用方程思想解几何问题
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文档简介
方程思想
在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想。
1. 要具有正确列出方程的能力
有些数学问题需要利用方程解决，而正确列出方程是关键，因此要善于根据已知条件，寻找等量关系列方程。
2. 要具备用方程思想解题的意识。
有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，但是要利用代数方法——列方程来解决，因此要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，还有一些综合问题，需要通过构造方程来解决。在平时的学习，应该不断积累用方程思想解题的方法。
3. 要掌握运用方程思想解决问题的要点。
除了几何的计算问题要使用方程或方程思想以外，经常需要用到方程思想的还有一元二次方程根的判别式，根与系数关系，方程、函数、不等式的关系等内容，在解决与这些内容有关的问题时要注意方程思想的应用。
用方程思想解几何问题
方程是解决数学问题的重要工具，也是重要的数学思想。几何计算、几何证明也常通过方程解决。现就构建方程解几何问题举例如下。
例1.如图，中，且，求的度数。
解：设
因
故
又
故
解得
例2.如图，正方形ABCD内一点P，于E，若，求正方形的边长。
解：延长EP交BC于M，设正方形边长为x
在中，
解得，即正方形的边长为8
例3.如图，矩形ABCD中，截去正方形ABMN后，矩形MNDC与原矩形ABCD相似，求矩形ABCD长与宽的比。
解：设，则
解得，其中负值不合题意，舍去。
例4.如图，弦MN、PQ、RS分别交于A、B、C，已知，，求证：是等边三角形。
证明：设
则
解得，故是等边三角形.
例题分析
例1：一商店以每3盘16元钱的价格购进一批录音带，又从另外一处以每4盘21元钱价格购进比前一批数量加倍的录音带，如果以每3盘k元的价格全部出售可得到所投资的20％的收益，求k的值。
分析：可以设商店第一次购进x盘录音带，则第二次购进2x盘录音带。根据题意，列出方程：
答：k的值是19。
小结：上述例题是应用问题，正确列出方程是解题的关键，在学习过程中要不断培养这方面的能力。其中所设的x是辅助元，它在解题过程中是参加变化的量，可以消去，也叫做参变量，并不是最终所求的未知量。从本题可以看出，设辅助元x以后可以方便我们解题。
例2：以AB为直径的圆交BC于D，交AC于F，DE切半圆于D，交AC于E，若AB：BC＝5：6，且AF＝7，求CE的长。
解：连结AD、FD。
是直径
例3：已知方程两根为a、b，方程两根为c、d，求的值.
解：由根系关系得：
例4：已知方程有两个根的积等于2，解这个方程。
分析：若直接求解此方程较困难，可以利用待定系数法，由根与系数的关系可知，两根之积为2的一元二次方程，如果二次项的系数是1，那么常数项是2。
解：设
小结：本例是一个解方程的问题，但是在求解过程中仍然体现了方程思想，利用根系关系构造方程，利用待定系数法构造方程组，都是方程思想的应用。
易错题分析
例1. 已知关于x的方程有两个正整数根，求整数m。
分析：本题关于x的方程有两个正整数根，所以这个方程是一元二次方程，，如果用根系关系来解，即，，。列出关于m的不等式，再由正整数根的条件求出m的值，方法比较繁。一般来说，解字母系数的一元二次方程，都可以分解因式，这样解法比较简便。
解：将方程分解因式：
检验：当m＝1时，方程为
当m＝2时，方程为
点证：本题有的同学解法比较繁，而且容易错，用分解因式的方法较好。另外求出以后，变形为以后，便于讨论m的值。最后，求出m的值以后要注意检验是否符合题意，以免多解或丢解，还可以检验，等。
例2. 若关于x的方程，有两个不同的正整数根，求正整数k的值。
分析：本题用因式分解的方法较好，但求出k以后，要注意检验，因为题目要求有两个不同的正整数根，所以。
解：关于x的方程有两个不同的正整数根
，将方程的左边分解因式：
点评：本题容易错在k＝3没有舍。所以一定要注意检验。
例3. 已知抛物线在x轴上方，关于x的方程
两个不等实数根是，当m是整数时，求的值。
分析：本题是二次函数和方程的综合题，要用限定m的范围，由已知m是整数确定m的值。然后用根系关系求出的值。
解：在x轴上方
但方程有两个不等实根是一元二次方程
点评：本题容易错的地方是求出以后，没有舍去m＝－3，所以一定要检验一元二次方程的二次项系数，使其不为零。
以上三个例题，组成一个题组，小结为一元二次方程要注意验二次项系数，验，并且还要检验是否符合题意，这样才能避免出错。
方程思想练习题
一. 选择题：
1. 已知，其内切圆半径为，则三角形三边的长是（）
A. 8，7，13 B. 8，5，12 C. 6，7，14 D. 8，7，14
2. 已知等腰三角形的一腰与底边的长分别为方程的两根，若这样的三角形只有一个时，a的取值范围是（）
A. a<8 B. 03. 已知斜边为10的直角三角形的两条直角边a、b为方程的两根，则m的值为（）
