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第5章 特殊平行四边形单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
解：矩形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分且相等；
平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分；
故选项A、B、C不符合题意，D符合题意；
故选：D．
2．（3分）下列说法中不正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．菱形的邻边相等
解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；
B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；
C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；
D．菱形的邻边相等；正确；
故选：C．
3．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在CD上，连接AE、BE，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，则△ABE的周长等于（ ）
A．6 B．4 C．2+2 D．3+2
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴BC＝AD＝1，∠C＝∠D＝90°，
∵∠DAE＝∠CBE＝45°，
∴DE＝AD＝1，CE＝1，AE＝BC＝，BE＝，
∴AB＝CD＝1+1＝2，
∴△ABE的周长＝2++＝2+2，
故选：C．
4．（3分）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
解：∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴OD＝＝，
∴CE＝，
故选：C．
5．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1，1），若平移点A到点C，使得以点O，A，B，C为顶点的四边形为菱形，正确的是（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位．
B．向右平移1个单位，再向上平移1个单位．
C．向左平移个单位，再向下平移1个单位．
D．向右平移个单位，再向上平移1个单位．
解：选项B是正确的，理由如下：
∵B（1，1），
∴OB＝，
∵OA＝，
∴OB＝OA，
∵点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到C，
∴OB∥AC，OB＝AC，
∴四边形OBCA是平行四边形，
∵OA＝OB，
∴四边形OBCA是菱形．
故选：B．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．24 B．3.6 C．4.8 D．5
解：连接PC，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∴PC的最小值为：＝4.8．
∴线段EF长的最小值为4.8．
故选：C．
7．（3分）如图，在?ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（ ）
A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形．
故选：C．
8．（3分）如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断
解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．
∵两张长方形纸条的宽度相等，
∴DE＝DF．
又∵平行四边形ABCD的面积＝AB?DE＝BC?DF，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD为菱形．
故选：B．
9．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，再从四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
①AB＝BC，
②∠ABC＝90?，
③AC＝BD，
④AC⊥BD
A．选①② B．选①③ C．选②③ D．选②④
解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意．
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
10．（3分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为（ ）
A．6 B．24 C．26 D．12
解：设图1中分成的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
，得，
∴图1中菱形的面积为：×4＝12，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE＝CD，连接AE交BC于F，∠AFC＝n∠D，当n＝ 2 时，四边形ABEC是矩形．
解：当∠AFC＝2∠D时，四边形ABEC是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∠BCE＝∠D，
由题意易得AB∥EC，AB＝EC，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∵∠AFC＝∠FEC+∠BCE，
∴当∠AFC＝2∠D时，则有∠FEC＝∠FCE，
∴FC＝FE，
∴四边形ABEC是矩形，
故答案为：2．
12．（4分）如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．则小米的依据是 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ．
解：∵AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，
∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON，
∵AD∥BC，
∴∠AMO＝∠CNO，
在△AOM和△CON中
∴△AOM≌△CON（AAS）
∴AM＝CN，
又∵AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
又∵MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
故答案为：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
13．（4分）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是 对角线互相垂直 ．
解：连接BD、AC；
∵H、G分别是AD、CD的中点，
∴HG是△DAC的中位线；
∴HG∥AC；
同理可证得EF∥AC，HE∥BD∥FG；
若四边形EHGF是矩形，则∠FEH＝∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°；
∴DB⊥AC．
故四边形ABCD应具备的条件为对角线互相垂直．
14．（4分）如图，已知菱形ABCD的顶点A（﹣，0），∠DAB＝60°，若动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→……的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，则第2020秒时，点P的坐标是 （0，﹣1） ．
解：∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∵A（﹣，0）
∴在Rt△AOD中，OA＝，
∴OD＝OA?tan30°＝1，
∴AD＝2，
∵动点P绕菱形一周的时间为2×4÷0.5＝16（秒），
又2020÷16＝126…4，
∴第2020秒时，点P运动到点B处，
∵OB＝OD＝1，
∴此时点P的坐标为（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
15．（4分）如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，则∠ACB＝ 90 °时，四边形AECF是正方形．
解：过点E，F作EH⊥BD，FG⊥BD，
∵CE，CF为∠ACB，∠ACD的角平分线，
∴∠ECF＝90°．
∵MN∥BC，
∴∠FEC＝∠ECH，
∵∠ECH＝∠ECO，
∴∠FEC＝∠ECO，
∴OE＝OC．
同理，OC＝OF，
∴OE＝OF，
∵点O运动到AC的中点，
∴OA＝OC，
∴四边形AECF为一矩形，
若∠ACB＝90°，则CE＝CF，
∴四边形AECF为正方形．
故答案为：90．
16．（4分）点P在正方形ABCD的一边上，且△ABP的面积为△CDP的面积的3倍，若AB＝4，则BP的长为 5或3
解：如图1，当点P在边AD时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD＝4，∠A＝∠D＝90°，
∵△ABP的面积为△CDP的面积的3倍，
∴，
∴＝3，
∴AP＝3，
∴PB＝＝＝5；
如图2，当点P在边BC时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4，∠B＝∠C＝90°，
∵△ABP的面积为△CDP的面积的2倍，
∴＝3，
∴＝3，
∴PB＝3．
综上所述，BP的长度为5或3，
故答案为：5或3．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）如图，在矩形ABCD中，F是CD的中点，连接AF交BC延长线于点E．求证：BC＝EC．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AD＝BC，
∴∠ADF＝∠ECF，∠DAF＝∠CEF，
∵F是CD的中点，
∴DF＝CF，
∴在△ADF和△ECF中，
∴△ADF≌△ECF（AAS）．
∴AD＝EC，而AD＝BC
∴BC＝EC．
18．（6分）已知：如图，在?ABCD中，BA＝BD，M，N分别是AD和BC的中点．求证：四边形BNDM是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，BA＝DC，
∵BA＝BD，
∴BA＝BD＝DC，
∵M、N分别是AD和BC的中点，
