(共25张PPT)
n边形的内角和为(n－2) ×180°(n≥3)
n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条(n≥3)
n边形共有对角线 条(n≥3)
任何多边形的外角和为360°
四边形的内角和、外角和有哪些性质？
四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和等于360°
多边形对角线内角和、外角和有哪些性质？
它们有什么共同特征呢？
各边相等,各角也相等
定 义
我们把
的多边形叫做正多边形
三个角相等的三角形是正三角形吗？
三条边相等的三角形是正三角形吗？
四个角相等的四边形呢？
四条边相等的四边形呢？
正三角形
正方形
正六边形
想一想：如何来求正多边形的内角度数呢？
60°
90°
120°
正六边形
正八边形
正十边形
正十二边形
正五边形
。
144
。
135
。
150
。
108
。
120
内角和度数 一个内角度数
正三角形
正五边形
正六边形
…… …… ……
正n边形
180°
60°
540°
108°
720°
120°
(n-2)×180°
n-2
n
×180°
一起欣赏
◇ 由于正多边形有许多优良的性质，匀称美观，常被人们用于图案设计和镶嵌平面.
用形状相同或不同的平面封闭图形把一块平面既无缝隙又不重叠的全部覆盖叫平面镶嵌。
图（1）
图（2）
图（3）
有空隙
有重叠
你能用一些全等的正三角形单独镶嵌成平面图案吗？
正方形、正五边形、正六边形也可以单独镶嵌吗？做一做，试试看.
拼不了啦,为什么呢 你能说说道理吗
1
2
3
∠1+∠2+∠3=
正五边形可以单独镶嵌吗？
324°
正n边形
拼图 每个内角的度数 使用正多边形的个数k
结果
n=3
n=4
n=5
n=6
60°
K=6
能拼好
90°
K=4
能拼好
1
2
3
1
2
3
108°
K=3
不能拼好,
有缺口
108°
K=4
不能拼好,
有重叠
120°
K=3
能拼好
观察并指出在每个图案中,正多边形必须
具备下列条件:
1)边长_____,
2)顶点______,
3)在一个顶点处_________________________
相等
公用
各多边形的内角之和为360度
正六边形
正八边形
正十边形
正十二边形
正五边形
。
144
。
135
。
150
。
108
。
120
。
60
。
90
(1)要用一种正多边形镶嵌,这个多边形的每个内角度数能整除360
仅用一种正多边形镶嵌，只有正三角形、正方形、正六边形能镶嵌成一个平面吗？
问题情景：小新搬新家了,他的房间要自己设计,地板想用两种正多边形来镶嵌，帮忙设计一个方案吧？
再创情景 拓展探究
用两种正多边形镶嵌,哪些能镶嵌成一个平面 各用几个呢 需要满足什么条件呢
探究问题（二）
一起欣赏
多种正边形镶嵌平面.
试一试
用边长相等的正三角形和正六边形能不能镶嵌呢？
正六边形
正六边形
正六边形
（1）、用边长相等的正四边形和
正八边形能不能镶嵌呢？
（2）、用边长相等的正五边形和
正十边形能不能镶嵌呢？
做一做
（1）任意剪出一些形状、大小完全相同的三角形纸板,拼拼看,它们能否镶嵌成平面图案.
（2）任意剪出一些形状、大小完全相同的四边形纸板,
拼拼看,它们能否镶嵌成平面图案.
课 堂 小 结
通过本节课的学习，你学到了什么？有什么收获呢？让我们一起回顾与分享吧！
1、平面镶嵌的两个条件：不重叠，无空隙.
