第五章 特殊平行四边形单元基础测试卷（解析版+学生卷）

中小学教育资源及组卷应用平台
【单元双测卷——基础测】
第五章
特殊平行四边形
说明：全卷满分120分，有三大题，共24小题.
班级：__________
姓名：__________
得分：__________
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分.
请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（
）
A．∠A＝∠C
B．∠A＝∠B
C．AC＝BD
D．AB⊥BC
2．对角线的夹角为60°的矩形，且这个角所对的边长为5cm，则矩形的对角线长是（
）
A．cm
B．20cm
C．10cm
D．cm
3．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，垂足为点，，且，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
第3题图
第4题图
第6题图
4．如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（
）
A．AB=CD
B．AC=BD
C．AC⊥BD
D．AD=BC
5．菱形的两条对角线长分别为和，则此菱形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在□ABCD中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交AD于点F;②分别以点F，B为圆心大于FB的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点G;③作射线AG，交边BC于点E，连接EF．若AB=5，BF=8，则四边形ABEF的面积为（
）
A．12
B．20
C．24
D．48
7．点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A、B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°,得线段PE,连接BE,则∠CBE等于（
）
A．75°
B．60°
C．30°
D．45°
8．如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
第7题图
第8题图
第9题图
9．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为（
）
A．3
B．4
C．
D．
10．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，且BG=CG，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG=45°；③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC=.其中正确结论的个数是（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
第10题图
第11题图
第12题图
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB，则∠BEA的度数是_____度．
12．如图，将一矩形纸片ABCD沿着虚线EF剪成两个全等的四边形纸片．根据图中标示的长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边AE的长是_____．
13．若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是菱形，则原四边形的对角线AC、BD所满足的条件是________．
14．如图，在菱形ABCD中，，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则________度．
15．如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处.当为直角三角形时，则的长为________.
16．如图，先有一张矩形纸片点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：
②四边形是菱形；
③重合时，；
④的面积的取值范围是
其中正确的是_____（把正确结论的序号都填上）．
第14题图
第15题图
第16题图
三、解答题（本题有8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本题6分)如图，要在长方形钢板ABCD的边AB上找一点E，使∠AEC＝150°，应怎样确定点E的位置？为什么？
18．(本题6分)如图，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点O，连接EF．求证：四边形ABEF是菱形．
19．(本题6分)如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．
20．(本题8分)如图，在四边形中，对角线，相交于点，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
21．(本题8分)如图，在四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）如果四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD也是平行四边形；
（2）如果四边形AECF是菱形，求证：四边形ABCD也是菱形．
22．(本题8分)如图，正方形中，点、分别在边、上，，和交于点，延长至点，使得，联结、．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形．
23．(本题12分)如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN＝90°，CM＝MN．连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．
（1）
①依题意补全图形；
②求证：BE⊥AC．
（2）请探究线段BE，AD，CN所满足的等量关系，并证明你的结论．
（3）设AB＝1，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为______________（直接写出答案）．
24．(本题12分)如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．
（1）求证：AE=EF；
（2）如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？　　；（填“成立”或“不成立”）；
（3）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请证明，若不成立说明理由．
答案及解析
1．A
【解析】根据矩形的判定定理再结合平行四边形的性质对选项逐一进行推理即可．
解：A、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，故此项错误；
B、∵∠A=∠B，∠A+∠B=180°，
