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1.2.1二次函数的图象导学案
课题 二次函数的图象 单元 1 学科 数学 年级 九年级
知识目标 1. 了解二次函数图象的概念 2. 学会用描点法画y=ax2图象。 3.学会观察、归纳、概括函数图像的特征 4. 掌握y=ax2图象的位置关系及有关性质
重点难点 重点：函数 y=ax2型二次函数的描绘和图像特征的归纳 难点：选择适当的自变量和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂；还有提高实际的应用难度较高
教学过程
知识链接 1. 正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么 2. 一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么 3. 反比例函数（k ≠ 0）其图象又是什么 （学生思考后集体回答） 想一想： 铅球推出以后沿着怎样的一条曲线运动？你能用二次函数的表达式来描述这条曲线吗？
合作探究 一、教材第7页 按下列步骤用描点法画二次函数y＝的图象 1.完成自变量与函数的对应值表 注意：列表时自变量取值要均匀和对称。 2、建立适当的直角坐标系，并以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点。 3、用光滑曲线顺次连结各点 归纳画函数图象的步骤： 画二次函数的图象一般用描点法，分为以下三步： (1) ； (2) ； (3) ． 观察函数图象回答问题： 1、二次函数的图象像什么？ 2、图象是否是对称图形，对称轴是什么？ 3、什么是图象的顶点？ 归纳： 。 二、教材第8页 在同一个坐标系中画出二次函数 和的图象。 1. 列自变量y与函数x的对应值表. 2. 描点， 并用光滑曲线顺次连结各点， 即可得到函数与 的图象 三、教材第9页 想一想 二次函数的图象与的图象关于什么对称？如果已知的图象，你认为可怎样更方便地得到的图象？ 填一填 归纳：二次函数的性质： ， 。 教材第9页 例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像经过点(-2,-3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式. (2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置.
自主尝试 1．已知二次函数y＝ax2的图象过点(－1，3)，则a的值为( ) A．－3 B．3 C. D．－ 2．若抛物线y＝(2m－1)x2的开口向下，则m的取值范围是( ) A．m＜0 B．m＜ C．m＞ D．m＞－ 3．已知正方形的边长为x(cm)，则它的面积y(cm2)与边长x(cm)的函数关系可表示为图中的( ) 【方法宝典】 根据二次函数的性质解题即可.
当堂检测 1．将函数y＝kx2与y＝kx＋k的图象画在同一直角坐标系中，可能的是( ) 2．抛物线y＝ax2与y＝2x2形状相同，则a＝________． 第6题图 3．如图，四个函数图象对应的解析式分别是：①y＝ax2，②y＝bx2，③y＝cx2，④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系是_____________． 4．若抛物线y＝x2＋bx－c的图象经过点(1，2)，则b－c的值为________． 5．抛物线y＝－x2开口________，顶点坐标是________，当x________0时，y<0. 6．在同一坐标系中画出下列函数的图象． (1)y＝x2； (2)y＝－x2. 7．已知抛物线y＝ax2经过点(－2，－8)． (1)求此抛物线的解析式； (2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上； (3)求出此抛物线上纵坐标为－4的点的坐标． 8.抛物线y＝ax2(a≠0)与直线y＝4x－3交于点A(m，1)． (1)求点A的坐标及抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)写出抛物线y＝ax2与直线y＝4x－3的另一个交点B的坐标．
小结反思 通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案： 当堂检测： 1.C 2.±2 3.a>b>c>d 4.1 5.向下 (0，0) ≠ 6. x…－2－1012…y＝x2…202…y＝－x2…－4－10－1－4…
描点，连线： 7．(1)y＝－2x2； (2)点B(－1，－4)不在此抛物线上； (3)(，－4)或(－，－4)． 8.(1)A(1，1)，y＝x2； (2)开口向上，顶点(0，0)，对称轴为y轴； (3)B(3，9)．由得∴B(3，9)．
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浙教版 九上
1.2.1二次函数的图象
导入新课
一、正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么。
二、一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么。
正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是一条经过原点的直线。
一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象也是一条直线。
三、反比例函数 （k ≠ 0）其图象又是什么。
反比例函数（k ≠ 0）其图象是双曲线。
新知讲解
铅球推出以后沿着怎样的一条曲线运动？你能用二次函数的表达式来描述这条曲线吗？
想一想：
新知讲解
x … -3.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 3.5 …
y … 0 1 …
按下列步骤用描点法画二次函数y＝的图象
1.完成自变量与函数的对应值表
12.25
9
4
1
4
9
12.25
注意：列表时自变量
取值要均匀和对称。
新知讲解
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
2、建立适当的直角坐标系，并以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点。
3、用光滑曲线顺次连结各点
