6.2.2 反比例函数的图象和性质(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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浙江版八年级数学下册第6章反比例函数
6.2
反比例函数的图象和性质
第2课时
反比例函数的图象和性质(2)
【知识清单】
1.当k>0时，在图象所在的第一、三象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；
2.当k<0时，在图象所在的第二、四象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.
【经典例题】
例题1、若反比例函数的图象在其象限内，y随着x的增大而增大，则k的取值不可以是(　　)
A．3
B．4
C．7
D．15
【考点】反比例函数的图象和性质(增减性)．
【分析】根据反比例函数性质：在图象所在的第二、四象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则有k<0，即7﹣2m<0，解出m即可.
【解答】根据题意，得7﹣2m<0，
解得m>．
故选A．
【点评】本题主要目的是检查学生对初中反比例函数的性质相关知识的理解，这类是中考的热点.
例题2、已知点(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)在双曲线y=﹣上，当x1<0A.
y1B.
y1C.
y3D.
y2【考点】反比例函数的图象和性质和反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】?先根据题意判断出各点所在的象限，再根据函数的增减性即可得出结论．
【解答】∵反比例函数y=﹣中，k=﹣17<0，
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵x1<0∴点(x1，y1)位于第二象限，点(x2，y2)、(x3，y3)位于第四象限，
∴y2故选D.
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，图形结合是解决这类问题的关键.
【夯实基础】
1、
下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是(
)
A．y=
B．y=﹣
C．y=
D．y=﹣
2、若点A(﹣3，y1)，B(﹣2，y2)，C(3，y3)在反比例函数的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是(
)
A．y1B．y3C．y2D．y33、正比例函数y=kx与反比例函数y=的图像相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于
点B，
过点C作x轴的垂线交x轴于点D，连结BC，AD则阴影的面积为(
)
A．12
B．9
C．6
D．3
4、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、和y轴上，对角线DB∥x轴，反比例函数y=(k>0，x>0)的图象经过矩形对角线的交点E，若点A的坐标为(3，0)，若点D的坐标为(0，6)，则k的值为(
)
A．90
B．
45
C．30
D．22.5
5、已知点A为双曲线y=图象上的点，点O为坐标原点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．若△AOB的面积为6，则k的值为
．
6、函数y=x+的图象如图所示，对该函数的性质的论断：①该函数的图象是中心对称图形；②当x＞0时，该函数在x=1时取得最小值；③当x＞1时，y随x的增大而减小；④y的值不可能为﹣1，其中一定正确的有
．(填写序号)
7、已知一次函数y=﹣4x+8和反比例函数y=(k≠0).
(1)当k满足什么条件时，这两个函数的图像有两个交点；
(2)设这两个函数的公共点为A，B，当∠AOB分别为锐角和钝角时，求k的取值范围.
8、如图，一次函数y=x+3的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y=(x>0)的图像相交于
B(m，4)，求(1)反比例函数的解析式；(2)若点C在反比例函数y=(x>0)的图像上，且点C与点B关于直线y=x的对称，
求△ABC的面积.
9、如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx与双曲线y=相交于A(a，3)、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是6．
(1)求m、n的值；
(2)求直线AC的解析式．
【提优特训】
10、已知反比例函数y=，利用反比例函数的增减性，求x≤﹣3时，y的取值范围()
A．?x>﹣4
B．?x<﹣4
C．?0D．
-411、已知点A在函数y1=(x＞0)的图象上，点B在直线y2=kx+1+k(k为常数，且k≥0)上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为(　　)
A．有1对或2对
B．只有1对
C．只有2对
D．有2对或3对
12、如图，两个反比例函数y=
和y=在第一象限内的图象分别是C1和C2，若点P在C1上，过点P作PA⊥x轴于点A，交C2图象于点B，则△POB的面积为
A．7
B．3?
C．2
D．1
13、已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在该图象上，下列命题：①过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．若△ACO的面积为3，则
k=－6；②若x1＜0＜x2，则y1＞y2；③若x1＋x2=0，则y1＋y2=0；④该反比例函数的图象的对称轴为y=x.其中真命题个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
14、如图，A1、A3、A5在反比例函数y=(x>0)的图象上，A2、A4、A6在反比例函数y=﹣(x>0)的图象上，∠OA1A2=∠A1A2A3=∠A2A3A4=…=∠α=60°，且OA1=2，则An(n整数)的
纵坐标为
.(用含n的代数式表示)
15、函数y1=3x(x≥0)，y2=(x＞0)的图象如图所示，有如下结论：①两个函数图象的交点A的坐标为(2，4)；②当x＞2时，y2＞y1；③y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小；④当x=3时，BC=；⑤此反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为y=x，且只有一条对称轴．其中正确的有
．
16、如图，□ABCD中，顶点A的坐标是(0，3)，AD∥x轴，BC交y轴于点E，顶点C的纵坐标是﹣5，□ABCD的面积是40．反比例函数y=的图象经过点B和D，求：
(1)反比例函数的表达式；
(2)BD所在直线的函数表达式．
17、如图，在□OABC中，OA=4，∠B=60°，点C(0，3)在y轴上，反比例函数y=(x＞0)的图象经过点A，交边CB于点D.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点D的坐标．
18、如图，双曲线y=(k为常数，且k≠0)与直线y=﹣2x+b，交于A(﹣m，m﹣2)，B(1，n)两点，与直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，
(1)求k
、b与m的值；
(2)求证:AC=CD=DB；
(3)点P为CD上的动点，若△POB的面积为S△POB
=，
求点P的坐标．
【中考链接】
19、(2019?遵义)已知反比例函数图象经过点A(1，a)，B(3，b)，则a，b的关系正确的是(
)
A．a=b
B．a=﹣b
C．aD．a>b
20、(2019?黔东南)若点A(﹣4，y1)、B(﹣2，y2)、C(2，y3)都在反比例函数y=的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是(　　)
A．y1>y2>y3
B．y3>y2>y1
C．y2>y1>y3
D．y1>y3>y2
21、(2019?宿迁)一次函数y=kx+b的图像与反比例函数的图像相交于A(﹣1，m)，
B(n，
﹣1)两点?.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)写出一次函数值大于反比例函
数值的x的取值范围.
