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1.2.3二次函数的图象导学案
课题 二次函数的图象 单元 1 学科 数学 年级 九年级
知识目标 理解并掌握二次函数y＝ax2＋bx+c(a≠0)的图像性质及它与函数y＝ax2的关系。
重点难点 重点：掌握二次函数y＝ax2＋bx+c(a≠0)的图像性质，理解函数y＝ax2＋bx+c(a≠0)与函数y＝ax2的相互关系。 难点：掌握二次函数y＝ax2＋bx+c(a≠0)的图像性质
教学过程
知识链接 1.一般地，抛物线y = a(x-m)2 +k与的 相同， 不同。当a>0时，开口 ，当a<0时，开口 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。 2. 对于二次函数y=ax?+bx+c （ a≠0 ）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？ 通过变形能否将y=ax?+bx+c转化为y = a(x-m)2 +k的形式 ？
合作探究 一、教材第15页 将y=ax?+bx+c （ a≠0 ）变形为y = a(x-m)2 +k的形式 y=ax?+bx+c= =a[]+c = 通过化简得到的结果我们可以看出 函数的图象与函数的图象的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。 归纳：二次函数y=ax?+bx+c的性质： 二次函数y=ax?+bx+c( a≠0)的图象是一条 ， 对称轴是直线x= .顶点坐标是为（ ， ） 当a>0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线上的最 点；当a<0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线上的最 点。 二、教材第15页 例3 求抛物线的对称轴和顶点坐标。 三、教材第16页 例4:已知二次函数y=x?+4x–3,请回答下列问题： 1.函数y=x?+4x–3 的图象能否由函数 的图象通过平移变换得到？若能，请说出平移的过程，并画出示意图； 2.说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 四、教材17页 探究活动 一座拱桥的示意图如图，当水面宽12m时，桥洞顶部离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么?如果以水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点 1、点A 2、点B 3、抛物线的顶点C 所得的函数解析式相同吗？ 请试一试。哪一种取法求得的函数解析式最简单？
自主尝试 1．用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( ) A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－25 C．y＝(x＋4)2＋7 D．y＝(x＋4)2－25 2．抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标为( ) A．(1，1) B．(－1，1) C．(1，3) D．(－1，3) 3．下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述，正确的是( ) A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的 【方法宝典】 根据二次函数的性质解题即可.
当堂检测 1．抛物线y＝x2－3x＋的对称轴是( ) A．直线x＝3 B．直线x＝－3 C．直线x＝6 D．直线x＝－6 2．将二次函数y＝－x2－4x＋2化为y＝a(x＋m)2＋k的形式，则( ) A．a＝－1，m＝－2，k＝6 B．a＝－1，m＝2，k＝6 C．a＝1，m＝－2，k＝－6 D．a＝－1，m＝2，k＝－6 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0 4．二次函数y＝ax2＋bx＋a2－2(a，b为常数)的图象如图所示，则a的值为( ) A．－2 B. C．1 D．± 5．抛物线y＝－2x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，则b＝________． 6．抛物线y＝x2－2x－8的对称轴为直线________，顶点坐标为________． 7．已知抛物线y＝x2＋2bx－4的顶点在y轴的右侧，则b的取值范围是________． 8．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝－(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是_______________________________________． 9．求出下列抛物线的顶点坐标和对称轴． (1)y＝－2(x－1)2－4； (2)y＝－2x2＋2x； (3)y＝－x2＋2x－3. 10．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A，C，D作抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，与x轴的另一交点为E，连结EC，点A，B，D的坐标分别为(－2，0)，(3，0)，(0，4)．求抛物线的解析式．
小结反思 通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案： 当堂检测： 1－4.ABDB 5.4 6.x＝1 (1，－9) 7.b＜0 8.y＝－(x＋6)2＋4 9.(1)顶点(1，－4)，对称轴：直线x＝1； (2)顶点，对称轴：直线x＝； (3)顶点(2，－1)，对称轴：直线x＝2. 10.由已知得C(5，4)．把A(－2，0)，D(0，4)，C(5，4)代入抛物线y＝ax2＋bx＋c，得解得所以抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4.
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浙教版 九上
1.2.3二次函数的图象
导入新课
上节课，我们学了y = a(x-m)2 +k的图象，回想一下这个函数图象的形状，开口方向，位置，平移法则？
一般地，抛物线y = a(x-m)2 +k与的 相同， 不同。当a>0时，开口 ，当a<0时，开口 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。
形状
位置
向上
向下
x=m
(m,k)
平移：
上正下负
左加右减
新知讲解
对于二次函数y=ax?+bx+c （ a≠0 ）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？
通过变形能否将y=ax?+bx+c转化为
y = a(x-m)2 +k的形式 ？
将y=ax?+bx+c （ a≠0 ）变形为y = a(x-m)2 +k的形式
y=ax?+bx+c=
=a[]+c
=
新知讲解
函数的图象与函数的图象的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。
新知讲解
二次函数y=ax?+bx+c( a≠0)的图象是一条抛物线，
对称轴是直线x= .
