浙教版数学八年级下册第1章二次根式教案(7课时)

第1章二次根式
1.1二次根式
教学目标：
1.经历二次根式概念的发生过程.
2.了解二次根式的概念.
3.理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围.
4.会求二次根式的值.
教学重点与难点：
重点：是二次根式的概念.
难点：确定二次根式中字母的取值范围.
教学过程：
一、合作学习，引入课题
根据图1—1所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：
直角三角形的斜边长是____________；
正方形的边长是___________；
等边三角形的边长是______．（引导学生解决课本上的等腰直角三角形问题）
让学生在实际情境中写出表示算术平方根的式子．
问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？
（学生通过观察，从中感知二次根式的特征．鼓励学生用自己的语言总结出共同特征．从而引出课题，教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，板书本课课题）．
二、新课讲授，探究新知
1．二次根式的概念
1）
引导学生概括二次根式的定义：像这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式叫做二次根式．为了方便，我们把一个数的算术平方根（如）也叫做二次根式．
2）
概念深化：
提问：是不是二次根式？呢？
议一议：二次根式表示什么意义？此算术平方根的被开方式是什么？被开方式必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a需满足什么条件？为什么？
经学生讨论后，让学生回答，并让其他的学生点评．
教师总结：强调二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开放数大于或等于零．
2．讲解例题
例1
求下列二次根式中字母a的取值范围：
（1），
（2）；
（3）.
按教师提问，学生回答，教师板书解题过程交替进行的方式教学，问题设计：
被开方式需满足什么?
由此可得怎样的不等式？
第（1）（2）两题可以转化为解怎样的不等式？第（3）题不解不等式就能确定a的取值范围吗？
解：（1）
由a+1≥
0
，
得
a
≥
-1
∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数．
（说明：这个问题实质上是在x是什么数时，a+1是非负数，式子
有意义，以下类同）．
（2）>0，得1-2a>0，即a<
∴字母a的取值范围是小于的实数．
（3）因为无论a取何值，都有，所以a取值范围是全体实数．
交流归纳，总结如下：
由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0．
从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件：
（1）必须有二次根号；
（2）被开方数不能小于0
．
（学生与教师一同探索确定二次根式中字母的取值范围的求解过程，通过交流体会到求解二次根式中字母的取值范围过程的策略．本题的设置从二次根式的概念出发，把问题转化为求不等式，思路清晰自然，有利于分散难点）．
练习：求下列二次根式中字母的取值范围：
（1）；
（2）；
（3）.
例2
当x=4时，求二次根式的值.
教法：
（1）引导学生回顾代数式的值的概念和如何求代数式的值．
（2）指出二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同．
（3）由学生独立完成解题过程，指定一名中等水平的学生板演．
（4）教师点评板演结果．
解：将x=-4代入二次根式，得=
三、总结提高、课内练习
课堂练习：第5页练习1，2和节前的问题．
四、归纳小结，充实结构
由学生总结，教师适当提问补充．
谈一谈：本节课你有什么收获或困惑？
（让学生通过自我评价的方法来检查自己的学习任务有没有完成，便于调节自己的学习进度，培养学生养成良好的学习习惯，发挥自我评价的作用，增强学生学数学的信念）．
引导学生做出本节课学习内容小结：
1．式子
叫做二次根式，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式．
2．式子中，被开方数(式)必须大于等于零．
3．给定一个特定的值，会求相应二次根式的值．
五、能力拓展
按下列程序运算，全班分成4个组，当x=1时，每人做一步，看哪一组完成得快.x
取其他数试一试.
六、布置作业：
1.教科书第5页A组
2.作业本
1.2
二次根式的性质（1）教案
教学目标：
1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法.
2.了解二次根式的上述两个性质.
3.会运用上述两个性质进行有关计算.
教学重点与难点：
重点：是理解二次根式的上述两个性质；
难点：是灵活运用上述两个性质进行有关计算。
???????????
教学过程：
引入新课
知识回顾：
（1）绝对值的代数定义
（2）动动脑筋：你能把一张三边分别为、、的三角形纸片放入4×4方格内,使它的三个顶点都在方格的顶点上吗?
