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1.2.2二次函数的图象导学案
课题 二次函数的图象 单元 1 学科 数学 年级 九年级
知识目标 1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝a(x-m)2＋k的图象。 2、理解并掌握二次函数y＝a(x-m)2＋k的图像性质及它与函数y＝ax2的关系。
重点难点 重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x-m)2＋k的图象，理解函数y＝a(x-m)2＋k与函数y＝ax2的相互关系。 难点：理解函数y＝a(x-m)2＋k与函数y＝ax2的相互关系。
教学过程
知识链接 1.二次函数y＝ax2的图象是____ ，顶点坐标是_____；对称轴是______，当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，当x= 时，有 值是 ；当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，当x= 时， 有 值是 。 2.二次函数y＝a(x-m)2的图象与二次函数y＝ax2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?那么 y＝a(x-m)2+k的图象呢？
合作探究 一、教材第11页 在同一坐标系中作出二次函数, 填表 描点画图 请比较所画三个函数的图象,它们有什么共同的特征? 。 那么我们是否可以由我们学过的抛物线平移得到呢？ 观察 由图知 向右平移 个单位得到， 顶点(0,0)向右平移2个单位得到 。 对称轴: 直线x=0向右平移2个单位得到直线 。 向左平移 个单位得到 顶点(0,0)向左平移2个单位得到 。 对称轴: 直线x=0向左平移2个单位得到 。 总结：二次函数y=a(x- m)2的图象和性质. 平移： y=a(x- m)2 a＞0时，开口________, 最 ____ 点是顶点; a＜0时，开口________, 最 ____ 点是顶点; 对称轴是 _____________， 顶点坐标是 __________。 二、教材第12页 例2 对于二次函数请回答下列问题 把函数的图象作怎样的平移变换，就能得到函数 的图象。 (2)说出函数的图象的顶点坐标和对称轴。 三、教材第13页 在同一直角坐标系中画出函数和的图象 . 想一想 函数由函数的图象怎样平移得到的？ 函数由函数的图象怎样平移得到的？ 四、教材第13页 填一填 归纳二次函数的性质： ； 。
自主尝试 1．抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是( ) A．(－2，5) B．(－2，－5) C．(2，5) D．(2，－5) 2．二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为( ) A B C D 3．关于二次函数y＝－(x＋1)2＋2的图象，下列判断正确的是( ) A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线x＝1 C．图象有最低点 D．图象的顶点坐标为(－1，2) 【方法宝典】 根据二次函数的性质解题即可.
当堂检测 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是( ) A．h>0，k>0 B．h<0，k>0 C．h<0，k<0 D．h>0，k<0 2．某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1m的喷水管喷水最大高度为3m，此时喷水水平距离为m，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是( ) A．y＝－＋3 B．y＝3＋1 C．y＝－8＋3 D．y＝－8＋3 3．抛物线y＝3(x＋2)2可由抛物线y＝3x2向______平移2个单位得到，它的顶点坐标为______________． 4．二次函数图象的顶点坐标为(2，1)，它的形状与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的解析式为__________________________________________. 5．将抛物线y＝ax2＋bx＋c向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到抛物线y＝2x2，则原抛物线是__________________________________________． 6．指出下列抛物线的顶点坐标和对称轴： 抛物线顶点坐标对称轴(1)y＝(x＋2)2(－2，0)直线x＝－2(2)y＝－x2－1(0，－1)y轴(3)y＝－2(x－2)2＋3(2，3)直线x＝2
7.若二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象经过点(－3，2)，(0，－1)． (1)求该二次函数的解析式； (2)指出二次函数y＝ax2＋c(a≠0)图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 8．已知函数y＝(x＋1)2－4. (1)指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)若将该抛物线先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式； (3)原抛物线经过怎样的平移后顶点在原点？
小结反思 通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案： 当堂检测： 1.A2.C 3.左 (－2，0) 4.y＝－2(x－2)2＋1或y＝2(x－2)2＋1 5.y＝2(x－2)2＋3(或y＝2x2－8x＋11) 6. 抛物线顶点坐标对称轴(1)y＝(x＋2)2(－2，0)直线x＝－2(2)y＝－x2－1(0，－1)y轴(3)y＝－2(x－2)2＋3(2，3)直线x＝2
7.(1)二次函数的解析式为y＝x2－1； (2)它的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，－1)． 8.(1)顶点(－1，－4)，开口向上，对称轴为直线x＝－1； (2)y＝(x－1)2； (3)y＝(x＋1)2－4向右平移1个单位，再向上平移4个单位．
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浙教版 九上
1.2.2二次函数的图象
导入新课
二次函数y＝ax2的图象是____ ，顶点坐标是_____；对称轴是______，当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，当x= 时，有 值是 ；当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，当x= 时，
有 值是 。
回顾旧知
抛物线
(0,0)
y轴
减小
增大
0
最小
0
增大
减小
0
最大
0
新知讲解
二次函数y＝a(x-m)2的图象与二次函数y＝ax2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?
