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1.3二次函数的性质导学案
课题
二次函数的性质
单元
1
学科
数学
年级
九年级
知识目标
从具体函数的图象中认识二次函数的基础性质，学会确定二次函数的增减性，学会确定二次函数的最大值及最小值，学会判定二次函数的值何时为零、何时为正、何时为负。
重点难点
重点：二次函数的最大值、最小值及增减性的理解和求法；五点法画二次函数的大致图象。
难点：二次函数性质的应用。
教学过程
知识链接
1.二次函数的图象特点
2.运动员投篮后，篮球运动的路线是一条怎样的曲线？怎样计算篮球到达最高点时的高度？
合作探究
一、教材第20页
观察，如图，二次函数的图象，回答问题：
(1)抛物线，当自变量x增大时，函数值y将怎样变化？
当x
时,y随着x的增大而减小
当x
时,y随着x的增大而增大.
(2)抛物线，当自变量x增大时，函数值y将怎样变化？
当x
时,y随着x的增大而增大
当x
时,y随着x的增大而减小.
思考：二次函数的增减性由什么确定的？
(3)抛物线的顶点是图象的最
点。
该函数有没有最大值和最小值？
当x=____时,y有最___值=______
(4)抛物线的顶点是图象的最
点
该函数有没有最大值和最小值？
当x=____时,y有最___值=______
思考：函数是否有最大值或最小值由什么确定的？
填表：
二、教材第21页
例、已知函数y=
(1)求函数图象的顶点坐标、对称轴，以及图象与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象。
(2)自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？何时y随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。
(3)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积？
(4)根据图象，说出x取哪些值时，①y=0
②y<0
③y>0
例、先画出下列二次函数的图象，函数与
x
轴有几个交点
（1）
y
=
2x2＋x－3
（2）
y
=
4x2
－4x
+1
（3）
y
=
x2
–
x+
1
（1）
y
=
2x2＋x－3
当y=0时，
解得：，
与
x
轴有交点，有两个交点。分别是(，0)，(1,0)
（2）
y
=
4x2
－4x
+1
解：当
y
=
0
时，
4x2
－4x
+1
=
0
x
1
=
x
2
=
，所以与
x
轴有一个交点。
（3）
y
=
x2
–
x+
1
解：当
y
=
0
时，x2
–
x+
1
=
0
因为（-1）2－4×1×1
=
－3
<
0，所以与
x
轴没有交点。
归纳
当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的根。
①当b2
－4ac
>0时，抛物线与x轴有
交点；
②当b2
－4ac
=0时，抛物线与x轴只有
交点；
③当b2
－4ac
<0时，抛物线与x轴
交点。
总结
自主尝试
1．关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是( )
A．图象与y轴的交点坐标为(0，1)
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为－3
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如下表：
x…－5－4－3－2－10…y…40－2－204…
下列说法正确的是( )
A．抛物线的开口向下
B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2
D．抛物线的对称轴是直线x＝－
3．在二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是( )
A．x≤1
B．x≥1
C．x<－1
D．x>－1
【方法宝典】
根据二次函数的性质解题即可.
当堂检测
1．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是x＝－1，则抛物线与x轴的另一交点的坐标是( )
A．(－2，0) B．(－3，0)
C．(－4，0) D．(－5，0)
2．抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论错误的是( )
A．a>0
B．b>0
C．c<0
D．b2－4ac>0
3．对抛物线y＝－x2＋2x－3而言，下列结论错误的是(
)
A．顶点坐标是(1，－2)
B．无论x取何值，y恒小于0
C．当x＞2时，y随着x的增大而减小
D．与x轴有两个公共点
4．若A(－，y1)，B(－1，y2)，C(，y3)为二次函数y＝－x2－4x＋c的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1
C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
5．若抛物线y＝x2＋x－m与坐标轴有1个交点，则m的取值范围是________．
6．已知二次函数y＝x2－8x＋c的最小值为0，那么c的值等于________．
7．已知抛物线y＝ax2＋x＋2在x轴的上方，则a的取值范围为________．
8．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横、纵坐标的对应值如下表：
x…－2－1012…y…04664…
从上表可知，下列说法中正确的是________(填写序号)．
①抛物线与x轴的一个交点为(3，0)；②函数的最大值为6；③抛物线的对称轴是x＝；④在对称轴左侧，y随x的增大而增大．
9．根据已知条件，求二次函数解析式：
(1)抛物线的顶点是(3，－1)，且过点(2，3)；
(2)抛物线过(0，1)，(－1，0)，(1，0)三点；
(3)抛物线的对称轴是直线x＝2，且过点(1，4)和(5，0)．
10．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3.
(1)图象的顶点坐标为_____________，图象与坐标轴的交点坐标为__________________________，在坐标系中画出这个函数的大致图象；
(2)利用函数图象直接回答：
①当x在什么范围内时，y随着x的增大而增大？答：_____________；
②当x在什么范围内时，y<0？答：______________________________________；
③当x在什么范围内时，0＜y<3？答：_____________．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1－4.BBDC 5.m<－ 6.16 7.a＞ 8.①③④
9．(1)y＝4(x－3)2－1； (2)y＝－x2＋1； (3)y＝－(x－2)2＋.
10.(1)(1，4) (－1，0)，(3，0)，(0，3) 图象如图
(2)①x≤1 ②x<－1或x>3 ③－121世纪教育网
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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浙教版
九上
1.3二次函数的性质
导入新课
运动员投篮后，篮球运动的路线是一条怎样的曲线？怎样计算篮球到达最高点时的高度？
新知讲解
如图，二次函数的图象，回答问题：
新知讲解
当x
时,y随着x的增大而减小
当x
时,y随着x的增大而增大.
