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浙教版 九上
1.4.1二次函数的应用
导入新课
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)何时有最大值或最小值？
2、如何求二次函数的最值？
当a>0，x=时，二次函数有最小值
当a<0，x=时，二次函数有最大值
配方法
公式法
新知讲解
想一想：
用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
新知讲解
例1、如图①中窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形（如图②）.如果制作一个窗户边框的材料的总长度为6m，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大(结果精确到0.01m)?
图①
图②
新知讲解
解:如图②,设半圆的半径为x(m),窗框矩形部分的另一边长y(m),
根据题意,有5x+πx+2x+2y=6,即y=3- (π+7)x.
∵y>0，∴3- (π+7)x>0，解得0 ∴S
∵
归纳总结
又∵，且在0∴当时，S最大值=
此时，y≈1.23
答：当窗户半圆的半径约为0.35m，窗框矩形部分的另一边长约为1.23m时，窗户的透光面积最大，最大值约为1.05m2.
(1)设，设好x，y；
(2)列，列出二次函数的解析式，并确定自变量的取值范围；
(3)求，在自变量的取值范围内求出二次函数的最大值或最小值；
(4)答．
二次函数应用的一般步骤是：
归纳
方法技巧
二次函数求实际问题中的最值问题的解答
1、求出函数表达式和自变量的取值范围
2、通过配方或利用公式求最大值或最小值
注意：求出的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。
新知讲解
现在我们来解决课前想一想
用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形窗框的面积为y,由题意得，
=
= (0∴当窗框的宽，窗框的长为时，窗框的透光面积最大。最大面积为
自主练习
在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6，今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？
解：如图所示：∵AE=AH=CF=CG=x，
∴BE=GC=6-x，BF=DH=10-x，
∴四边形EFGH的面积为：
S=6×10-x2-x2-6-x)(10-x)-(6-x)(10-x)
=-2x2+16x，
=-2(x2-8x)，
=-2(x-4)2+32，
故当x=4时，S最大为32．
课堂练习
1．已知二次函数y＝(x－4)2＋2，则当1≤x≤3时，该函数( )
A．有最大值11，有最小值2
B．只有最大值11，无最小值
C．只有最小值3，无最大值
D．有最小值3，有最大值11
2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且b2＝ac，当x＝0 时，y＝－4，则( )
A．y最大＝－4 B．y最小＝－4
C．y最大＝－3 D．y最小＝－3
D
B
课堂练习
3．两个正数的和为50，设其中一个为x，他们的积为y ，则y关于x的函数表达式是y＝ ，当x＝ 时，y最大＝ ．
4.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为 m2.
-
25
625
75
课堂练习
5、某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，如图，大门地面宽AB＝4米，顶部C离地面的高度为4.4米，现在一 辆装满货物的汽车欲通过大门，货物顶部离地面的高 度为2.8米，装货宽度为2.4米，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
课堂练习
解：根据题意知，A（-2，-4.4），B（2，-4.4），
设这个函数为y=kx2．
将A的坐标代入，得y=- 1.1x2，
∴E、F两点的横坐标就应该是-1.2 和1.2，
∴将x=1.2代入函数式，得y≈-1.6，
∴GH=CH-CG=4.4-1.6=2.8m，
因此这辆汽车正好可以通过大门．
课堂练习
6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝1.两个动点 P，Q同时从点A出发，但点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两者同时到达点C
(1)点Q的速度是点P速度的多少倍？
(2)设AP＝x，△APQ的面积为y，当点Q在BC上运动时，写出y关于x的函数表达式和x的取值范围，并求出y的最大值．
课堂练习
解：(1)∵∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝1，
∴BC＝2AB＝2，AC＝＝.
∴＝＝，
即点Q的速度是点P速度的倍．
(2)过点Q作QE⊥AC于点E
∵∠C＝30°，∴CQ＝2QE.
∵AB＋BQ＝x，∴CQ＝3－x，
∴QE＝，
∴y＝x·＝－x 2＋x.
∵0<3－x≤2，∴≤x<.
∵y＝－x2＋x＝－＋，
∴当x＝(属于≤x<范围)时，
y有最大值,
课堂小结
运用二次函数求实际问题中的最值问题，一般的步骤：
①把问题归结为二次函数问题（设自变量和函数）；
③通过配方变形或利用公式求它的最值（在自变量的取值范围内）；（或利用函数图象找最值）
②求出函数表达式和自变量的取值范围；
④答。
布置作业
基础作业
教材第25页作业题A组第1、2、3题
能力作业
教材第25页作业题B组第4、5题
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1.4.1二次函数的应用导学案
课题 二次函数的应用 单元 1 学科 数学 年级 九年级
知识目标 经历利用二次函数解决实际问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。
重点难点 重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值。 难点：运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值。
教学过程
知识链接 提问： 1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)何时有最大值或最小值？ 2、如何求二次函数的最值？
合作探究 一、教材第23页 想一想： 用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？ 二、教材第24页 例1、如图①中窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形（如图②）.如果制作一个窗户边框的材料的总长度为6m，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大(结果精确到0.01m)? 归纳：二次函数求实际问题中的最值问题的解答 1、 ； 2、 。 注意：求出的最大值或最小值对应的自变量的值必须在 内。 现在我们来解决课前想一想 用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
自主尝试 1．如图所示，是一个长8m、宽6m的矩形小花园，根据需要将它的长缩短xm、宽增加xm，要想使修改后的小花园面积达到最大，则x应为( ) A．1m????? ?B．1．5m?? C．2m???? ?D．2．5m 2．小明参加学校运动会的跳高比赛，函数h=3．15t－4．5t2(t单位：秒；h单位：米)可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是( ) A．0．25秒? ?B．0．3秒? ? C．0．35秒? ?D．0．7秒 3．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最大值是 cm2． 【方法宝典】 根据二次函数的性质解题即可.
当堂检测 1．如图是二次函数y＝－(x－3)2＋4的图象，当－1≤x≤4时，该函数( ) A．有最大值3，最小值0 B．只有最大值是4，无最小值 C．有最小值是－12，最大值是3 D．有最小值是－12，最大值是4 2．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是( ) A．4cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2 3．如果二次函数y＝ax2－6x＋1有最小值为0，则a的值为________． 4．二次函数y＝(x－2)2＋3，当－1小结反思 通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案： 当堂检测： 1－2.DA 3.9 4.3≤y<12 5. 6.12.5 7．(1)最小值－9； (2)最大值12. 8.m2，这时CE＝m，CF＝m. 9.(1)因为AB＝1，小正方形的边长为AB，所以AD＝(6－1－1－1－0.5)÷2＝1.25.故此时窗户的透光面积为1×1.25＝1.25m2. (2)设AB＝x，则FD＝0.5x，AD＝，因为AD>FD，所以>0.5x，化简得4.5x<6，解得x<，所以x的取值范围为0
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