（提示：见课件）
板书课题
二、内容组织
1、正方形的边长是（）
参考图右图，完成以下填空:
你发现什么规律？
二次根式性质1：
2、填空：
，
；
，
；
，
；
比较左右两边的根式和绝对值，议一议：与有什么关系？
二次根式性质2：=。
再根据绝对值的代数意义可得：=
强调：这个过程一步一步来，先别急.
3、例题讲解
计算：
（1）；
（2）
处理：本题关键是先化简后计算，讲解时边引导学生分析边板书.
例2
化简
（1）（补充）
（2）
处理：这样变化的目的：
对于（1）学生去做只能先化简，接下来引导学生去分析如何去绝对值，后计算.
做（2）时有（1）做铺垫学生多数（设想）会应用二次根式的性质化简（不会先减掉），但最后说明这种题目这样做不用通分，明显简便.
三、课堂小结
谈谈你今天的收获.教师帮助归纳.
布置作业
1.P8作业题1、2、3、4必做,作业题5、6选做.
2.作业本
1.2二次根式的性质（2）
教学目标：
1.探索二次根式的性质的由来，体验归纳、类推的思想方法.
2.会用二次根式的性质进行简单的计算和化简.
教学重点与难点：
重点：二次根式的积和商的性质.
难点：例3中（4）及探究活动涉及的较复杂的化简过程与技巧.
教学过程：
一、引入新课
动手做一做：填空（可用计算器计算）：
=＿,
×=＿;
=＿,
×=＿;
=＿,
=＿;
=＿,
=＿.
比较每一组左右两边的等式，结果相等吗？多试几组类似的计算，想一想能否推广到一般形式？如果能，请用字母表示你发现的规律。
二、新课讲解
一般地，二次根式的积与商的性质：
积的性质：=·
(a≥0,b≥0);
商的性质：
=
（
a≥0,b＞0）
2、讲解例题：
化简：（1）；（2）；（3）；
（4）；
解：（1）=×=11×15=165；
（2）=×=4；
（3）==；
（4）==；
注：①一般地，二次根式化简的结果中分母中不含根号，而且根号内的数就是一个自然数，且自然数的因数中，不含有除1以外的自然数的平方数。
②被开方数为带分数时，还要先化为假分数再利用性质化简
练习：
1、化简：⑴；
⑵
；
⑶.
2、化简：⑴
；
⑵
；⑶.
先化简，再求出下面算式的近似值（精确到0．
01）
⑴
；
⑵
；⑶
解：⑴===×=12≈20.78；
⑵
===≈1.01；
⑶==×
=×=0.01≈0.02
总结：化简的结果要求：①根号内不再含有可以开方的因式；②根号内不再含有分母
三、探究活动：
化简下列两组式子：
①=＿，=＿；
②=＿，=＿；
③=＿，=＿；④=＿，=＿
你发现了什么规律？请用字母表示你所发现的规律，并与同伴交流。
请再任意先几个数验正你发现的规律。
四、小结：
师生共同完成：通过今天的学习，你有那些收获或困惑？
五、布置作业
1.课后作业题
2.作业本
1.3二次根式的运算（1）
教学目标：
　
1．了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的．
2．会进行简单的二次根式的乘除运算．
教学重点与难点：
重点：本节教学的重点是二次根式的运算法则．
难点：例1第（3）题和例2的计算过程中涉及多种运算和运算法则，
教学过程：
一、复习引入
1、二次根式有哪些性质？
2、化简下列二次根式：
，，，
3、计算：，
4、引导、启发把二次根式的乘除性质公式左右交换一下。概括二次根式的乘除运算法则。
二、新课教学
1、例题教学
例
1
计算
注意：（2）中被开方数是带分数要先化成假分数，运算结果
解：（
3）
2、学生完成解题后出示答案
课本12页课内练习第1、2题
3、乘除运算的一般步骤。
（1）运用法则，化归为根号内的实数运算；
（2）完成根号内相乘、相除（约分）等运算；
（3）化简二次根式
4、屏幕显示例2，帮助学生审题。
（1）⊥，则
（2）由勾股定理算出AD
（3）路标的面积
（平方单位）
说明计算结果能化简的，则应化简。没有精确度要求，结果用化简的二次根式表示。
三、巩固练习
课内练习3，学生完成后，出示答案。
四、课堂小结
问：这一节课学习了什么
二次根式的乘除运算法则。
被开方数是带分数要先化成假分。
规范书写。如
二次根式的简单应用——三角形面积算法。
五、布置作业
1.课后作业题
2.作业本
1.3二次根式的运算（2）
教学目标：
　1．会进行简单的二次根式的四则混合运算．
2．通过整式运算的某些法则在二次根式四则运算中的应用，体验迁移、化归等数学思想．
教学重点与难点：
重点：本节教学的重点是二次根式的四则混合运算．
难点：例3的计算思路的形成比较困难是本节的难点．
教学过程：
一、课题引入
并回答问题：
（1）你是应用什么知识解决上面的计算？（学生回答后，教师板书解题过程）
（2）上题中的a若用替代，即：
你认为运算是否正确？（答案是肯定的）
教师归纳：我们发现整式中的合并同类项法则在二次根式的运算中也适用.