∴∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，故此项正确；
C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故此项正确；
D、AB⊥BC，即∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，故此项正确；
故选：A．
2．C
【解析】作出图形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA=AB，再求解即可．
解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∵AC、BD的夹角∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=5cm，
∴AC=2OA=2×5=10cm．
故选：C．
3．C
【解析】由矩形的性质得到：设
利用勾股定理建立方程求解即可得到答案．
解：
矩形，
设
则
，
（舍去）
故选C．
4．A
【解析】由点E、F、G、H分别是四边形ABCD中AD、BC、BD、AC的中点，根据三角形中位线的性质，可得EG=FH=AB，EH=FG=CD，又由当EG=FH=
EH=FG时，四边形EGFH是菱形，即可求得答案．
解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BC、BD、AC的中点，∴EG=FH=AB，EH=FG=CD，
∵当EG=FH=
EH=FG时，四边形EGFH是菱形，
∴当AB=CD时，四边形EFGH是菱形．
故选：A．
5．B
【解析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可算出答案．
解：∵一个菱形的两条对角线长分别为9cm和4cm，
∴这个菱形的面积为：，
故选B．
6．C
【解析】如图，设AE交BF于点O．证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可得出AE,
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解决问题．
解：如图，设AE交BF于点O．
由作图可知：AB=AF，AE⊥BF，
∴OB=OF，∠BAE=∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=AF，∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA=OE，OB=OF=4，
在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，
∴AE=2OA=6．
∴菱形ABEF的面积=×8×6=24
故选：C．
7．D
【解析】过E作AB的延长线AF的垂线，垂足为F，可得出∠F为直角，又四边形ABCD为正方形，可得出∠A为直角，进而得到一对角相等，由旋转可得∠DPE为直角，根据平角的定义得到一对角互余，在直角三角形ADP中，根据两锐角互余得到一对角互余，根据等角的余角相等可得出一对角相等，再由PD=PE，利用AAS可得出三角形ADP与三角形PEF全等，根据确定三角形的对应边相等可得出AD=PF，AP=EF，再由正方形的边长相等得到AD=AB，由AP+PB=PB+BF，得到AP=BF，等量代换可得出EF=BF，即三角形BEF为等腰直角三角形，可得出∠EBF为45°，再由∠CBF为直角，即可求出∠CBE的度数．
解：过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPF=90°，
∴∠ADP=∠EPF，
在△APD和△FEP中，
∵，
∴△APD≌△FEP（AAS），
∴AP=EF，AD=PF，
又∵AD=AB，
∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF，
∴AP=BF，
∴BF=EF，又∠F=90°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠EBF=45°，又∠CBF=90°，
则∠CBE=45°．
故选D．
8．C
【解析】如下图，△BEP的周长=BE+BP+EP，其中BE是定值，只需要BP+PE为最小值即可，过点E作AC的对称点F，连接FB，则FB就是BP+PE的最小值．
解：如下图，过点E作AC的对称点F，连接FB，FE，过点B作FE的垂线，交FE的延长线于点G
∵菱形ABCD的边长为4，点E是BC的中点
∴BE=2
∵∠DAB=60°，∴∠FCE=60°
∵点F是点E关于AC的对称点
∴根据菱形的对称性可知，点F在DC的中点上
则CF=CE=2
∴△CFE是等边三角形，∴∠FEC=60°，EF=2
∴∠BEG=60°
∴在Rt△BEG中，EG=1，BG=
∴FG=1+2=3
∴在Rt△BFG中，BF==2
根据分析可知，BF=PB+PE
∴△PBE的周长=2
故选：C
9．D
【解析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论．
解：∵CE=5，△CEF的周长为18，
∴CF+EF=18-5=13．
∵F为DE的中点，
∴DF=EF．
∵∠BCD=90°，
∴CF=DE，
∴EF=CF=DE=6.5，
∴DE=2EF=13，
∴CD=，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=12，O为BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF=(BC－CE)=(12－5)=3.5，
故选D．
10．D
【解析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；根据角的和差关系求得∠GAF=45°；在直角△ECG中，根据勾股定理可证CE=2DE；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；求出S△ECG，由S△FCG=即可得出结论．
解：①正确．理由：
∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．理由：
∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE．
又∵∠BAD=90°，∴∠EAG=45°；
③正确．理由：
设DE=x，则EF=x，EC=12-x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得：（12﹣x）2+62=（x+6）2，解得：x=4，∴DE=x=4，CE=12-x=8，∴CE=2DE；
④正确．理由：
∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；
⑤正确．理由：
∵S△ECG=GC?CE=×6×8=24．
∵S△FCG===．
故选D．
11．67.5．
【解析】根据正方形的性质可得∠BAC=45°，由AE=AB根据等腰三角形的性质进行求解即可得.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∵AC是对角线，
∴∠BAC=∠BAD=45°，
∵AE=AB，
∴∠BEA=（180°-∠BAC）÷2=67.5°，
故答案为67.5.
