浙教版九年级数学上册 第4章 相似三角形达标测试卷 含答案

第4章达标测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．若＝，则等于(　　)
A．
B．
C．
D．
2．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为(　　)
A．1：4
B．1：2
C．2：1
D．4：1
3．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若AB＝3，DE＝2，BC＝6，则EF＝(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
4．已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，则＝(　　)
A．2
B．
C．3
D．
5．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是(　　)
A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′在同一直线上
C．AO：AA′＝1：2
D．AB∥A′B′
6．如图，为估算某河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20
m，CE＝10
m，CD＝20
m，则河的宽度AB等于(　　)
A．60
m
B．40
m
C．30
m
D．20
m
7．如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中的三角形与△ABC相似的是(　　)
　
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于(　　)
A．2
B．2.4
C．2.5
D．2.25
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为(　　)
A．1
B．2
C．12－6
D．6－6
10．如图，在钝角三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分
∠AEB交AB于点M，取BC的中点D，AC的中点N，连结DN，DE，DF.下列结论：①EM＝DN；②S△CND＝S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF.其中正确结论的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题(每题3分，共24分)
11．已知＝，则＝________.
12．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝2，BD＝4，DE＝1.5，则BC的长为__________．
13．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD(AD＝AB)、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为________．
14．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，位似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为________．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，在△ACD中，∠ACD＝90°，∠D＝30°，则的值是________．
16．如图，身高为1.7
m的小明AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A，E，C′在一条直线上．已知河BD的宽度为12
m，BE＝3
m，则树CD的高度为________．
17．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．
18．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2……以此类推，则Sn＝____________.(用含n的式子表示)
三、解答题(19，21题每题8分，24题14分，其余每题12分，共66分)
19．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及α的大小．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)．
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；
(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比．(不写解答过程，直接写出结果)
21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长．
22．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两个景观灯的间隔都是10
m，在与河岸DE的距离为16
m的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的这两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．
23．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果E，F同时出发，用t(0≤t≤6)秒表示运动的时间．
请解答下列问题：
(1)当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？
(2)当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似？
24．如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连结DF.
(1)求证：△ADE≌△DCF.
(2)若E是CD的中点，求证：Q为CF的中点．
(3)连结AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．
答案
一、1．D　2．B　3．C　4．B　5．C
6．B　点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABC＝∠DCE＝90°.
又∵∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DCE.
∴＝，即＝.∴AB＝40
m.
7．A　8．B
9．D　点拨：如图，过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H.∵AB＝AC，AD＝AG，
∴AD∶AB＝AG∶AC.
又∵∠BAC＝∠DAG，∴△ADG∽△ABC.
∴∠ADG＝∠B.∴DG∥BC.
∴AN⊥DG.
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG⊥DG.∴FH⊥BC.
∵AB＝AC＝18，BC＝12，
∴BM＝BC＝6.
∴AM＝＝12.
∵＝，即＝，
∴AN＝6.∴MN＝AM－AN＝6.
易得四边形GHMN为矩形，
∴GH＝MN＝6
.
∴FH＝GH－GF＝6
－6.故选D.
10．D　点拨：∵△ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，∴EM是AB边上的中线．∴EM＝AB.
∵点D，点N分别是BC，AC的中点，
∴DN是△ABC的中位线．∴DN＝AB，DN∥AB.∴EM＝DN.①正确．
∵DN∥AB，∴△CDN∽△CBA.
∴＝＝.
∴S△CND＝S四边形ABDN.②正确．
如图，连结DM，FN，则DM是△ABC的中位线，∴DM＝AC，DM∥AC.
∴四边形AMDN是平行四边形．
∴∠AMD＝∠AND.
易知∠ANF＝90°，∠AME＝90°，
∴∠EMD＝∠DNF.
∵FN是AC边上的中线，
∴FN＝AC.∴DM＝FN.
又∵EM＝DN，
∴△DEM≌△FDN.