顶点坐标是为（ ， ）
当a>0时，抛物线的开口向上，
当a<0时，抛物线的开口向下，
二次函数y=ax?+bx+c的性质：
顶点是抛物线上的最高点。
顶点是抛物线上的最低点。
归纳总结
拓展提升
已知二次函数的图象如图所示，试确定a，b，c的符号
解：(1) ∵开口向下
∴a<0
∵
∴b>0
∵抛物线与y轴的交点在正半轴
∴c>0
(2) ∵开口向下
∴a<0
∵
∴b<0
∵抛物线与y轴的交点在负半轴
∴c<0
(3) ∵开口向上
∴a>0
∵
∴b<0
∵抛物线与y轴的交点原点
∴c=0
例题解析
解：a=，b=3，c=
∴
=2
因此，抛物线的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，2）。
例3 求抛物线的对称轴和顶点坐标。
求下列函数图象的对称轴和顶点坐标
顶点坐标：
对称轴:
(-1,2)
(,-4)
直线x=-1
直线x=
自主练习
例题解析
例4:已知二次函数y=x?+4x–3,请回答下列问题：
1、函数y=x?+4x–3 的图象能否由函数 的图象通过平移变换得到？若能，请说出平移的过程，并画出示意图；
2、说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
解：原函数可以化为
(1)函数的图象可由函数的图象先向右平移4个单位，再向上平移5个单位得到，如图：
2、函数图象的开口方向向下、对称轴是直线x=4，顶点坐标是(4,5)
探究活动
一座拱桥的示意图如图，当水面宽12m时，桥洞顶部
离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么?如果以水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点：
1、点A 2、点B
3、抛物线的顶点C
所得的函数解析式相同吗？
请试一试。哪一种取法求
得的函数解析式最简单？
A
B
C
12m
想一想
求函数解析式首先要建立平面直角坐标系。
1、以点A为坐标原点，则B点的坐标是(12,0)，C点的坐标是(6，4)
设函数解析式为
则： 解得：
所以函数解析式为：
二次函数 图象的对称轴 图象的顶点坐标
直线x=0.即y轴 (0,0)
直线x=-2
直线x=-2
(-2，0)
(-2，3)
填一填
归纳总结
二次函数的性质：
一般地，函数的图象，可以由函数的图象先向右(当m>0)或向左(当m<0)平移个单位，再向上(当k>0)或向下(当k<0)平移个单位得到，顶点是(m，k)，对称轴是直线x=m.
2、以点B为坐标原点，则A点的坐标是(-12,0)，C点的坐标是(-6，4)
设函数解析式为
则： 解得：
所以函数解析式为：
3、以点C为坐标原点，则B点的坐标是(6,-4)，A点的坐标是(-6，-4)
设函数解析式为
则：-4=36a 解得：a=
所以函数解析式为：
由此可知取的坐标原点不同，函数解析式不同，当取C点为原点时，计算解析式比较简单。
如图：有一抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面的宽度为米；水位上升4米，就达到警戒线CD，这时的水面宽为米。若洪水到来时，水位以每小时0.5米速度上升，求水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？
拓展提升
设函数的解析式为y=a（x-2）（x+2），由题意，得
解得：a= 则
当x=0时，y=8 则OM=8
则水过警戒线后淹没到拱桥顶端M处的时间为：（8-4）÷0.5=8小时
答：水过警戒线后淹没到拱桥顶端M处的时间为8小时
课堂练习
1．用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为 ( )
A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－25
C．y＝(x＋4)2＋7 D．y＝(x＋4)2－25
2．抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标为 ( )
A．(1，1) B．(－1，1)
C．(1，3) D．(－1，3)
B
A
课堂练习
3、抛物线y=x2 +2x+b的图象全部在x轴的上方，则b的取值范围为： ．
4、若二次函数 的最大值为4，且图象过点（-3,0）则二次函数解析式为： ．
b＜1
y= -4x 2 -16x-12
课堂练习
5. 求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．
(1)y＝x2＋2x－3(配方法)；
(2)
所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1,).
课堂练习
课堂练习
课堂小结
二次函数y=ax?+bx+c( a≠0)的图象是一条抛物线，
对称轴是直线x=
顶点坐标是为（ ， ）
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
二次函数y=ax?+bx+c的性质：
布置作业
基础作业
教材第17页作业题A组第1、2、3题
能力作业
教材第18页作业题B组第4、5题
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