16的实数根．


3. （2012安徽省）解方程：

4. (2017山东滨州)
根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；
…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n．
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．





二、方程的判别式
1. (2019黑龙江绥化)已知关于x的方程kx2－3x+1＝0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若该方程有两个实数根,分别为x1和x2,当x1+x2+x1x2＝4时,求k的值.




19. （2019北京市，19题，5分） 关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．





三、应用题
1. (2019广西）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．
（1）求这两年藏书的年均增长率；
（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？




2.为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为 200元时，每天可售出 300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？






3. （2019重庆市B卷）某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍.管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费.该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额繳管理费.
(1〕菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位?
(2)为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一:“使用环保袋送礼物”，2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有40％和20％参加了此项活动.为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二:“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一，经调查与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加2a％，每个位的管理费将会减少；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加6a％，每个推位的管理费将会减少，这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少，求a的值.
4. （2019四川攀枝花）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．
销售量y（千克） … 32.5 35 35.5 38 …
售价x（元/千克） … 27.5 25 24.5 22 …
（1）某天这种芒果售价为28元/千克．求当天该芒果的销售量
（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？






5. （2019江苏南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？






6. （2019?徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？




答案：
客观题部分
解一元二次方程
A 2.D 3.C 4.A 5.C
-2 7. 8.1等 9. 10.1
根的判别式
A 2.B 3.B 4.D 5.D 6.D 7.A 8.A
9.1 10.4 11.2 12. 13.且
三、韦达定理
1.D 2.B 3.D
四、应用
1.D 2.② 3.D 4.C 5.A 6.
主观题部分
解方程
1.【答案】x1=3，x2=–1．
2.【答案】3.【答案】
4.（1）①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝3．
（2）①x1＝1，x2＝8；
②x2－(1＋n)x＋n＝0．
（3）x2－9x＋8＝0 x2－9x＝－8 x2－9x＋＝－8＋
(x－)2＝ ∴x－＝±． ∴x1＝1，x2＝8．
根的判别式
1.(1)当k＝0时,方程是一元一次方程,有实数根,符合题意;当k≠0时,方程是一元二次方程,由题意得＝9－4k≥0,∴k≤,综上所述,k的取值范围是k≤.
(2)∵x1和x2是该方程的两个实数根,∴x1+x2＝,x1x2＝,∵x1+x2+x1x2＝4,∴,解得k＝1,经检验,k＝1是原分式方程的解,且1≤,∴k的值为1.

2.【解题过程】解：∵关于x的方程有实数根，
∴∴
又∵m为正整数，∴m=1，此时方程为解得根为，
∴m=1，此方程的根为
应用
1.解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x，则
解得，（舍去）答：这两年藏书的年均增长率是；
（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（万册），
到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：，
答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的．
2.【思路分析】设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，根据总利润＝每个产品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解题过程】解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，
依题意，得：（x﹣100）[300+5（200﹣x）]＝32000，
整理，得：x2﹣360x+32400＝0，
解得：x1＝x2＝180．
180＜200，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．
3.【思路分析】（1）利用题目中所给出来的已知条件，先设4平方米的摊位有x个，则用含x的代数式来表达出2.5平方米的摊位个数，然后利用2.5平方米的摊位个数×每个摊位的管理费+4平方米的摊位个数×每个摊位的管理费=可收取的总共的管理费这个等量关系，就可以列出方程进行求解。
（2）根据题目中的已知条件，就可以计算出来5月份参加活动两种摊位个数，然后再根据已知条件中6月份的摊位个数的增加百分比和管理费用减少的百分比，就可以列出6月份两种摊位的总管理费，而这个管理费还可以用第二种表示方法，就是按原方式共缴纳的管理费×减少后的百分比，就可以找到等量关系，列出方程，进而求得a的值.
【解题过程】
解：（1）设该菜市场共有x个4平方米的摊位,则有2x个2.5平方米的摊位.
根据题意的：
20（4x+2x·2.5）=4500
解得：x=25.
答：设该菜市场共有25个4平方米的摊位
（2）设4平方米的数量为y，则2.5平方米的数量为2y，由题意可得:
（2y×40%）（1+2a%）（2.5×20）（1-a%）+（y×20%）（1+6a%）（4×20）（1-a%）=[（2y×40%）（1+2a%）（2.5×20）+（y×20%）（1+6a%）（4×20）]（1-a%）
解得：:a1=50. a2=0（舍去）.
答：a的值为50.
4.【思路分析】（1）根据表格提供的数据，运用待定系数法先求得y与x的一次函数解析式；（2）根据总利润＝销售量×每千克的利润得出芒果获利m与售价x之间的函数关系式，由水果店该天获利400元，得关于x的方程，解之，合理取值即可.
【解题过程】解：（1）设该一次函数解析式为y＝kx＋b
则,
∴y＝－x＋60（15≤x≤40）．
∴当x＝28时，y＝32．
∴芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克．
（2）由题易知m＝y(x－10)＝(－x＋60)( x－10)＝－x2＋70x－600
当m＝400时，则－x2＋70x－600＝400，整理,得x2－70x＋1000＝0．解得x1＝20，x2＝50．
∵15≤x≤40,∴x＝20．所以这天芒果的售价为20元．
【知识点】一元二次方程的实际应用；一次函数的实际应用
5.【思路分析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，根据矩形的面积公式和总价＝单价×数量列出方程并解答．
【解题过程】解：设扩充后广场的长为3x m，宽为2x m，
依题意得：3x?2x?100+30（3x?2x﹣50×40）＝642000解得x1＝30，x2＝﹣30（舍去）．
所以3x＝90，2x＝60，答：扩充后广场的长为90 m，宽为60 m．
6.【答案】解：设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，依题意，得：2×[（30﹣2x）+（20﹣2x）]x＝200，
整理，得：2x2﹣25x+50＝0，解得：x1，x2＝10．当x＝10时，20﹣2x＝0，不合题意，舍去．
答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2．








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