第四章 平行四边形单元能力测试卷（解析版+学生卷）

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【单元双测卷——能力测】
第四章
平行四边形
说明：全卷满分120分，有三大题，共24小题.
班级：__________
姓名：__________
得分：__________
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分.
请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．下列图形均是一些科技创新公司标志图，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（
）
A．
B．??
C．?????
D．
2．在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（
）
A．对边相等
B．对角互补
C．对边平行
D．对角相等
3．如图，
中，，平分交
边于点，且
，则
的长为（
）
A．3
B．4
C．2
D．5
第3题图
第4题图
第6题图
4．如图，ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则图中有________个平行四边形．（
）
A．7个
B．8个
C．9个
D．10个
5．把一个多边形割去一个角后,得到的多边形内角和为1440°,请问这个多边形原来的边数为（
）
A．9
B．10
C．11
D．以上都有可能
6．如图，平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的中心E的坐标为(2，0)，若点A的坐标为(-2，1)，则点C的坐标为（
）
A．(4，-1)
B．(6，-1)
C．(8，-1)
D．(6，-2)
7．已知四边形ABCD中有四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD．从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的是（
）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
8．如图①，平行四边形纸片ABCD的面积为60，沿对角线AC，BD将其裁剪成四个三角形纸片，将纸片△AOD翻转后，与纸片△COB拼接成如图②所示的四边形（点A与点C，点D与点B重合），则拼接后的四边形的两条对角线之积为（
）
A．30
B．40
C．50
D．60
第8题图
第9题图
第10题图
9．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP的度数为（
）
A．10°
B．15°
C．25°
D．40°
10．如图,已知在?ABCD中,分别以AB,AD为边分别向外作等边三角形ABE和等边三角形ADF,延长CB交AE于点G,点G在点A,E之间,连接CE,CF,EF,则下列结论不一定正确的是（
）
A．△CDF≌△EBC
B．∠CDF=∠EAF
C．△ECF是等边三角形
D．CG⊥AE
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）关于原点对称的点的坐标为_____．
12．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝__________.
第12题图
第14题图
第16题图
13．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”，应当先假设这个三角形中_________．
14．如图，有一张直角三角形纸片，，，，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是______．
15．一个四边形剪去一三角形后余下的多边形为
___________
边形
16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间________秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题（本题有8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本题6分)如图，在
□ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点．已知AE＝CF，M，N分别是DE和FB的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形.
18．(本题6分)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、、.
（1）画出关于点成中心对称的△；平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的△；
（2）△和△关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为　
　．
19．(本题8分)如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC上的一点，F在线段DE上，且∠AFE＝∠ADC．
（1）若∠AFE＝70°，∠DEC＝40°，求∠DAF的大小；
（2）若DE＝AD，求证：△AFD≌△DCE
20．(本题8分)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝，BC＝8，∠B＝60°，将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D′处，折叠后点C的对应点为C′，D′C′交BC于点G，∠BGD′＝32°．
（1）求∠D′EF的度数；
（2）求线段AE的长．
21．(本题8分)看图回答问题：
（1）内角和为2014°，小明为什么说不可能？
（2）小华求的是几边形的内角和？
（3）错把外角当内角的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？
22．(本题10分)在平行四边形ABCD中，点E是AD边上的点，连接BE．
（1）如图1，若BE平分∠ABC，BC＝8，ED＝3，求平行四边形ABCD的周长；
（2）如图2，点F是平行四边形外一点，FB＝CD．连接BF、CF，CF与BE相交于点G，若∠FBE+∠ABC＝180°，点G是CF的中点，求证：2BG+ED＝BC．
23．(本题10分)（1）已知：如图1，P为内一点，DP、CP分别平分和，如果，那么________；如果，那么________；如果，则________；（答案直接填在题中横线上）
（2）如图2，P为四边形ABCD内一点，DP、CP分别平分和，试探究与的数量关系，并写出你的探索过程；
（3）如图3，P为五边形ABCDE内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平分和，请直接写出与的数量关系：________________；
（4）如图4，P为六边形ABCDEF内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平分和，请直接写出与的数量关系：________________；
（5）若P为n边形内一点，平分，平分，请直接写出与的数量关系：________________．（用含n的代数式表示）
24．(本题10分)已知在中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
（1）如图1，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
（2）如图2，在（1）的条件下，连结并延长与的延长线交于点，连结，若，求的面积．
（3）如图3，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止运动(同时点也停止)，若，求当运动时间为多少秒时，以D，四点组成的四边形是平行四边形．
答案及解析
1．D
【解析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．
故选D．
2．B
【解析】根据平行四边形的性质逐项排除即可．
解：∵平行四边形的对边平行、对角相等、对边相等，
∴选项B不正确；
故答案为B．
3．B
【解析】求证DC=DE，再由平行四边形得AD=BC，即可求出AB长.