12．3
【解析】根据矩形的性质得出∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC，根据矩形的判定得出四边形ABFQ是矩形，求出AB＝FQ＝DC＝4，求出EQ＝FQ＝4，即可得出答案．
解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝90°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC，
∴四边形ABFQ是矩形，
∴AB＝FQ＝DC＝4，
∵AD∥BC，
∴∠QEF＝∠BFE＝45°，
∴EQ＝FQ＝4，
∴AE＝CF＝（10﹣4）＝3，
故答案为：3．
13．
【解析】如下图，根据三角形中位线的定理，可得AG=EF=，GF=AE=，再根据菱形四条边相等的性质，可得出AC与BD的关系．
解：如下图，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
∵点E、F是AB、BC的中点
∴EF=
同理可得：AG=EF=，GF=AE=
∵要使得四边形HEFG是菱形，则HE=EF=FG=GH
∴只需AC=BD即可
故答案为：AC=BD
14．72
【解析】解：先连接AP，
由四边形ABCD是菱形，∠ADC=72°，
可得∠BAD=180°-72°=108°，
根据菱形对角线的对称性可得∠ADB="1/2"
∠ADC="1/2"
×72°=36°，∠ABD=∠ADB=36度．
EP是AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性可得∠DAP=∠ADB=36°，
∴∠PAB=∠DAB-∠DAP=108°-36°=72度．
在△BAP中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABP=180°-72°-36°=72度．
由菱形对角线的对称性可得∠CPB=∠APB=72度．
15．或
【解析】当△CB′E为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=6，可计算出CB′=4，设BE=x，则EB′=x，CE=8-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．再在Rt△ABE中，利用勾股定理可得AE的长
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．可得AB=BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理可得AE的长.
解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=6，
∴CB′=10-6=4；
设BE=，则EB′=，CE=
在Rt△CEB′中，由勾股定理可得：,
解得：
在Rt△ABE中，利用勾股定理可得：
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=6，
∴在Rt△ABE中，利用勾股定理可得：
综上所述，的长为或
故答案为或
16．②③
【解析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设得，进而得，这个不一定成立，判断①错误；点与点重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得的值，进而用勾股定理求得，判断出③正确；当过点时，求得四边形的最小面积，进而得的最小值，当与重合时，的值最大，求得最大值便可．
解：如图1，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，故②正确；
若，则
，这个不一定成立，
故①错误；
点与点重合时，如图2，
设则
在
即
解得
,
,
，
,
故③正确；
当过点时，如图3，
此时，最短，四边形的面积最小，则最小为，
当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，则最大为，
，
故④错误．
故答案为：②③．
17．以CD为始边，在长方形的内部，利用量角器作∠DCF＝30°，射线CF与AB交于点E，则点E为所找的点，理由见解析
【解析】利用量角器作∠DCF=30°，射线CF与AB交于点E，则∠DCF=∠DCE=30°，由平行线的性质得出∠DCE+∠AEC=180°，则∠AEC=150°．
解：以CD为始边，在长方形的内部，利用量角器作∠DCF=30°，射线CF与AB交于点E，则点E为所找的点；理由如下：
如图所示：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE+∠AEC=180°，
∵∠DCE=∠DCF=30°，
∴∠AEC=180°﹣∠DCE=180°﹣30°=150°．
18．详见解析
【解析】先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．
解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBE，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBE，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
同理AB＝BE，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形．
19．证明见解析.
