5.3.2 正方形(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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浙江版八年级数学下册第5章特殊平行四边形
5.3 正 方 形
第2课时 正 方 形(2)
【知识清单】
正方形的性质：
1．正方形的四个角都是直角，四条边相等；
2．正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
【经典例题】
例题1、如图，正方形ABCD中，∠DAF=22.5°，AF交对角线BD于点E，那么∠AEB等于(　　)
A．35° B．45° C．60° D．70°
【考点】正方形的性质．
【分析】根据已知条件证明△AED≌△CED，即可证明∠ECF=∠DAF=22.5°，从而求得∠BAF=∠BCE=67.5°，再根据四边形的内角和定理即可求解．
【解答】∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，∠DAB=∠ABC=90°，
在△ADE和△CDE中，
∵，
∴△ADE≌△CDE.
∴∠DCE=∠DAF=22.5°，
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠BAF=∠BCE=67.5°，
在四边形ABCE中，∠AEC=360°67.5°90°67.5°=135°，
∴∠CEF=180°135°=45°(方法不唯一).
故选B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，正确理解，证明△AED≌△CED是解题的关键．
例题2、如图，正方形ABCD的∠D，∠B分别沿直线EF、MN折叠，点D、点B分别落在点D′、点B′处，∠1+∠2+∠3+∠4=______．
【考点】正方形的性质．
【分析】根据多边形内角和为(n2)×180°，
再根据正方形性质即可得出答案．
【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠D′=∠B′=90°
∵六边形AMNCEF的内角和是：(62)×180°=720°，
∴∠A+∠AFE+∠FEC+∠C+∠CNM+∠NMA=720°．
∴∠AFE+∠FEC+∠CNM+∠NMA=720°∠A∠C
=720°90°90°=540°.
∵∠AFE=∠1+∠D′FE ，∠FEC=∠2 +∠D′EF，
∠CNM=∠3+∠CNB′，∠NMA=∠4+∠NMB′，
∠D′FE+∠D′EF=90°，∠CNB′+∠NMB′=90°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°90°90°=360°.
故答案是：360°．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式、直角三角形中两个锐角互余性质及正方形性质，理解轴对称和多边形内角和公式是解决问题的关键.
【夯实基础】
1、正方形具有而菱形不一定具有的特征是(　　)
A．四边都相等 B．每条对角线平分一组对角
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分
2、下列图形中:①正方形；②线段；③三角形；④一个角；⑤平行四边形；⑥圆；⑦等腰梯形. 既
是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是(　　)
A．3个　　　　　　　 B．4个　　　　　　 C．5个　　　　　　　 D．6个
3、如图，已知点P为正方形ABCD内一点，且PA=PB=10cm，点P到边AD的距离也为10cm，
则正方形ABCD的对角线边长为( )cm．
A．8　　　　 B．8　　　 C．16　　　　 D．16
4、如图，边长为1的正方形ABCD绕着点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的
面积为( )
A．　　　　 B．　　　 C．1　　　　 D．2







5、图中的矩形是由六个正方形组成，其中正方形①的面积为1，④和⑥的边长相等，则正方形
③的面积为 .
6、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形DEC，连结AE、BE，则∠AEB的度数为 .










7、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BD于点F，
连接DE交AC于点G，下列结论：①OF=EC；②EG=DG；③S△ABE︰S△AEC=1︰；
④AE8、如图：点P在正方形ABCD外，PB等于13cm，△APB的面积为60cm2，△BPC的面积
为40cm2， 求正方形ABCD的面积.







9、如图，已知在正方形ABCD中，E、F分别为BC，CD的延长线，且BE=EF+FD，求证：∠FAE=45°.






【提优特训】
10、如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段PQ的两端放在正方形的相邻的两边上同
时滑动.如果点P从点A出发，沿图中所示方向按A?B?C?D?A滑动到A止，同时点Q从点B出发，沿图中所示方向按B?C?D?A?B滑动到B止，在这个过程中，线段PQ的中点E所经过的路线围成的图形的面积为(　　)
A．2 B．4π C．π D．π1





11、如图，在四边形ABCD中，AB=AD=DC，∠BAD=90°，∠ADC=150°，则∠ABC的度数为( )
A．50°?? B．55°? C．65°? D．75°
12、如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角
线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为(　　)
A． ? ? B．2? C． ? D．2








13、如图，四边形ABCD是正方形，点E是BA延长线上一点，以DE为边长作正方形DEFG，
若正方形ABCD和正方形DGFE的面积分别是7cm2和11cm2，则△CDG的面积为( ) cm2
A．2 ?? B．4? C．? D．
14、如图，正方形ABCD的边长为6，点E在AB边上．四边形EFQB也为正方形，设△AFC的
面积为S，则S=????? ?????.?
15、已知正方形ABCD边长为10cm，P是AB上任意一点，则点P到对角线AC、BD的距离之
和等于　　　　　?cm.
16、如图，正方形ABCD的面积为5cm2，E，F分别为CD，DA的中点，BE，CF交于点P．求
AP的长．





17、如图，在正方形ABCD中，AB=6，用一块含45°的三角板，把45°角的顶点放在D点，将三
角板绕着点D旋转，使这个45°角的两边与线段AB、BC分别相交于点E、F．
(1)由几个不同的位置，分别测量AE、EF、FC的长，从中你能发现AE、EF、FC的数量之
间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；
(2)设AE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，
并写出函数的定义域．