(1)抛物线，当自变量x增大时，函数值y将怎样变化？
先减小，后增大.
≤1
≥1
新知讲解
(2)抛物线，当自变量x增大时，函数值y将怎样变化？
先增大，后减小.
当x
时,y随着x的增大而增大
当x
时,y随着x的增大而减小.
≤2
≥2
思考：二次函数的增减性由什么确定的？
由对称轴决定
归纳总结
(2)抛物线，当自变量x增大时，函数值y将怎样变化？
先增大，后减小.
当x
时,y随着x的增大而增大
当x
时,y随着x的增大而减小.
≤2
≥2
思考：二次函数的增减性由什么确定的？
由对称轴决定
新知讲解
当x=____时,y有最___值=______
(3)抛物线的顶点是图象的最
点。
该函数有没有最大值和最小值？
低
-1
小
-8
归纳总结
(4)抛物线的顶点是图象的最
点。
该函数有没有最大值和最小值？
当x=____时,y有最___值=______
高
2
大
思考：函数是否有最大值或最小值由什么确定的？
由a决定
归纳总结
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
当x时,y随着x的增大而减
当x,
y随着x的增大而增大.
当x,y随着x的增大而增大.
当x,
y随着x的增大而减小.
，)
，)
当x=时，最小值为
当x=时，最大值为
例题解析
例、已知函数y=
(1)求函数图象的顶点坐标、对称轴，以及图象与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象。
(2)自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？何时y随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。
(3)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积？
(4)根据图象，说出x取哪些值时，①y=0
②y<0
③y>0
例题解析
解：(1)
∵a=，b=-7，c=
∴-
所以函数的顶点坐标是(-7，32)，对称轴是x=-7
由x=0，得，即图象与y轴的交点坐标是(0，)
由y=0，得
解得：
所以图象与x轴的交点是(-15,0)，(1,0)
函数的大致图象如图：
(2)由图可知，当x≤-7时，y随x的增大而增大；当x≥-7时，y随x的增大而减小。当x=-7时，函数y有最大值32.
(3)
∵与x轴的交点坐标为(-15,0)，(1,0)，函数的顶点坐标为(-7,32)
∴三角形的面积=
例题解析
(4)如图：
当x=-15或-1时，y=0；
当x<-15或x>1时，y<0
当-150
例题解析
例、先画出下列二次函数的图象，函数与
x
轴有几个交点
（1）
y
=
2x2＋x－3
（2）
y
=
4x2
－4x
+1
（3）
y
=
x2
–
x+
1
（1）
y
=
2x2＋x－3
与
x
轴有交点，有两个交点。
分别是(，0)，(1,0)
x
y
o
当y=0时，
解得：，
（2）
y
=
4x2
－4x
+1
解：当
y
=
0
时，
（2x－1）2
=
0
x
1
=
x
2
=
所以与
x
轴有一个交点。
x
y
o
（3）
y
=
x2
–
x+
1
解：当
y
=
0
时，
所以与
x
轴没有交点。
x
y
o
因为（-1）2－4×1×1
=
－3
<
0
当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的根。
①当b2
－4ac
>0时，抛物线与x轴有
交点；
②当b2
－4ac
=0时，抛物线与x轴只有
交点；
③当b2
－4ac
<0时，抛物线与x轴
交点。
两个
一个
没有
归纳
二次函数的图象和x轴交点
一元二次方程=0的根
一元二次方程=0的根的判别式
有两个交点
有两个相异的实数根
有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
总结
课堂练习
1．下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是( )
A．y＝－x＋1 B．y＝x2－1
C．y＝
D．y＝－x2＋1
2．对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是( )
A．对称轴是直线x＝1，最小值是2
B．对称轴是直线x＝1，最大值是2
C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2
D．对称轴是直线x＝－1，最大值是2
B
B
课堂练习
3．已知函数y＝－(x－1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1____y2(选填“＜”“＞”或“＝”)．
4.已知当x1＝a，x2＝b，x3＝c时，二次函数y＝x2＋mx对应的函数值分别为y1，y2，y3.若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a．
m>-
>
课堂练习
5、已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)．
(1)求a的值；
(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m的大小．
解：(1)∵抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)，
∴a(1－3)2＋2＝－2，解得a＝－1；
(2)∵a＝－1<0，∴抛物线的开口向下，
在对称轴x＝3的左侧，y随
x的增大而增大．
∵m课堂练习
6、如图，已知点O(0，0)，B(2，1)，抛物线l：y＝－＋1(h为常数)与y轴的交点为C.
(1)抛物线l经过点B，求它的表达式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
(2)设点C的纵坐标为yC，求yC的最大值，此时l上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1>x2≥0，比较y1与y2的大小．
课堂练习
解：(1)把B点坐标代入表达式，得h＝2，
∴l的表达式为y＝－＋1或y＝－x2＋4x－3，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为B(2，1)；
(2)点C的横坐标为0，则yC＝－h2＋1，当h＝0时，yC有最大值1.
此时，l为y＝－x2＋1，对称轴为y轴，当x≥0时，y随着x的增大而减小，
∴当x1>x2≥0时，y1条件
图象
增减性
最大(小)值
a>0
a<0
课堂小结
二次函数的性质：
当x≤-时，y随x的增大而减小；
当x≥-时，y随x的增大而增大.
当x≤-时，y随x的增大而增大；
当x≥-时，y随x的增大而减小.
当x=-时，y达到最小值；
当y=时，无最大值.
当x=-时，y达到最大值；
当y=时，无最小值.
布置作业
基础作业
教材第22页作业题A组第1、2、4题
能力作业
教材第23页作业题B组第5、6题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