22、(2019?聊城)
如图，点A(，4)，B(3，m)是直线AB与反比例函数y=(x＞0)图象的两个
交点，AC⊥x轴，垂足为点C，已知D(0，1)，
连接AD，BD，BC．
(1)求直线AB的表达式；
(2)△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2．求S2﹣S1．
参考答案
1、C
2、B
3、C
4、B
5、12或12
6、①②④
10、D
11、A
12、C
13、C
14、
15、①③④⑤
19、D
20、C
7、已知一次函数y=﹣4x+8和反比例函数y=(k≠0).
(1)当k满足什么条件时，这两个函数的图像有两个交点；
(2)设这两个函数的公共点为A，B，当∠AOB分别为锐角和钝角时，求k的取值范围.
解：(1)∵y=﹣4x+8，y=有两个交点，
∴方程有﹣4x+8=有两个不相等的实数根.
∴﹣4x?+8x=k，即4x?﹣8x+k=0，
∵△=(﹣8)?﹣4×4k>0，
∴16k<64，
∴
k<4且k≠0；
(2)若自k<0，则y=在第二和第四象限，所以两个交点分别在第二和第四象限，
所以此时∠AOB是钝角，
若0所以∠AOB是锐角.
8、如图，一次函数y=x+3的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y=(x>0)的图像相交于
B(m，4)，求(1)反比例函数的解析式；(2)若点C在反比例函数y=(x>0)的图像上，且点C与点B关于直线y=x的对称，
求△ABC的面积.
解：(1)∵一次函数y=x+3的图象经过点B，
∴4=m+3，解m=2，
∴点B的坐标为(2，4).
∵点B(2，4)在在反比例函数y=(x>0)的图象上，
∴k=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为y=；
(2)∵且点C与点B关于直线y=x的对称，
∴点C的坐标为(4，2)，
设直线OC的解析式为y=ax，
将点C(4，2)的代入y=ax得2=4a，
解得a=，
∴
直线OC的解析式为y=x，
∴AB∥OC，
∴△ABC的面积=△AOB的面积
∵一次函数y=x+3的图象与y轴相交于点A，
∴当x=0时，y=3，即OA=3.
∴△ABC的面积=△AOB的面积=×2AO=×2×3=3.
9、如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx与双曲线y=相交于A(a，3)、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是6．
(1)求m、n的值；
(2)求直线AC的解析式．
解：(1)∵直线y=mx与双曲线y=相交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点中心对称，
∴B(﹣a，﹣3)，
∴C(﹣a，0)；
∵S△AOC=6，
∴×(﹣a)×3=6，解得a=﹣4，
∴A(-4，3)，B(4，
﹣3)，
C(4，0)
∵直线y=mx与双曲线y=相交于A(﹣4，3)，
∴3=﹣4m，n=﹣4×3=12，
∴m=，
n=12；
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A(﹣2，3)，
C(2，0)代入y=kx+b得解得，
∴直线AC的解析式为y=x+．
16、如图，□ABCD中，顶点A的坐标是(0，3)，AD∥x轴，BC交y轴于点E，顶点C的纵坐标是﹣5，□ABCD的面积是40．反比例函数y=的图象经过点B和D，求：
(1)反比例函数的表达式；
(2)BD所在直线的函数表达式．
解：(1)∵顶点A的坐标是(0，3)，顶点C的纵坐标是﹣5，
∴AE=8，
又□ABCD的面积是40，
∴AD=BC=5，
∴D(5，3)
∴k=5×3=15，
∴反比例函数解析式为y=；
(2)由题意知B的纵坐标为﹣5，
∴其横坐标为﹣3，
∴B(﹣3，﹣5)，
设BD所在直线解析式为y=kx+b，
将B(﹣3，﹣5)、D(5，3)代入，得：，
解得：，
所以AB所在直线解析式为y=x﹣2．
17、如图，在□OABC中，OA=4，∠B=60°，点C(0，3)在y轴上，反比例函数y=(x＞0)的图象经过点A，交边CB于点D.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点D的坐标．
解：(1)延长BA交x轴于点E，
∵四边形OABC是平行四边形，∠B=60°，
∴BA∥OC，
∴BA⊥x轴.