那么 y＝a(x-m)2+k的图象呢？
我们开始一起去研究！
新知讲解
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
在同一坐标系中作出二次函数,
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
4.5
2
4.5
2
0.5
0
0.5
4.5
2
2
0.5
0
0.5
新知讲解
描点画图
请比较所画三个函数的图象,它们有什么共同的特征?
归纳总结
由图象可以看出三条抛物线的形状一样。
那么我们是否可以由我们学过的抛物线平移得到呢？
新知讲解
观察：
-2
2
顶点(0,0)
(2,0)
对称轴: 直线x=0
直线x=2
向右平移2个单位得到
向右平移2个单位
向右平移2个单位
归纳总结
向左平移2个单位得到
顶点 坐标(0,0)
(-2,0)
对称轴: 直线x=0
直线x=-2
向左平移2个单位
向左平移2个单位
归纳总结
当m<0时,向左平移
当m>0时,向右平移
二次函数y=a(x- m)2的图象和性质.
a＞0时，开口________, 最 ____ 点是顶点;
a＜0时，开口________, 最 ____ 点是顶点;
对称轴是 _____________，
顶点坐标是 __________。
直线x=m
(m,0)
向上
低
向下
高
二次函数y=a(x- m)2的图象和性质.
归纳总结
例题解析
例2 对于二次函数请回答下列问题：
(1)把函数的图象作怎样的平移变换，就能得到函数的图象。
解：(1)函数的图象向右平移4个单位，就得到函数的图象
解：(2)函数的图象的顶点坐标是(4,0)，对称轴是直线x=4
(2)说出函数的图象的顶点坐标和对称轴。
在同一直角坐标系中画出函数和的图象 .
新知讲解
函数由函数的图象怎样平移得到的？
函数由函数的图象怎样平移得到的？
函数由函数的图象向上平移3个单位得到的
函数由函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的
想一想
二次函数 图象的对称轴 图象的顶点坐标
直线x=0.即y轴 (0,0)
直线x=-2
直线x=-2
(-2，0)
(-2，3)
填一填
归纳总结
二次函数的性质：
一般地，函数的图象，可以由函数的图象先向右(当m>0)或向左(当m<0)平移个单位，再向上(当k>0)或向下(当k<0)平移个单位得到，顶点是(m，k)，对称轴是直线x=m.
当m>0时,向左平移
当m<0时,向右平移
当k>０时向上平移
当k<０时向下平移
m左加右减
k上加下减
的图象：
对称轴是 _____________，
顶点坐标是 __________。
直线x=m
(m, k)
+k
课堂练习
1．抛物线y＝(x＋3)2＋1的顶点坐标是( )
A．(－3，1) B．(－3，－1) C．(3，－1) D．(3，1)
2．在同一坐标平面内，图象不可能由函数y＝2x2＋1的图象通过平移变换或轴对称变换得到的函数是( )
A．y＝2(x＋1)2－1 B．y＝2x2＋3
C．y＝－2x2－1 D．y＝x2－1
A
D
课堂练习
3、将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到函数解析式为： ．
4.对于二次函数 ，已知当x由1增加到2时，函数值减少3，则常数的值是 .
-1
y=-2(x+1)2 +1
课堂练习
5、已知二次函数y=(x+1)2 -4，指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。若图像与x轴的交点为A，B，与y轴的交点为C，求三角形ABC的面积。
解：开口方向朝上，对称轴x=-1 ，顶点坐标（-1，-4）
∵A( 1，0）B（-3，0）C(0,-3)
∴三角形ABC的面积=
课堂练习
6、要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根带有喷水头的水管．喷出的水所形成的水流的形状是抛物线，如果要求水流的最高点到水管的水平距离为1m，距离地面的高度为3m，水流落地处到水管的水平距离是3m，求这根带有喷水头的水管在地面以上的高度？
课堂练习
解：如图，建立直角坐标系，点（1，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数是y=a(x-1)2+3（0≤x≤3）
由这段抛物线经过点（3，0）可得0=a(3-1)2+3
解得：a=
因此抛物线的解析式为：
当x=0时，y=2.25
答：水管长应为2.25m
课堂小结
抛物线
顶点坐标 (m，k) (m，k)
对称轴 直线x=m 直线x=m
位置 由m和k的符号确定 由m和k的符号确定
开口方向 向上 向下
增减性 在对称轴左侧，y随x的增大而减小
在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴左侧，y随x的增大而增大
在对称轴右侧，y随x的增大而减小
二次函数的性质：
布置作业
基础作业
教材第14页作业题A组第1、2、3题
能力作业
教材第15页作业题B组第4、5题
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