猜想:那么整式中的其它运算法则或运算律或运算次序是否也适用于二次根式的运算呢?
(教师作肯定回答后)
导出课题:
二次根式的四则运算.
二、新课教学
复习回忆:
整式中的有关法则、运算律、运算次序.(通过复习对例3的计算思路的形成有所帮助,一定程度上降低了例3的教学难度)
b)
举例分析：
例3
先化简,再求出近似值(精确到0.01)
启发提问:
⑴
这是一题二次根式的什么运算?能否适用合并同类项的方法进行合并?
⑵
上面的二次根式是否还可以化简?请同学们试一下.然后再回答提问⑴
(
最后教师板书解题过程)
　　　归纳:
⑴
二次根式加减之前,应先化简二次根式;再把所含二次根式完全相同的合并
成一项.
⑵
在二次根式加减(或其它运算)时,把根号前的乘数看作它的系数.如中的2就看作的系数
3、练习:
先化简,再求出近似值(精确到0.01)
例4
计算:
启发提问:
⑴
第⑴题有哪些运算?次序怎样?系数-3和2如何处理?
(可以仿照整式中的单项式相乘法则,处理系数)
⑵
第⑵、⑶题可否用运算律？
⑶
第⑴、⑵题能否先做括号内的?(教师板书解题过程)
例5．计算:
.
.
提
问
:
⑴
这两题的计算与整式中的什么运算相近?
⑵
第⑴题又有什么特征?
(教师板书解题过程)
三、巩固练习:
计算:
.
.
四、课堂小结
⒈
整式中的各运算法则、运算律各运算次序在二次根式运算中
也能适用.
⒉
二次根的加减运算时,应先化简二次根式;然后合并二次根式完全相同的.
⒊
含有二次根式的代数相乘,可以把它看作多项式相乘,运用多项式乘法法则和乘法公式.
⒋
适当运用运算律简便计算.
五、布置作业
1.课后作业题
2.作业本
1.3二次根式的运算（3）
教学目标：
1．会应用二次根式解决简单的实际问题,掌握坡比的意义．
2．进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值．
教学重点与难点：
重点：本节教学的重点是二次根式及其运算的实际应用．
难点：例2涉及多方面的知识和综合运用,思路比较复杂,是本节教学的难点．
教学过程：
一、课题引入
二次根式的知识在实际生活中有广泛的用途.
如图,我们规定斜坡的铅直高h与水平长度l的比叫做坡比(或坡度)，即:　坡比
i=
已知斜坡的坡比为3:4,且其高CE=2dm,宽AB=1dm.一只蚂蚁从A点爬到C点,最短路程多少?
说明:设计本题有以下目的:
⑴介绍预备知识“坡比”;
⑵激发学生的兴趣;
⑶会用二次根式表示未知量.在Rt△BCE中,BC的长宜直接表示为:BC=;
初步体验：课内练习1
二、应用举例
例1如图，扶梯AB的坡比为1:0.8，滑梯CD的坡比为1:1.6，AE=，BC=CD，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过了多少路程(结果要求先化简,再取近似值,精确到0.01米)?
分析:
说明:以上的分析过程显示了求解问题的格式化的程序,学生必须养成这样的思维习惯.