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=7，AD∥BC，DC=AB，
∴∠DEC=∠ECB，
∵平分，
∴∠ECB=∠ECD，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC，
∵AE=3，
∴DE=7-3=4，
∴AB=CD=DE=4，
故选B.
4．B
【解析】根据平行四边的判定及中位线定理，利用三角形全等，可推出8个平行四边形．
解：E,F分别是AD,BC的中点,则有,
∴四边形AECF，EDFB，是平行四边形，有∠FBE=∠EDF=∠AEB,
∵AE∥BF
∴EAF=∠AFB
∴根据ASA得出△MAE≌△MFB，∴AM=MF，即点M是AF的中点，
同理,点N是FD的中点,∴MN是△EBC和△AFD的中位线,∴，
∴四边形AENM，DEMN，BMNF，FCNM是平行四边形
∵EN∥MF,ME∥FN
∴四边形ENFM是平行四边形，而四边形ABCD也是平行四边形，共8个平行四边形.
故选B.
5．D
【解析】设新多边形的边数为n，则由题意可得：180(n-2)=1440，解得：n=10，
∵多边形截去一个角之后，新多边形的边数可能和原多边形相同，可能比原多边形多一边，也可能比原多边形少一边，
∴原多边形的边数可能是9或10或11.
故选D.
6．B
【解析】首先连接AC，过点A作AG⊥x轴于点G，过点C作CH⊥x轴于点H，E是平行四边形ABCD的中心，即可得AC过点E，易证得△AEG≌△CEH，继而求得答案．
解：连接AC，过点A作AG⊥x轴于点G，过点C作CH⊥x轴于点H，
∵E是平行四边形ABCD的中心，
∴AC过点E，
∴AE=CE，
在△AEG和△CEH中，
，
∴△AEG≌△CEH（AAS），
∴EG=EH，CH=AG，
∵E的坐标为（2，0），点A的坐标为（-2，1），
∴EH=EG=4，CH=AG=1，
∴OH=OE+EH=6，
∴点C的坐标为：（6，-1）．
故选B．
7．C
【解析】根据平行四边形的判定可直接判断．
解：A、①②，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断四边形ABCD成为平行四边形
B、①③，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，可判断四边形ABCD成为平行四边形
C、①④，不能判断四边形ABCD成为平行四边形
D、②④，根据两组对边相等的四边形是平行四边形，可判断四边形ABCD成为平行四边形
故选C．
8．D
【解析】试题解析：如图，则可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等．
∵平行四边形纸片ABCD的面积为60，
∴S△AOD+S△BOC=SABCD＝30，
∴EF×BC=S△AOD+S△BOC=30，
∴对角线之积为60.
故选D．
9．C
【解析】根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠PMN的度数．
解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC．
∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形．
∵∠MPN=130°，∴∠PMN==25°．
故选C．
10．D
【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC，AD=BC，CD=AB，
∵△ABE、△ADF都是等边三角形，
∴AD=DF，AB=EB，∠ADF=∠ABE=60°，
∴DF=BC，CD=BE，
∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC，∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC，
∴∠CDF=∠EBC，
∴△CDF≌△EBC（SAS），故A中结论正确；
（2）∵在平行四边形ABCD中，∠DAB=180°-∠ADC，
∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC，
又∵∠CDF=300°-∠ADC，
∴∠CDF=∠EAF，故B中结论正确；
（3）∵在△CDF和△EAF中，DF=AF，∠CDF=∠EAF，DC=AB=AE，
∴△CDF≌△EAF，
∴EF=CF，
∵△CDF≌△EBC，
∴CE=CF，
∴EF=CE=CF，
∴△ECF是等边三角形，故C正确；
（4）∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∴当CG⊥AE时，∠ABG=30°，
则此时∠ABC=180°-∠ABG=150°，
∵由题中条件无法确定∠ABC的度数，
∴D中结论不一定成立.
故选D.
11．（1，﹣1）
【解析】直接利用x轴上点的坐标特点得出n的值，进而利用关于原点对称点的性质得出答案．
解：∵点A（﹣2，n）在x轴上，
∴n＝0，
∴B（﹣1，1）
则点B（n﹣1，n+1）关于原点对称的点的坐标为：（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）．
12．360°
【解析】根据三角形外角的性质可知：∠1＝∠A＋∠B，∠2＝∠C＋∠D，∠3＝∠E＋∠F，利用多边形外角和为360°即可求出结果.