∴∠AOC=60°，∠AOE=30°，
在Rt△AOE中，∵OA=4，
∠AOE=30°，
∴AE=2，，OE=2
∴点A的坐标为(2，2
)，
∵反比例函数y=(x＞0)的图象经过点A，
∴将点A(2，2
)代入y=(x＞0)，
∴k=2×2=4，
∴反比例函数的表达式为y=(x＞0)，
(2)∵点C(0，3)在y轴上，
∴OC=AB=3，
∴B的横坐标为2，B的纵坐标为2+3=5
∴点B的坐标为(2，5)
设直线CB的解析式为y=kx+3，
将点B的坐标为(2，5)代入y=kx+3得5=2k+3
解得k=
∴直线CB的解析式为y=x+3，，
解方程组，解得
(舍去).
点D的坐标为(，4).
18、如图，双曲线y=(k为常数，且k≠0)与直线y=﹣2x+b，交于A(﹣m，m﹣2)，B(1，n)两点，与直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，
(1)求k
、b与m的值；
(2)求证:AC=CD=DB；
(3)点P为CD上的动点，若△POB的面积为S△POB
=，
求点P的坐标．
解：(1)∵点A(﹣m，m﹣2)，B(1，n)，
在直线y=﹣2x+b上，
∴，解得：，
∴B(1，﹣4)，
将B(1，﹣4)代入反比例函数解析式y=，
∴k=﹣4，.
∴反比例函数解析式为y=，
∴直线AB的解析式为y=﹣2x﹣2，
解方程组，得，，
经检验和都是原方程组的解，
∴点A的坐标为(-2，2)，
∴﹣m=﹣2，m=4.
∴k=﹣4，b=﹣2，m=4；
(2)过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
∵直线AB的解析式为y=﹣2x﹣2，
令x=0，解得y=﹣2，令y=0，解得x=﹣1，
∴C(﹣1，0)，D(0，﹣2)，
∴OC=1，OD=2，
∵点A的坐标为(﹣2，2)，
点B的坐标为(1，﹣4)，
∴AE=2，OE=2，OF=1，BF=4
在△AEC和△DOC
∵
∴AC=DC，EC=OC=1，
在Rt△DOC中，CD===，
在Rt△CFB中，CB===，
∴DB=CB﹣CD=﹣=，
∴CD=
DB
∴AC=DC=
DB；
(3)∵S△BOD
=OD·OF=×2×1=1，△POB的面积为，
∴S△POD=S△POB
﹣S△BOD
=﹣1=，
∵S△COD=OC·OD=×2×1=1，
∴S△COD=S△POD，
∴OP是边CD上的中线，
∴P为CD的中点，
∴P(﹣，﹣1).
21、(2019?宿迁)一次函数y=kx+b的图像与反比例函数的图像相交于A(﹣1，m)，
B(n，
﹣1)两点?.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)写出一次函数值大于反比例函
数值的x的取值范围.
解：(1)把A(﹣2，1)代入y=得：m=﹣2，
则反比例函数的解析式是y=﹣；
把B(1，n)代入得n=﹣=﹣2，
则B的坐标是(1，﹣2)．
根据题意得：，
解得：，
则函数的解析式是y=﹣x﹣1；
(2)在y=﹣x﹣1中，令x=0，解得y=﹣1，则函数与y轴的交点坐标是(0，﹣1)．
则S△AOB=×1×(1+2)=；
(3)当x<﹣2或022、(2019?聊城)
如图，点A(，4)，B(3，m)是直线AB与反比例函数y=(x＞0)图象的两个交点，AC⊥x轴，垂足为点C，已知D(0，1)，连接AD，BD，BC．
(1)求直线AB的表达式；
(2)△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2．求S2﹣S1．
解：(1)由点A(，4)，B(3，m)在
反比例函数y=(x＞0)图象上
∴n=4×=6，
∴反比例函数的解析式为y=(x＞0)，
将点B(3，m)代入y=(x＞0)得m=2
∴B(3，2)
设直线AB的表达式为y=kx+b
∴，解得
∴直线AB的表达式为y=﹣x+6；
(2)由点A、B坐标得AC=4，点B到AC的距离为3﹣=
∴S1=×4×=3
设AB与y轴的交点为E，可得E(0，6)，如图：
∴DE=6﹣1=5
由点A(，4)，B(3，2)知点A，B到DE的距离分别为，3
∴S2=S△BDE﹣S△ACD=×5×3﹣×5×=，
∴S2﹣S1=﹣3=．
第16题图
第8题图
第22题图
第12题图
第15题图
第18题图
第22题图
第21题图
第5题图
第6题图
第17题图
第17题图
第18题图
第18题图
第16题图
第3题图
第8题图
第14题图
第17题图
第21题图
第9题图
第9题图
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精品试卷·第
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