A. m＝－8B. m＝14 C. m＝14或m＝－8D. m＝5
4. 已知二次函数图象顶点坐标为（－2，－4），交y轴于点（0，－3），则它的解析式是（）
5. 在的长为（）
6. 如图，AE切⊙O于D，并且和弦BC的延长线交于A，CD平分AD＝12，则AC的长为（）
A. 14B. 15 C. 16 D. 17
C
7. ⊙O与AB、AC相切于M、N，且圆心O在AB上，又AO=15cm，BO=20cm，则⊙O的面积为（）
二. 填空题：
1. 已知的三边长为a、b、c，且满足(1)a>b>c，(2)2b＝a＋c，(3)b是正整数，(4)，则b的值是_______。
2. 已知a为自然数，二次方程有一正整数根p，那么a=_______，方程的另一极是_____________。
3. 已知m是整数，二次方程有两个正整数根，则m的值是_________。
三. 解答题：
1. 某考生的准考证号码是一个四位数，它的千位数字是1，如果把1移到个位上去，那么所得的新数比原数的5倍少49，求这个考生的准考证号码。
2. 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为且，求PB的长。
D C
3. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，
的两个实根，且求m、n的值。
4. 如图，EB是直径，O是圆心，CB、CD切半圆于B、D、CD交BE延长线于A点，若BC=6，AD=2AE，求半圆的面积。
C
5. 已知抛物线与x轴有两个交点A、B，且A在x轴正半轴，B在x轴负半轴，设OA长为a，OB长为b。
(1)求m的取值范围。
(2)若a、b满足a：b＝3：1，求m的值。
(3)由(2)所得的抛物线与y轴交于C，问在抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求P点的坐标；如果不存在，请说明理由。
试题答案
一.
1. A2. C3. B4. D5. B6. C7. A
二.
1. 5 2. 43. m=1或m=2
三.
1. 提示：设原数后三位为x，则原数为1000+x，由题意列方程：
解之x=990，原数为1990
2. 提示：，可设PB=14x, PA=5x，设正方形边长为a，在中，，即，
3. 提示：由根与系数关系，
整理解得m=3，n=2
4.
5.
(1)m>－3
(2)m=0
(3)不存在。
在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想。
1. 要具有正确列出方程的能力
有些数学问题需要利用方程解决，而正确列出方程是关键，因此要善于根据已知条件，寻找等量关系列方程。
2. 要具备用方程思想解题的意识。
有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，但是要利用代数方法——列方程来解决，因此要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，还有一些综合问题，需要通过构造方程来解决。在平时的学习，应该不断积累用方程思想解题的方法。
3. 要掌握运用方程思想解决问题的要点。
除了几何的计算问题要使用方程或方程思想以外，经常需要用到方程思想的还有一元二次方程根的判别式，根与系数关系，方程、函数、不等式的关系等内容，在解决与这些内容有关的问题时要注意方程思想的应用。
用方程思想解几何问题
方程是解决数学问题的重要工具，也是重要的数学思想。几何计算、几何证明也常通过方程解决。现就构建方程解几何问题举例如下。
例1.如图，中，且，求的度数。
解：设
因
故
又
故
解得
例2.如图，正方形ABCD内一点P，于E，若，求正方形的边长。
解：延长EP交BC于M，设正方形边长为x
在中，
解得，即正方形的边长为8
例3.如图，矩形ABCD中，截去正方形ABMN后，矩形MNDC与原矩形ABCD相似，求矩形ABCD长与宽的比。
解：设，则
解得，其中负值不合题意，舍去。
例4.如图，弦MN、PQ、RS分别交于A、B、C，已知，，求证：是等边三角形。
证明：设
则
解得，故是等边三角形.
例题分析
例1：一商店以每3盘16元钱的价格购进一批录音带，又从另外一处以每4盘21元钱价格购进比前一批数量加倍的录音带，如果以每3盘k元的价格全部出售可得到所投资的20％的收益，求k的值。
分析：可以设商店第一次购进x盘录音带，则第二次购进2x盘录音带。根据题意，列出方程：
答：k的值是19。
小结：上述例题是应用问题，正确列出方程是解题的关键，在学习过程中要不断培养这方面的能力。其中所设的x是辅助元，它在解题过程中是参加变化的量，可以消去，也叫做参变量，并不是最终所求的未知量。从本题可以看出，设辅助元x以后可以方便我们解题。
例2：以AB为直径的圆交BC于D，交AC于F，DE切半圆于D，交AC于E，若AB：BC＝5：6，且AF＝7，求CE的长。
解：连结AD、FD。
是直径
例3：已知方程两根为a、b，方程两根为c、d，求的值.