解：如图：
根据三角形外角的性质可知：∠1＝∠A＋∠B，∠2＝∠C＋∠D，∠3＝∠E＋∠F，
∵∠1＋∠2＋∠3＝360°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°，
故答案为：360°.
13．假设三角形三个内角都小于60度
【解析】
反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案.
解:
用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都小于60°．
故答案为：三角形中每一个内角都小于60°
14．或4
【解析】根据三角函数可以计算出，，再根据中位线的性质可得，，，然后拼图，出现两种情况，一种是拼成一个矩形，另一种拼成一个平行四边形，进而算出周长即可．
解：由题意可得：，
，
，，
图中所示的中位线剪开，
，，，
如图1所示：
拼成一个矩形，矩形周长为：；
如图2所示，
可以拼成一个平行四边形，周长为：，
故答案为4或．
15．三、四、五
【解析】如图可知，一个四边形截去一个三角形后变成三角形或四边形或五边形，
故答案为：三、四、五.
16．2或
【解析】由已知以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形有两种情况，（1）当Q运动到E和B之间，（2）当Q运动到E和C之间，根据平行四边形的判定，由AD∥BC，所以当PD=QE时为平行四边形．据此设运动时间为t，列出关于t的方程求解．
解：由已知梯形，
当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：=6-t，
解得：t=，
当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：-2t=6-t，
解得：t=2，
故当运动时间t为2或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为2或
17．见解析
【解析】首先根据平行四边形ABCD的性质得到AB和CD平行且相等，结合已知条件发现DF和BE平行且相等．证明四边形DEBF为平行四边形．得到DE和BF平行且相等，再结合中点的概念，所以四边形MENF为平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD，
∴BE∥DF，
∵
AE＝CF，
∴
BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形
∴DE∥BF
,DE=BF，
∵点M,N分别是DE,BF中点，
∴EM=DE,
FN=BF，
∴EM=FN，
∵EM∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形.
18．(1)画图见解析；（2）（2，-1）.
【解析】(1)、根据网格结构找出点A、B关于点C成中心对称的点A1、B1的位置，再与点A顺次连接即可；根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；(2)、根据中心对称的性质，连接两组对应点的交点即为对称中心．
解：(1)、△A1B1C如图所示，
△A2B2C2如图所示；
(2)、如图，对称中心为（2，﹣1）．
19．（1）∠DAF＝30°；（2）见解析．
【解析】（1）根据平行四边形的性质与三角形的内角和即可求解；
（2）根据AAS即可证明三角形全等.
（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DEC＝40°．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，
∴∠AFD＝180°﹣∠AFE＝110°，
∴∠DAF＝180°﹣∠ADF﹣∠AFD＝30°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠ADC，
∴∠AFD＝∠C，
在△AFD和△DEC中，，
∴△AFD≌△DCE（AAS）．
20．（1）∠D'EF＝76°；（2）.
【解析】（1）根据折叠的性质可得：∠D＝∠ED'G＝60°，∠DEF＝∠D'EF，根据平行线的性质有∠DEF＝∠EFB.等量代换得到∠D'EF＝∠EFB，在四边形中，根据四边形的内角和即可求解.
（2）过点E作EH⊥AB于点H，设AE＝x，根据平行线的性质有∠HAD＝∠B＝60°，且EH⊥AB，求出
根据中点的性质有根据勾股定理即可求解.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝60°，AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB.
∵将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D′处，
∴∠D＝∠ED'G＝60°，∠DEF＝∠D'EF，
∴∠D'EF＝∠EFB，
∵∠BGD′＝32°
∴∠D'GF＝148°
∵∠D'GF+∠EFB+∠D'EF+∠ED'G＝360°，
，
∴∠D'EF＝76°；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，
设AE＝x，
∵AD∥BC，
∴∠HAD＝∠B＝60°，且EH⊥AB，
∴
∵点D'是AB中点，
∴
∵HE2+D'H2＝D'E2，
∴
∴x＝，
∴.