18、如图，△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线
于点E，交∠ACG的平分线于点F.
(1)求证：OE=OF；
(2)若CE=，CF=，求OC的长；
(3)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形；
(4)当O是AC上怎样的点，且AC与BC具有
什么关系时，四边形AECF是正方形？



【中考链接】
19、(2019?四川巴中)下列命题是真命题的是(??)?
A．对角线相等的四边形是矩形?? B．对角线互相垂直的四边形是矩形?
? C．对角线互相垂直的矩形是正方形?? D．四边相等的平行四边形是正方形
20、 (2019?浙江丽水) 将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，
展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相
等，则的值是(　　)
A．?????????B．﹣1???????????C．??????????????D．






21、(2019?甘肃兰州) 如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形
ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则DM＝(?????)
A.?????????B.?????????C.?－1????? D.?－1







参考答案
1、C 2、B 3、D 4、C 5、36 6、30° 7、①③④⑤ 10、B 11、D 12、B
13、D 14、18 15、 19、C 20、A 21、D
8、如图：点P在正方形ABCD外，PB等于13cm，△APB的面积为60cm2，△BPC的面积
为40cm2， 求正方形ABCD的面积.
解：∵△APB的面积为40，△BPC的面积为20，
∴P到AB的距离:P到BC的距离等于3:2，
设P到BC的距离PE为2x，则P到AB的距离EB为3x，
在Rt△BPE中，(2x)2+(3x)2=132，
∴x2=13，
∵x >0，
解得：x=，2 x=2，
∴?BC?2=40
解得：BC= x=，
故BC2=，即正方形ABCD的面积为cm2．
9、如图，已知在正方形ABCD中，E、F分别为BC，CD的延长线，且BE=EF+FD，求证：∠FAE=45°.
证明：在BE上截取BG=DF，连结AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°，
在△ABG和△ADF中
∵
∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF.
∵∠BAG+∠GAD=90°，
∴∠GAD+∠DAF=90°，即∠GAF=90°.
∵BE=EF+FD，BG=DF，
∴BG+GE= EF+FD，
∴EG=EF.
在△AFE和△AGE中
∵
∴△AFE≌△AGE(SSS)，
∴∠FAE=∠GAE=∠GAF=45°.
16、如图，正方形ABCD的面积为5cm2，E，F分别为CD，DA的中点，BE，CF交于点P．求
AP的长．
解：延长CF、BA交于点M，如图所示
∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的面积为5cm2，
∴AB=BC=CD=DA=cm，∠BAD=∠BCE=∠D=90°，
∴∠MAF=90°，
∵E，F分别为CD，AD的中点，
∴CE=DE=DF=AF，
在△BCE和△CDF中，
∵，
∴△BCE≌△CDF(SAS)，
∴∠CBE=∠DCF．
∵∠DCF+∠BCP=90°，
∴∠CBE+∠BCP=90°，
∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°．
在△CDF和△MAF中，
∵，

∴△CDF≌△MAF(ASA)，
∴CD=AM．
∵CD=AB，
∴AB=AM．
∴PA是Rt△BPM斜边BM上的中线，
∴AP=BM，
∴AP=AB=cm．
17、如图，在正方形ABCD中，AB=6，用一块含45°的三角板，把45°角的顶点放在D点，将三
角板绕着点D旋转，使这个45°角的两边与线段AB、BC分别相交于点E、F．
(1)由几个不同的位置，分别测量AE、EF、FC的长，从中你能发现AE、EF、FC的数量之
间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；
(2)设AE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域．
解：(1)EF=AE+FC．
理由：如图所示：延长BC至M，使CM=AE，连接DM，
在△DAE和△DCM中，
∵，
∴△DAE≌△DCM(SAS)，
∴DE=DM，∠ADE=∠CDM，
∠FDM=∠FDC+∠CDM=∠FDC+∠ADE=90°-∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，
∵，
∴△DEF≌△DMF(SAS)，
∴EF=MF=CM+FC=AE+FC；
(2)如图所示，已知AE=x，CF=y，则BE=6x，BF=6y，
由(1)可知EF=x+y，
在Rt△BEF中，由勾股定理，得
BE2+BF2=EF2，即(6x)2+(6y)2=(x+y)2，
解得：y=(0≤x≤6)．
18、如图，△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线
于点E，交∠ACG的平分线于点F.
(1)求证：OE=OF；
(2)若CE=，CF=，求OC的长；
(3)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形；
(4)当O是AC上怎样的点，且AC与BC具有
什么关系时，四边形AECF是正方形？
(1)证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，
交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵MN∥BC，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
(2)∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∵CE=，CF=
∴EF==3，
∴OC=EF=1.5；
(3)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
(4)由(3)可知四边形AECF是矩形，要使AECF为正方形，必须使EF⊥AC，
∵EF∥BC，
∴BC⊥AC，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，?
∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形.



第9题图

第21题图

第20题图

第16题图

第18题图



第17题图


第18题图



第8题图

第17题图

第16题图

第18题图

第7题图



例题2图



第9题图

第17题图

第16题图

第6题图

第8题图

第5题图




第4题图

第9题图

第14题图



第13题图


第12题图


第11题图

第10题图

例题1图



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