∴DE＝DF，∠FDN＝∠DEM.③正确．
∵∠MDN＋∠AMD＝180°，
∴∠EDF＝∠MDN－(∠EDM＋∠FDN)＝180°－∠AMD－(∠EDM＋∠DEM)＝180°－(∠AMD＋∠EDM＋∠DEM)＝180°－(180°－∠AME)＝180°－(180°－90°)＝90°.
∴DE⊥DF.④正确．故选D.
二、11．　点拨：∵＝，
∴设a＝13x，b＝7x，
则＝＝.
12．4.5　
13．S1＝S2　
14．(2，1)
15.　
16．5.1
m　17．或3
18.×　点拨：在正三角形ABC中，AB1⊥BC，
∴BB1＝BC＝1.
在Rt△ABB1中，AB1＝＝＝，
根据题意可得△AB2B1∽△AB1B，
记△AB1B的面积为S，
∴＝.
∴S1＝S.同理可得S2＝S1，
S3＝S2，S4＝S3，….
又∵S＝×1×＝，
∴S1＝S＝×，
S2＝S1＝×，
S3＝S2＝×，
S4＝S3＝×，…，
Sn＝×.
三、19．解：因为四边形ABCD∽四边形EFGH，所以∠H＝∠D＝95°，则α＝360°－95°－118°－67°＝80°.再由x∶7＝12∶6，解得x＝14.
20．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
(3)S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝1∶4.
21．(1)证明：∵AB∥FC，∴∠A＝∠ECF.
又∵∠AED＝∠CEF，且DE＝FE，
∴△ADE≌△CFE.
(2)解：方法一：∵AB∥FC，
∴△GBD∽△GCF.∴＝.
∴＝.∴CF＝3.
由(1)得△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝3，
∴AB＝AD＋BD＝3＋1＝4.
方法二：如图，取BC的中点H，连结EH.∵△ADE≌△CFE，
∴AE＝CE.∴EH是△ABC的中位线．
∴EH∥AB，且EH＝AB.
∴△GBD∽△GHE.
∴＝.∴＝.
∴EH＝2.∴AB＝2EH＝4.
22．解：由题意可得DE∥BC，
所以△ADE∽△ABC.
所以＝，即＝.
因为AD＝16
m，BC＝50
m，DE＝20
m，
所以＝.
所以DB＝24
m.
所以这条河的宽度为24
m.
23．解：(1)由题意可知BE＝2t，CF＝4t，CE＝12－2t.
因为△CEF是等腰直角三角形，∠ECF是直角，所以CE＝CF.
所以12－2t＝4t，解得t＝2.
所以当t＝2时，△CEF是等腰直角三角形．
(2)根据题意，可分为两种情况：
①若△EFC∽△ACD，则＝，
所以＝，解得t＝3，
即当t＝3时，△EFC∽△ACD.
②若△FEC∽△ACD，则＝，
所以＝，解得t＝1.2，
即当t＝1.2时，△FEC∽△ACD.
因此，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．
24．(1)证明：因为AD＝DC，
∠ADE＝∠DCF＝90°，DE＝CF，
所以△ADE≌△DCF.　
(2)证明：因为四边形AEHG是正方形，所以∠AEH＝90°.
所以∠QEC＋∠AED＝90°.
又因为∠AED＋∠EAD＝90°，
所以∠QEC＝∠EAD.
因为∠C＝∠ADE＝90°，
所以△ECQ∽△ADE.所以＝.
因为E是CD的中点，所以EC＝DE＝CD＝AD.所以＝.
因为DE＝CF，所以＝＝.
即Q是CF的中点．
(3)解：S1＋S2＝S3成立．
理由如下：因为△ECQ∽△ADE，
所以＝.所以＝.
因为∠C＝∠AEQ＝90°，
所以△ECQ∽△AEQ.
所以△AEQ∽△ECQ∽△ADE.
所以＝，＝.
所以＋＝＋＝.
在Rt△AEQ中，由勾股定理，得EQ2＋AE2＝AQ2，
所以＋＝1，即S1＋S2＝S3.