21．（1）因为2014°不是180°的整数倍，所以小明说不可能；（2）13；（3）34°．
【解析】解决本题的关键是正确记忆运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．n边形的内角和是（n-2）?180°，因而内角和一定是180度的倍数．而多边形的内角一定大于0，并且小于180度，因而内角和再加上一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数n-2要大，大的值小于1．则用内角和于内角的和除以180所得值，加上2，比这个数小的最大的整数就是多边形的边数．
解：（1）∵n边形的内角和是（n﹣2）?180°，∴内角和一定是180度的倍数，
∵2014÷180=11…34，∴内角和为2014°不可能；
（2）依题意有（x﹣2）?180°＜2014°，解得x＜13．
因而多边形的边数是13，
故小华求的是十三边形的内角和；
（2）13边形的内角和是（13﹣2）×180°=1980°，2014°﹣1980°=34°，因此这个外角的度数为34°．[
22．（1）26；（2）见解析
【解析】（1）由平行四边形的性质得出AD＝BC＝8，AB＝CD，AD∥BC，由平行线的性质得出∠AEB＝∠CBE，由BE平分∠ABC，得出∠ABE＝∠CBE，推出∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE，AE＝AD﹣ED＝BC﹣ED＝5，得出AB＝5，即可得出结果；
（2）连接CE，过点C作CK∥BF交BE于K，则∠FBG＝∠CKG，由点G是CF的中点，得出FG＝CG，由AAS证得△FBG≌△CKG，得出BG＝KG，CK＝BF＝CD，由平行四边形的性质得出∠ABC＝∠D，∠BAE+∠D＝180°，AB＝CD＝CK，AD∥BC，由平行线的性质得出∠DEC＝∠BCE，∠AEB＝∠KBC，易证∠EKC＝∠D，∠CKB＝∠BAE，由AAS证得△AEB≌△KBC，得出BC＝BE，则∠KEC＝∠BCE，推出∠KEC＝∠DEC，由AAS证得△KEC≌△DEC，得出KE＝ED，即可得出结论．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AE＝AD﹣ED＝BC﹣ED＝8﹣3＝5，
∴AB＝5，
∴平行四边形ABCD的周长＝2AB+2BC＝2×5+2×8＝26；
（2）连接CE，过点C作CK∥BF交BE于K，如图2所示：
则∠FBG＝∠CKG，
∵点G是CF的中点，
∴FG＝CG，
在△FBG和△CKG中，
∵
，
∴△FBG≌△CKG（AAS），
∴BG＝KG，CK＝BF＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D，∠BAE+∠D＝180°，AB＝CD＝CK，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，∠AEB＝∠KBC，
∵∠FBE+∠ABC＝180°，
∴∠FBE+∠D＝180°，
∴∠CKB+∠D＝180°，
∴∠EKC＝∠D，
∵∠BAE+∠D＝180°，
∴∠CKB＝∠BAE，
在△AEB和△KBC中，
∵，
∴△AEB≌△KBC（AAS），
∴BC＝EB，
∴∠KEC＝∠BCE，
∴∠KEC＝∠DEC，
在△KEC和△DEC中，
∵，
∴△KEC≌△DEC（AAS），
∴KE＝ED，
∵BE＝BG+KG+KE＝2BG+ED，
∴2BG+ED＝BC．
23．（1）120，135，；（2）∠P=；（3）；（4）；（5）
【解析】（1）根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；（2）根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；（3）根据五边形的内角和公式表示出∠ADC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；（4）根据六边形的内角和公式表示出∠ADC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；（5）根据n边形的内角和公式表示出∠ADC+∠BCD，然后同理（1）解答即可．
解：（1）∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴，，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD
∴如果∠A=60°，那么∠P=120°；如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，则；
故答案为120，135，；
（2）∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴，，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD
；
即∠P=；
（3）五边形ABCDEF的内角和为：（5-2）×180°=540°，
∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴，，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD
故答案为即．
（4）六边形ABCDEF的内角和为：（6-2）×180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴，，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD，
故答案为
（5）同（1）可得，；
故答案为
24．（1）60°；（2）；（3）当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以四点组成的四边形是平行四边形．
【解析】（1）只要证明△PCD是等边三角形即可；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，推出，，推出S△PBC=S△FAB=S平行四边形ABCD，推出S△ABP+S△PCD=S平行四边形ABCD，推出S△APF+S△ABP=S△ABP+S△PCD，可得S△APF=S△PCD由此即可解决问题；
（3分四种情形列出方程解方程即可．
解：（1）四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
．
，
，
是等边三角形，
．
（2）四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
．
（3）四边形是平行四边形，
，
．
若要使四边形是平行四边形，则，
设运动时间为秒，
①当时，，，
，解得，不合题意，舍去；
②当时，，，
，解得；
③当时，，，
，解得；
④当时，，，
，解得；
综上所述：当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以四点组成的四边形是平行四边形．
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精品试卷·第
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