归纳总结
画二次函数的图象一般用描点法，分为以下三步：
(1)列表：观察y＝ax2(a≠0)的表达式，选择适当的自
变量x的值，并计算相应的函数值y，为了计算方便，
x一般取整数．
(2)描点：在直角坐标系中描出各点；
(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点．
函数图象画法
列表
描点
连线
描点法
新知讲解
观察：
1、二次函数的图象像什么？
2、图象是否是对称图形，对称轴是什么？
3、什么是图象的顶点？
这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点
归纳总结
二次函数y=ax2(a不等于0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点。
自主练习
在同一直角坐标系中，画出函数y= x2 ，y=2x2 的图象
解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
8
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
4.5
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
4.5
8
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
2、在坐标图中找出各点坐标，然后连结各点
函数，的图象与函数的图象相比，有什么共同点和不同点？
相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴
不同点：a 要越大，抛物线的开口越小．
想一想
x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 …
… 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
… -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 …
在同一个坐标系中画出二次函数 和的图象。
1. 列自变量y与函数x的对应值表.
2. 描点， 并用光滑曲线顺次连结各点， 即可得到函数与 的图象
想一想
二次函数的图象与的图象关于什么对称？如果已知的图象，你认为可怎样更方便地得到的图象？
抛物线 y=x2 y=-x2
对称轴
顶点坐标
位置
开口方向
最值
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方（除顶点外）
在x轴的下方（除顶点外）
向上
向下
当x=0时，最小值为0
当x=0时，最大值为0
填一填
归纳总结
二次函数y=ax2(a不等于0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点。当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
二次函数的性质：
例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像经过点(-2,-3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置.
例题解析
解：(1)把点(-2，-3)的坐标代入，得-3=，
解得：a=-
这个二次函数的表达式是
(2)顶点为(0,0)，对称轴为y轴
因为a=-,所以这个二次函数图象的开口向下，顶点是图象上的最高点，图象在x轴的下方(除顶点外)。
直线y＝kx＋b经过点A(2，0)，且与抛物线y＝ax2(a≠0)相交于B，C两点，已知C(－2，4)．
(1)求直线和抛物线的表达式；
(2)在同一坐标系中画出它们的图象；
(3)求S△AOC.
拓展提升
例2、已知函数的图象是抛物线
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，抛物线的开口向下？
(3)当m为何值时，抛物线有最低点？并写出它的顶点坐标和对称轴。
解：(1)因为函数是抛物线，所以此函数是二次函数
即：且m+3≠0
解得：m=-4，m=1
(2)抛物线开口向下，即m+3<0，所以m<-3，即m=-4
(3)抛物线有最低点，开口向上，即m+3>0，所以m>-3，即m=1
顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴。
课堂练习
2.下列各点在抛物线y＝2x2上的是( )
A．(2，1) B．(1，2)
C．(1，－2) D．(－1，－2)
1.如图所示的函数图象所表示的表达式有可能是( )
A．y＝－x2 B．y＝x2
C．y＝x D．
B
B
课堂练习
3.函数y＝-x2的对称轴是___________________，顶点坐标是_________，开口________，顶点是抛物线的__________，抛物线在x轴的________(除顶点外)．
4.抛物线y＝ax2与y＝2x2形状相同，则a＝_______．
直线x＝0(或y轴)
(0，0)
向下
最高点
下方
±2
课堂练习
5、已知抛物线经过点A(-2，-8)。
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上。
(3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
解：(1)将点A(-2，-8)代入中，即：-8=4a
∴a=-2
∴抛物线的解析式为：
(2)将点B(-1，-4)代入-4=-2，不成立
∴点B不在抛物线上。
(3)将-6代入解析式，即-6=-2
解得：x= ±
课堂练习
课堂练习
6．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2(a＜0)的图象上，求a的值．
课堂练习
课堂小结
1、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴.
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展； 当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展.
布置作业
基础作业
教材第10页作业题A组第1、3、4题
能力作业
教材第10页作业题B组第5、6题
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