解：由根系关系得：
例4：已知方程有两个根的积等于2，解这个方程。
分析：若直接求解此方程较困难，可以利用待定系数法，由根与系数的关系可知，两根之积为2的一元二次方程，如果二次项的系数是1，那么常数项是2。
解：设
小结：本例是一个解方程的问题，但是在求解过程中仍然体现了方程思想，利用根系关系构造方程，利用待定系数法构造方程组，都是方程思想的应用。
易错题分析
例1. 已知关于x的方程有两个正整数根，求整数m。
分析：本题关于x的方程有两个正整数根，所以这个方程是一元二次方程，，如果用根系关系来解，即，，。列出关于m的不等式，再由正整数根的条件求出m的值，方法比较繁。一般来说，解字母系数的一元二次方程，都可以分解因式，这样解法比较简便。
解：将方程分解因式：
检验：当m＝1时，方程为
当m＝2时，方程为
点证：本题有的同学解法比较繁，而且容易错，用分解因式的方法较好。另外求出以后，变形为以后，便于讨论m的值。最后，求出m的值以后要注意检验是否符合题意，以免多解或丢解，还可以检验，等。
例2. 若关于x的方程，有两个不同的正整数根，求正整数k的值。
分析：本题用因式分解的方法较好，但求出k以后，要注意检验，因为题目要求有两个不同的正整数根，所以。
解：关于x的方程有两个不同的正整数根
，将方程的左边分解因式：
点评：本题容易错在k＝3没有舍。所以一定要注意检验。
例3. 已知抛物线在x轴上方，关于x的方程
两个不等实数根是，当m是整数时，求的值。
分析：本题是二次函数和方程的综合题，要用限定m的范围，由已知m是整数确定m的值。然后用根系关系求出的值。
解：在x轴上方
但方程有两个不等实根是一元二次方程
点评：本题容易错的地方是求出以后，没有舍去m＝－3，所以一定要检验一元二次方程的二次项系数，使其不为零。
以上三个例题，组成一个题组，小结为一元二次方程要注意验二次项系数，验，并且还要检验是否符合题意，这样才能避免出错。
方程思想练习题
一. 选择题：
1. 已知，其内切圆半径为，则三角形三边的长是（）
A. 8，7，13 B. 8，5，12 C. 6，7，14 D. 8，7，14
2. 已知等腰三角形的一腰与底边的长分别为方程的两根，若这样的三角形只有一个时，a的取值范围是（）
A. a<8 B. 0
A. m＝－8B. m＝14 C. m＝14或m＝－8D. m＝5
4. 已知二次函数图象顶点坐标为（－2，－4），交y轴于点（0，－3），则它的解析式是（）
5. 在的长为（）
6. 如图，AE切⊙O于D，并且和弦BC的延长线交于A，CD平分AD＝12，则AC的长为（）
A. 14B. 15 C. 16 D. 17
C
7. ⊙O与AB、AC相切于M、N，且圆心O在AB上，又AO=15cm，BO=20cm，则⊙O的面积为（）
二. 填空题：
1. 已知的三边长为a、b、c，且满足(1)a>b>c，(2)2b＝a＋c，(3)b是正整数，(4)，则b的值是_______。
2. 已知a为自然数，二次方程有一正整数根p，那么a=_______，方程的另一极是_____________。
3. 已知m是整数，二次方程有两个正整数根，则m的值是_________。
三. 解答题：
1. 某考生的准考证号码是一个四位数，它的千位数字是1，如果把1移到个位上去，那么所得的新数比原数的5倍少49，求这个考生的准考证号码。
2. 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为且，求PB的长。
D C
3. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，
的两个实根，且求m、n的值。
4. 如图，EB是直径，O是圆心，CB、CD切半圆于B、D、CD交BE延长线于A点，若BC=6，AD=2AE，求半圆的面积。
C
5. 已知抛物线与x轴有两个交点A、B，且A在x轴正半轴，B在x轴负半轴，设OA长为a，OB长为b。
(1)求m的取值范围。
(2)若a、b满足a：b＝3：1，求m的值。
(3)由(2)所得的抛物线与y轴交于C，问在抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求P点的坐标；如果不存在，请说明理由。
试题答案
一.
1. A2. C3. B4. D5. B6. C7. A
二.
1. 5 2. 43. m=1或m=2
三.
1. 提示：设原数后三位为x，则原数为1000+x，由题意列方程：
解之x=990，原数为1990
2. 提示：，可设PB=14x, PA=5x，设正方形边长为a，在中，，即，
3. 提示：由根与系数关系，
整理解得m=3，n=2
4.
5.
(1)m>－3
(2)m=0
(3)不存在。