练习一：
(作业题A组T3)
例2如图㈠是一张等腰直角三角形彩色纸,AC=BC=40
cm.将斜边上的高CD四等分,然后截出3张宽度相等的长方形纸条.
⑴分别求出3张长方形纸条的长度;
⑵若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边(纸条不重叠),如图㈡,正方形美术作品的面积最大不能超过多少cm2
?
分析:
⑴①如图㈠,从已知能得什么?
在Rt△ABC中,CD⊥,AC=BC=40,易求得AB和CD长(让学生求),则CE3
=E3F3
=F3G3
=G3D
=
CD，纸条的宽度可求.
②怎样求纸条的长度?
纸条的总长度=E1E2+F1F2+G1G2
，如怎样求E1E2(让学生想一想)?
E1E2
=2CE3.,
F1F2和G1G2
呢？同理，F1F2=2CF3
，G1G2=2CG3
⑵如图㈡，由⑴得纸条的总长度为60,它被四等分,每条长AC=15,它们所围成的正方形的边长AB多少?
AB=AC–BC=10
.
练习二：
(作业题B组T4)
三、课堂总结
四、布置作业
1.课后作业题
2.作业本
第1章
二次根式复习课
教学目标：
1.能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简.
2.能过比较熟练进行二次根式的运算.
3.会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际问题.
教学重点与难点：
重点：二次根式的性质的应用.
难点：二次根式的四则混合运算.
教学过程：
一、复习引入
1.形如
的代数式叫做二次根式.（即一个
的算术平方根叫做二次根式）
强调：二次根式被开方数不小于0
2.二次根式的性质：
（a≥0），
=
（a≥0，b≥0）
（a≥0，
b＞0）
3.二次根式的运算：
二次根式乘法法则
（a≥0，b≥0）
二次根式除法法则
（a≥0，b＞0）
二次根式的加减：类似于合并同类项，把相同二次根式的项合并.
二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，原来所学的乘法公式（如）仍然适用.
二、内容组织
例1
求下列二次根式中字母的取值范围
（1）；（2）；
说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组）
练习：求下列二次根式中字母的取值范围
（1）；（2）
例2
化简：
（1）；（2）
说明：应用二次根式的性质进行化简
例3
计算：
（1）；
（2）
（3）
例4
解方程：
处理：提示——这是一元一次方程，未知数的系数是二次根式，由学生叙述，教师板书.
例5
在直角坐标系中，点P（1，
）到原点的距离是_________
例6
一个台阶如图，阶梯每一层高
15cm，宽25cm，长60cm.一只蚂蚁从A点爬
到B点最短路程是多少？
说明：转化到同一平面中去（铺平——平面展开图），应用两点之间线段最短；铺平后楼梯的平面展开图是什么图形？就可根据什么求出AB的长？
三、巩固提升
1.
（参考：D）
A.
2x
B.0或2x
C.-2x或2x
D.-2x
2.
则x的取值范围是
.（参考：x≤0）
3.
成立的条件是（
）
（参考：D）
说明：注意二次根式中字母的取值条件.
提示：估计根号10约是几点几？（即根号10在3~4之间）整数部分是3，那小数部分是多少呢？（准确地说根号10减去3）然后由学生去算.
5.请计算的值
将根号内的3换成其他正数，结果怎样？你能从计算中发现什么运算规律？（请用文字描述或用字母标示出来）
四、课堂小结
五、布置作业
1.目标与评定
目标A，目标B，目标C
2.作业本
2cm
a
cm
图1—1
是否有意义
输入一个数
结果代入，是否有意义
是
是
结果代入，是否有意义
是
结果代入，是否有意义
输出这个数
否
否
否
否
是
㈠从已知看!已知什么?
扶梯AB的坡比为1:0.8,且AE=
eq
\f(3,2)
能得什么?
可求得BE和AB
㈢已知滑梯CD的坡比为1:1.6有何用?
㈡从所求看!求什么?
求AB+BC+CD
缺什么?
缺CD,BC=
eq
\f(1,2)CD.怎样求CD?
图㈠
E1
E2
E3
F1
F2
F3
G1
G2
G3
图㈡
C
A
B
B
A