∴BM⊥AD，DM＝AD，BN＝BC，
∴DM＝BN，
又∵DM∥BN，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵BM⊥AD，
∴∠BMD＝90°，
∴四边形BMDN是矩形．
19．（8分）如图，在菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE，∠E＝50°．
（1）求证：BD＝EC；
（2）求∠BAO的大小．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD＝EC；
（2）解：∵四边形BECD是平行四边形，
∴BD∥CE，
∴∠ABO＝∠E＝50°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝40°．
20．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E．
（1）求证：△FCE≌△BOE；
（2）当△ADC满足什么条件时，四边形OCFD为菱形？请说明理由．
（1）证明：∵CF∥BD，DF∥AC，
∴四边形OCFD是平行四边形，∠OBE＝∠CFE，
∴OD＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OB＝CF，在
△FCE和△BOE中，，
∴△FCE≌△BOE（AAS）；
（2）解：当△ADC满足∠ADC＝90°时，四边形OCFD为菱形；理由如下：
∵∠ADC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴四边形OCFD为菱形．
21．（8分）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．
（1）求证：四边形MANP是正方形；
（2）求证：EM＝BN．
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，（1分）
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴∠PMA＝∠PNA＝90°，
∴四边形MANP是矩形，（2分）
∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM＝PN，（3分）
∴四边形MANP是正方形；（4分）
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴PM＝PN，∠MPN＝90°，
∵∠EPB＝90°，
∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，
∴∠MPE＝∠NPB，（5分）
在△EPM和△BPN中，
∵，
∴△EPM≌△BPN（ASA），（6分）
∴EM＝BN．（7分）
22．（10分）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，与CB的延长线交于点G，连接BD．
（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；
（2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝2，求AG的长．
证明：（1）连接AC，如图1：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，
∵AF＝AE，
∴AC⊥EF，
∴EG∥BD．
又∵菱形ABCD中，ED∥BG，
∴四边形EGBD是平行四边形．
（2）过点A作AH⊥BC于H．
23．（10分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？并说明理由．
（1）证明：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠ADF＝∠FAD，
∴FA＝FD，
∴四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（2）解：当△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，时，四边形AEDF是正方形，
理由：∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
由（1）知四边形AEDF是菱形，
∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．
24．（10分）如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB⊥BC，∠B＝90°．
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴EF∥GB，EG∥BF．
∵∠B＝90°，
∴四边形BFEG是矩形；
（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，
∵AF＝EF，AB＝10cm，
∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．
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第5章 特殊平行四边形单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
2．（3分）下列说法中不正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．菱形的邻边相等
3．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在CD上，连接AE、BE，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，则△ABE的周长等于（ ）
A．6 B．4 C．2+2 D．3+2
4．（3分）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
5．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1，1），若平移点A到点C，使得以点O，A，B，C为顶点的四边形为菱形，正确的是（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位．
B．向右平移1个单位，再向上平移1个单位．
C．向左平移个单位，再向下平移1个单位．
D．向右平移个单位，再向上平移1个单位．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．24 B．3.6 C．4.8 D．5
7．（3分）如图，在?ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（ ）
A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
8．（3分）如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断
9．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，再从四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
①AB＝BC，
②∠ABC＝90?，
③AC＝BD，
④AC⊥BD
A．选①② B．选①③ C．选②③ D．选②④
10．（3分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为（ ）
A．6 B．24 C．26 D．12
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE＝CD，连接AE交BC于F，∠AFC＝n∠D，当n＝ 时，四边形ABEC是矩形．
12．（4分）如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．则小米的依据是 ．
13．（4分）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是 ．
14．（4分）如图，已知菱形ABCD的顶点A（﹣，0），∠DAB＝60°，若动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→……的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，则第2020秒时，点P的坐标是 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，则∠ACB＝ °时，四边形AECF是正方形．
16．（4分）点P在正方形ABCD的一边上，且△ABP的面积为△CDP的面积的3倍，若AB＝4，则BP的长为
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）如图，在矩形ABCD中，F是CD的中点，连接AF交BC延长线于点E．求证：BC＝EC．
18．（6分）已知：如图，在?ABCD中，BA＝BD，M，N分别是AD和BC的中点．求证：四边形BNDM是矩形．
19．（8分）如图，在菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE，∠E＝50°．
（1）求证：BD＝EC；
（2）求∠BAO的大小．
20．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E．
（1）求证：△FCE≌△BOE；
（2）当△ADC满足什么条件时，四边形OCFD为菱形？请说明理由．
21．（8分）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．
（1）求证：四边形MANP是正方形；
（2）求证：EM＝BN．
22．（10分）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，与CB的延长线交于点G，连接BD．
（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；
（2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝2，求AG的长．
23．（10分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？并说明理由．
24．（10分）如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
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