2、一种正多边形的镶嵌：
只有三种：正三角形、正四边形、正六边形
规律：正多边形的内角一定是360°的约数
3、两种正多边形的镶嵌：
规律：拼接在同一个点的各个角的和等于360°.课题：5.13多边形教案
课型 新授 课时 1课时 主备 审核_ __
【教学目标】
1、知识技能：学生通过自主实践与探索，了解正多边形的概念，发现并理解用一种或两种正多边形能够镶嵌的规律．
2、数学思考：通过学生欣赏图片、动手拼、动脑想、相互交流、展示成果等活动，引导学生解决使用一种或两种正多边形镶嵌的问题，让学生理解正多边形镶嵌的原理．
3、解决问题：用一种或两种正多边形能够镶嵌需满足哪些条件？会运用正多边形进行简单的平面镶嵌设计。
4、情感态度：关注学生的情感体验，让学生在充分感受到数学美的同时，认识到数学来源于生活并应用于生活．让学生在数学实验过程中体验合作与成功的喜悦，增强学生对数学的好奇心和求知欲．
【教学重点、难点】
重点：探究用一种或两种正多边形镶嵌的规律．
难点：学生通过数学实验操作发现用正多边形能够镶嵌的规律．
【教学过程】
１．图片欣赏
①如图，正三角形、正方形、正六边形是我们熟悉的特殊多边形。这些图形中的边与角分别有什么共同的特征？
正三角形 正方形 正六边形
我们把各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形。边数为五、七、八的正多边形分别是正五边形、正七边形和正八边形。
②从镶嵌艺术作品到一些生活墙壁中的、地板铺设图案．
２．交流讨论
学生直观感受数学美的同时，引导学生思考：这些图案都是由哪些基本的平面图形构成的？（正三角形、正方形、正五边形、正六边形）学生细心观察后发现，图案中的平面图形有的规则，有的不规则；有的用一种多边形拼成，有的用多种多边形拼成，培养学生分类的思想．
３．感知概念
讨论这些图形拼成一个平面的共同特征，注意到各图形之间没有空隙，也没有重叠．在充分交流的基础上，用自己的语言概括镶嵌的概念（象这种既无缝隙又不重叠的铺法，我们称为平面的镶嵌）．教师给予鼓励和评价．
４．提出问题
提问：如果让你们设计几种地板图案，需要解决什么问题？学生自主探索，分组研究需要探讨的问题，教师做适当引导．把其中可能列举的典型问题设想如下：(1) 怎样铺设可以不留空隙，也不相互重叠？(2) 可以用哪些图形？(3) 用前面所学的正多边形能否拼成一个平面图形？(4) 哪些正多边形可以镶嵌成一个平面，哪些不能？ 根据学生提出的以及本节课需要解决的问题，首先引导学生研究最简单的镶嵌问题．
活动２：
探索仅用一种多边形镶嵌，哪些正多边形可以镶嵌成一个片面图案．
动手实验
全班分成九个小组，拿出课前准备好的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形，以小组为单位进行比赛，看哪个小组拼得又快又好，并派代表在投影仪上展示他们的成果．
收集数据
根据刚才的动手实验，引导学生收集数据，观察结果．
正n边形 每个内角的度数 使用正多边形的个数 结果
n =3 ６０° ６ 能拼好
n = 4 ９０° ４ 能拼好
n = 5 １０８° ３ 不能拼好，有缺口
４ 不能拼好，有重叠
n = 6 １２０° ３ 能拼好
分析数据
引导学生分析收集的数据，寻找其中的规律．
n = 3 60°×6 ＝ 360° 360°能被60°整除
n = 4 90°×4 ＝ 360° 360°能被90°整除
n = 5 108°×3 ＜360° 360°不能被108°整除
108°×4 ＞360°
n = 6 120°×3 ＝360° 360°能被120°整除
实验思考
让学生思考为什么有的正多边形能进行镶嵌，而有的正多边形不能？用一种正多边形镶嵌需要满足什么条件呢？
得出结论
学生根据自己实验的结果，不难得出结论：
正三角形、正四边形、正六边形能够镶嵌，正五边形不能镶嵌．
用一种正多边形镶嵌，则这个正多边形的内角度数能整除360°．
延伸拓展
问：如果用一种多边形进行镶嵌时不采用正多边形，而改为任意多边形，有没有这样的多边形？有，请指出，并说明理由．
结论：有，分别是三角形、四边形，但三角形、四边形各自应形状、大小完全相同．
理由：三角形、四边形的内角和均能整除360°．
活动３：
质疑
思考：用两种正多边形镶嵌需满足什么条件？
猜想
对于正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形，哪两种正多边形能进行镶嵌？
操作
学生拿出课前准备好的这些正多边形，仍然以小组为单位进行拼图，看哪些能用来搭配镶嵌成一个平面．（边做边记录）
结果
(1) ３个正三角形与２个正四边形 60°×3+90°×2=360°
(2) ２个正三角形与２个正六边形 60°×2+120°×2=360°
(3) 4个正三角形与1个正六边形 60°×4+120°×1=360°
(4) １个正四边形与２个正八边形 90°×1+135°×2=360°
……
结论
一般地，多边形能镶嵌成平面图案需要满足的条件：
拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°(周角)；
相邻的多边形有公共边．
小结：请学生谈谈本节课的收获和体会．
作业：（1）作业本 ；
（2）设计一幅正多边形镶嵌的平面图案．