【解析】分析：根据AAS证明△ABM≌△EFA，可得结论．
详解：证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠EAF=∠BMA，
∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°=∠B，
在△ABM和△EFA中，
∵，
∴△ABM≌△EFA（AAS），
∴AB=EF．
20．（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）根据对角线相等的平行四边形是矩形进行求证；
（2）根据矩形的性质得出，最后在中应用勾股定理进行求解．
解：（1）证明：，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴，即，
四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
（2）解；四边形是矩形，
，
∵，，，
∴△AOB为等边三角形，
，，，
在中，由勾股定理得，．
21．（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）证明OA=OC，OB=OD即可解决问题；
（2）证明四边形ABCD是平行四边形，再证明AC⊥BD即可证明．
解：证明：连接AC交BD于O，
（1）∵四边形AECF是平行四边形，
∴OA＝OC，OE＝OF，
∵BE＝DF，
∴OB＝OD，
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵四边形AECF是菱形，
∴OA＝OC，OE＝OF，AC⊥EF，
∵BE＝DF，
∴OB＝OD，∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
22．（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）根据正方形的性质可得∠B＝∠D＝90°，AD＝AB，然后再证明Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），可得EB＝DF；
（2）首先证明EC＝FC，再由AE＝AF可得AC垂直平分EF，再根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形AEGF是菱形．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AD＝AB，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴EB＝DF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，
∵EB＝DF，
∴EC＝FC，
∴AC垂直平分EF，
∵AO＝GO，
∴四边形AEGF是菱形．
23．（1）①补图见解析；②证明见解析；（2）2BE＝AD＋CN，证明见解析；（3）.
【解析】分析：（1）①依照题意补全图形即可；②连接CE，由正方形以及等腰直角三角形的性质可得出∠ACD=∠MCN=45°，从而得出∠ACN=90°，再根据直角三角形的性质以及点E为AN的中点即可得出AE=CE，由此即可得出B、E在线段AC的垂直平分线上，由此即可证得BE⊥AC；
（2）BE=AD+CN．根据正方形的性质可得出BF=AD，再结合三角形的中位线性质可得出EF=CN，由线段间的关系即可证出结论；
（3）找出EN所扫过的图形为四边形DFCN．根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出BD∥CN，由此得出四边形DFCN为梯形，再由AB=1，可算出线段CF、DF、CN的长度，利用梯形的面积公式即可得出结论．
详解：（1）①依题意补全图形，如图1所示．
②证明：连接CE，如图2所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，AB=BC，
∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=45°，
∵∠CMN=90°，CM=MN，
∴∠MCN=45°，
∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°．
∵在Rt△ACN中，点E是AN中点，
∴AE=CE=AN．
∵AE=CE，AB=CB，
∴点B，E在AC的垂直平分线上，
∴BE垂直平分AC，
∴BE⊥AC．
（2）BE=AD+CN．
证明：∵AB=BC，∠ABE=∠CBE，
∴AF=FC．
∵点E是AN中点，
∴AE=EN，
∴FE是△ACN的中位线．
∴FE=CN．
∵BE⊥AC，
∴∠BFC=90°，
∴∠FBC+∠FCB=90°．
∵∠FCB=45°，
∴∠FBC=45°，
∴∠FCB=∠FBC，
∴BF=CF．
在Rt△BCF中，BF2+CF2=BC2，
∴BF=BC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AD，
∴BF=AD．
∵BE=BF+FE，
∴BE=AD+CN．
（3）在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．
∵∠BDC=45°，∠DCN=45°，
∴BD∥CN，
∴四边形DFCN为梯形．
∵AB=1，
∴CF=DF=BD=，CN=CD=，
∴S梯形DFCN=（DF+CN）?CF=（+）×=．
24．（1）证明见解析；（2）成立；（3）成立，证明见解析.
【解析】试题分析：（1）取AB中点M，连接EM，求出BM=BE，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；
（2）截取BE=BM，连接EM，求出AM=EC，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；
（3）在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．
试题解析：（1）证明：取AB中点M，连接EM，
∵AB=BC，E为BC中点，M为AB中点，
∴AM=CE=BE，
∴∠BME=∠BME=45°，
∴∠AME=135°=∠ECF，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△AME和△ECF中，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2）成立，
理由是：如图，在AB上截取BM=BE，连接ME，
∵∠B=90°，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°=∠ECF，
∵AB=BC，BM=BE，
∴AM=EC，
在△AME和△ECF中，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（3）成立．
证明：如图，在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE，
∴BN=BE，
∴∠N=∠NEC=45°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCE=45°，
∴∠N=∠ECF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE=∠BEA，即∠DAE+90°=∠BEA+90°，
∴∠NAE=∠CEF，
∴△ANE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．
21世纪教育网
www。21cnjy。com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第14页